浙江省湖州市双林庆同小学  徐勤芳

浙江省湖州市教育局教研室  杨海荣

 

算法多样化是《数学课程标准（实验稿）》关于计算教学的基本理念之一，旨在改变传统计算教学“计算方法过于单一、技能培养过于侧重”的现状，关注学生的个性差异，尊重学生独立思考，鼓励他们探索不同计算方法。提倡算法多样化不仅有利于培养学生的独立思考能力和数学交流能力，而且有利于因材施教，发掘每个学生的潜能，真正体现“不同的人在数学上得到不同的发展”这一教学理念。但在具体实施过程中由于教师理解错位或落实不到位，造成学生“基本计算能力有所下降”、“两极分化现象比较严重”、“刻意追求奇特算法、排斥他人算法”等现象，这都有悖算法多样化的初衷。

鼓励算法多样化是人教版新课程实验教材“数与代数”领域教学的突出特点之一，在一上年级实验教材的使用中，我们对此进行了初步的实践与思考。

一、实践与分析

计算教学是数学教学的重点内容，人教版实验教材一上年级编排了“5以内的加减法”、“10以内的加减法”、“连加、连减”、“加减混合”、“10加几的加法和相应的减法”、“20以内的进位加法”等内容。教材从加减法意义的教学开始引入算法多样化，并在以后的计算教学中始终体现这一思想。但我们认为，有的学习内容没有必要多样化，如“连加连减”、“0的有关加减法”、“加减混合”等。因此，我们在具体的教学实施中从以下几个重点内容来落实算法多样化：“5以内的加减法”、“10以内的加减法”、 “20以内的进位加法”。根据学习内容的特点及下面是我们在执行流程中的一些具体做法：

（一）创设情景，感受需要。

计算是帮助人们解决问题的必不可少的工具，将抽象的计算置于具体的情景中，引导学生从情景中提出需要计算的数学问题，让学生体会计算作为解决问题的工具的作用。当学生面对具体的情景时，首先要确定“问题”是否需要通过计算来解决？如果需要，将以何种形式来呈现结果？是近似的结果，还是精确的结果？如果是精确的结果，又将用什么方式获得？用口算，用笔算，还是用计算器？如果选择口算，那么又有哪些方法可供选择？哪些是比较好的方法？

一上年级“数的运算”的学习内容中，都是以口算的方式来解决问题的。在教学中我们一方面充分利用教材所提供的丰富的教学资源，如：运动会、游乐园、分新书、买玩具等情景。另一方面充分挖掘现实生活中学生喜闻乐见的素材，创设适合学生、适合内容的学习情景。如在教学6的加法时，创设了玩橡皮泥的情景，让学生用两种不同颜色的橡皮泥做成6个珠子串起来，让学生算一算“两种颜色的珠子一共有多少个？”的数学问题。又如在教学“9加几”时，教师直接出示左右手中的两把铅笔（右手9枝，左手6枝），让学生提出需要计算“一共有多少枝铅笔？”的数学问题。在现实的情景中，学生不仅学会了如何提出数学问题，而且初步感受到了某些数学问题是需要通过计算（口算）才能解决的。在生动活泼的教学情景中，学生的思维被激活了，积极主动地投入口算方法的探究过程。

（二）加强交流，注重体验。

算法多样化是学生群体学习能力的表现，它是指学生在经过自己的独立思考后得到的充满个性化的方法，再在群体中呈现自己的算法，从而表现为算法的多样化。不能简单地把算法多样化等同于学生个体的多种算法。那么如何把学生群体的算法转化为学生个体的算法呢？我们认为加强交流和体验是实现这种转化的最有效方法。课堂上不仅要加强师生之间的互动交流，更要注重学生间的互动交流。在充分交流、理解的基础上加强体验，让学生感悟同伴算法的特点。当然在教学中不要刻意地去追求算法多样化的“量”，也不要刻意地要求每个学生都能掌握几种不同的算法。

在交流算法的过程中，我们首先要求学生在介绍自己的算法时要简洁明了，尽可能让同伴都能听懂，必要时可以结合操作。其次，要求学生学会倾听，养成良好的倾听习惯。在学生介绍了自己的算法后，教师常用 “你听懂了吗？”“你觉得他说得怎样？”、“你知道他是怎样算的吗？”、“你能像他一样再说一遍吗？”之类的问题，鼓励学生理解他人的算法。如 “9加几”教学（情景为：教师右手有9枝铅笔，左手有6枝铅笔），在学生提出了用“9＋6”解决的问题后，先让学生独立想办法计算出得数，再与同桌交流自己的算法，然后在全班交流算法。交流过程如下：

例1

师：谁能把自己的算法说清楚？看哪一个小朋友听得最清楚。

生1：我是数出来的。1、2、3、......13、14、15。（生边数边点学具）

生2：我也是数出来的。9、10、11、12、13、14、15。（生边数边点学具）

师：他们数得一样吗？

生：不一样，他少数几个，快一点。

生3：我的数法和他们不一样。我不数铅笔，我在心里数。

师：你不用学具也能数，你的数法确实比他们好。

生4：9＋1＝10,10＋5＝15。（生解释算法）

师：谁能用铅笔摆一摆他的算法？（一生摆不好，由另一生摆好。）

师：为什么要从5里拿1枝给9？

生：凑满10枝。

生5：我用不同方法能凑满10枝。6＋4＝10,10＋5＝15。（生解释算法）

生6：我也能凑。5＋5＝10,1＋4＝5,10＋5＝15。（生解释算法）

师：想一想，他们三人的方法有什么相同的地方？

生：都先凑满10。

师：真是一种好方法，我们就叫它“凑十法”。（板书：凑十法）

另外，在交流和体验过程中教育学生学会尊重他人，让学生明白每一种算法都是他人个人智慧的结晶，都是他的劳动成果，哪怕是错的都无权嘲笑，防止算法多样化过程中常常出现的排他现象和怕说错不敢说的现象，鼓励学生大胆展示自己的真实想法。

（三）把握时机，适时优化。

  当学生呈现多种算法后，如果不及时地进行优化，学生的思维只能在原有的低水平上简单重复。因此，在鼓励学生敢于发表意见、坚持己见的同时，更应该引导学生通过优化而自觉地放弃自己繁杂的、低层次的算法。只有当学生具备了这种优化意识，才能使自己的思维水平不断提升。算法优化应该是学生不断反思，不断完善自身认知结构，不断发展的过程。那么何时优化？如何来优化呢？我们的做法是：

    1、合理握优化时机

我们认为在一上年级的计算教学中，有写内容的优化可以滞后，而有的则宜及时优化。对刚入学不久、处于系统学习数学起步阶段的学生来说，学生之间认知基础与生活经验的差异很大，从培养学生学习数学的兴趣，建立数学习的自信心角度考虑，对他们的不同算法应加以鼓励和赞赏。但随着学习进程的不断深入，应结合学习内容，引导学生在比较的基础上，感悟不同算法的特点，逐步进行优化。

优化时机的把握应考虑城乡学生之间的认知差异，一般情况下城镇学生接受了良好的学前教育，家庭教育环境也相对优越。由学校入学测试的调查可知，城镇学生对于20以内数的认识与口算加减法具有较好的基础，90%以上的学生能较快地口算20以内加减法，部分学生甚至能口算100以内的加减法。由学前教学的内容可知，部分幼儿园甚至教学了口算加减法计算中 “数的组成”及“凑十”的方法。而农村学生接受的学前教育相对薄弱，能口算20以内加减法的学生不到60%，且基本未涉及“数的组成”及“凑十”的方法。但无论城镇还是乡村，大部分学生口算加减法的认知水平基本处于熟记口算结果的阶段，所以让学生经历“多样化――优化”的过程是必不可少的。教师可根据学生的实际恰当把握优化时机，从总体上来看，城镇学生可适当提前，农村学生可适当滞后。

通过研究与讨论，制订了初步的实施计划如下：

 

表1：一上年级算法多样化及优化实施计划

学习 内容	课　时　内　容	备　选　算　法	实　施　方　案
5 以 内 的 加 减 法	加法。 第24页。	1、用点数法口算。 （1）逐一点数。 （2）从第一个加数开始点数。 2、用数的组成口算。	引导学生用多种方法口算5以内的加法，但不进行优化。即多样化而不优化。
	减法。 第26页。	1、用点数法口算。 （1）逐一点数。 （2）从被减数开始点数。 2、用数的组成口算。	引导学生用多种方法口算5以内的减法，但不进行优化。即多样化而不优化。
10 以 内 的 加 减 法	6、7的加减法。 第45页。	同5以内加减法。	应用学习5以内加减时掌握的多样化算法，口算6、7的加减法。但不进行优化。
	8、9的加减法。 第56页。	同5以内加减法。	应用学习5以内加减时掌握的多样化算法，口算8、9的加减法。可进行初步的优化，感受用数的组成进行口算的简便。
	10的加减法。 第66页。	同5以内加减法。	应用学习5以内加减时掌握的多样化算法，口算8、9的加减法。进一步优化，感受用数的组成进行口算的优越性。
20 以 内 的 进 位 加 法	9加几第一课时。 第96、97页。	1、用点数法口算。 （1）逐一点数。 （2）从第一个加数开始点数。 2、用凑十法口算。 （1）拆较大数。（2）拆较小数。 （3）两5凑十。 3、更加个性化的算法。 ······	引导学生自主用多种方法口算，鼓励算法多样化。适时进行优化，感受用凑十法口算的优越性。通过比较，感受各种不同算法的适用性。
	9加几第二课时。 第98页。	用凑十法口算。 （1）拆较大数。 （2）拆较小数。 （3）两5凑十。	两课时合并为一课时。进一步进行优化，感受凑十法口算的优越性，凑十法时一般拆较小数比较方便。
	9加几第三课时。 第98页。
	8、7、6加几。 第103页。	同上。	应用凑十法口算，并逐步形成口算技能。
	5、4、3、2加几。 第110页。	同上。	应用凑十法口算，形成较熟练的口算技能。

2、精心设计优化过程。

对一年级学生来说，他们往往会认为自己的算法总是最好的。如何让学生较快地“悟”出最好的算法需要一个过程，需要教师合理的总体设计（如上表）与精心的课堂引导。如上例“9加几”的教学，在交流、呈现了“9＋6”的多种计算方法后，组织引导学生在应用、比较中感受不同算法的特点，我们设计了如下过程适时进行优化：

例2

（1）出示9＋8＝、9＋2＝，请学生选择自己认为简便的方法进行计算，并要求说明理由。

（2）反馈。（结果显示，大部分学生选择了凑十法口算，选择凑十法的学生中又以拆较小数为多，少数学生在计算9＋8时选择了两五凑十，没有一人选择逐一点数，一个同学在计算9＋2时采用了从9起点数的算法。说明理由时，学生有一些有趣的争论：一学生认为计算9+8时，用拆较大数与拆较小数凑十差不多简便，理由是两数只相差1。一学生认为计算9+2时，用点数法计算也很方便，理由是从9数起只要数2次就马上可以得到结果。）

（3）辩析。

师：你们计算9＋2，为什么都不用“两五凑十”的方法？

生：没有5。

师：那么这种方法好不好？

生1：不好，不能用。

生2：不对，有时能用，有时不能用。

生3：两个加数都比5大时能用，一个数比5小时就不能用。

生4：算9＋5时这种方法最好。

师：原来这种方法有时还不能用。那么你为什么不用拆较大数凑十？

生1：拆较小数方便一些。

生2：拆较大数也可以的。

生3：我认为差不多方便。

其实在呈现多种算法的过程中，学生已自主地进行了优化，否定了逐一点数的方法，在这优化的过程中，学生进一步感受了凑十法的优越性，大部分学生认同了凑十法。同时，通过对具体运算情景分析，初步感受到不同的算法有其适用的范围。

3、允许分层优化，适度形成技能。

学生是优化的主体，方法优化必须建立在尊重学生的基础上。因此，在优化过程中我们也承认学生之间的差异，不搞一刀切，在鼓励学生及时优化的同时，允许一部分学生暂时保留低层次的算法，通过以后的练习，逐步感悟，进而优化。我们在上例引导学生进行优化的过程中，没有强行规定学生用什么方法进行计算，也没有强行规定学生用什么方法凑十，只是提供一些有针对性的学习材料，引导学生通过比较，感受各种算法的特点及适用范围，允许部分学生选择适合于自己的算法。

  当学生得到适合自己的算法后，应组织学生进行必要的练习。练习也是学生不断反思、不断完善的过程，通过练习可以进一步优化算法，并形成相应的技能，达到计算教学最基本的要求。我们认为10以内、20以内的加减法口算技能，是以后学生学习数与运算有关内容的必备基础，必须扎实掌握，并要达到脱口而出的熟练程度。而技能的达成必需经过一定量的训练，故在教学中我们组织学生开展了多种形式的练习，如：找朋友、登高比赛、开火车、接力赛、摘苹果等等，还请家长帮每位学生制作了20以内加减法计算卡片，课始利用卡片开展一分钟口算常规训练，课余鼓励学生和朋友、家长展开比赛。另外把飞行棋、扑克牌、电脑游戏等引入课堂，在丰富多彩的趣味活动中，逐步形成口算技能。

学期末，我们对一个班学生进行了一分钟口算测试，情况如表2：

算对道数	10道以下	10—19道	20—29道	30—39道	40道及以上
人数	2	22	14	7	5

 

 

 

学生平均每人每分钟做对22.6道，正确率达到97.6%。

二、思考与困惑

所谓算法就是指解决各种数学问题的程序与方法。我们不妨就“算”来组词，可以帮助我们全面地理解什么是算法。“算”――计算也，故算法可理解为运算的技能；“算”――算计、谋略也，故算法可理解为解题策略；“算”――筹算、运筹也，故算法可理解为数学思想方法。算法作为运算技能，可以通过一定的训练而习得；算法作为解题策略，虽然也可进行训练，但较之技能，需要有更多的思维参与才能形成；而算法作为数学思想方法，是数学的灵魂，可统率运算技能与解题策略，需要长期渗透，亲历过程，由体验感悟而得。所以算法应包括运算技能、解题策略与数学思想方法。

鉴于以上对算法及其多样化和优化的学习与理解，并经过实践――反思――再实践的过程后，我们在认识上有了较大的改变，教师们达成了一些基本的共识。我们认为：

（一）在计算教学中应提倡算法多样化。

　算法多样化关注教学过程。倡导算法多样化标志着教学过程的价值取向从关注学生的知识与技能的获得转变为关注学生个性化的主动发展。算法多样化可以为学生认识、阐述、感受、体验提供不同的路径和独特的视角，使每个学生都能以自己的方式去解决问题，把自身的经验与学科知识连接并转化，把课堂变成学生积极主动参与其中，充满生命活力的场所。

算法多样化重新定位了课堂教学中的师生关系。提倡算法多样化打破了教师在课堂教学中垄断地位及话语霸权，充分彰显了学生主体作用，尊重了学生的个性。教师的算法与学生的算法在探索算法过程中处于平等地位，从而让学生感受到平等的师生关系。同时还可以使学生意识到，数学知识只是人们创造的结果，是人们达成的某种共识，进而感受自己同样可以创造，享受创造与成功的愉悦。

　算法多样化更注重教学方式的转变。它更关注学生在群体学习环境中对知识的主动建构。教师所要做的是为学生的自主建构提供开放的场景，为每个学生提供了思考、表达自身独特见解的时空。在如此的场景中组织引导学生之间的差异交流，师生在互动中达成共识。如果能在动态的教学过程中生成新的观点，那么就能真正获得师生的差异发展。

基于以上思考，我们认为在数学教学中提倡算法多样化有其多方面的价值，应予以提倡，这已达成共识，毋庸置疑。

（二）算法并不是越多越好。

在多样化的过程中，容易出现一种异化的倾向，即算法多样化就是算法越多越好，要求每一个学生尽可能多地用不同的方法计算同一道题目，把算法多样化等同于一题多解。我们认为，这是对算法多样化的曲解，将群体多样化误解为个体多样化。在具体的实施中，我们也出现过同样的认识及做法，结果并不理想，多数学生并不认同教师的设计。在教学9加几一课后，我们请102班50位学生用多种方法计算9＋7，调查情况如下表：

	0种	1种	2种	3种
人数	2	21	16	11

其中0种方法的2人为智障学生。更深入的统计可知，没有同学用数的方法计算；用拆较小数凑十计算的同学最多，共计41人，占82%；用一种或二种方法计算的同学共计37人，占74%。数据说明，对个体而言，他总是使用自身熟悉或习惯的算法解决问题，即便提出要求也是如此。因此，我们在学生展示多种算法的过程中，当部分学生说出一些基本算法后，没有穷追猛打地向学生索要多种算法，以致学生为迎合教师而寻求低层次的、或繁杂的算法，而是引导学生说说更好的算法。优化后，也没有让每一个学生一定要用多种方法计算。

（三）算法多样化之后要适当进行优化。

　　我们对“算”再组一词，“算”――划算也，故算法多样化后必需进行适当的优化。同时我们也认为优化需以思维价值为前提，思维等价（即同一思维层次）的算法不需要进行优化，思维不等价（即不同思维层次）的算法则一定要进行优化，即将思维水平低的算法优化至思维水平高的算法。

就一上年级“数的运算”学习内容来说，10以内的口算加减法最基本的算法有两类，一类是以“点数”为手段的算法，一类是以“数的组成”为依托的算法；20以内的进位加法最基本的算法也有两类，一类也是以“点数”为手段的算法，一类是以“凑十”为核心的算法。显然“点数法”与“凑十法”在思维层次上是有差异的，如上述例1教学9＋6时，一学生所用的“用实物点数”的方法属于动作思维层次，一学生所用的“在心里数”的方法属于形象思维，而多数学生所用的“凑十法”则属于逻辑思维，故我们将算法从“点数法”优化至“凑十法”。而凑十法中的拆较大数、拆较小数、两五凑十属同一思维水平，我们不予优化。在具体的优化过程中，我们认为算法作为解题策略有其适用性，其优化应考虑解决问题时所处之具体情景，不同的策略适用于不同的情景，同一策略在某个情景中可能是最优化的，而在另一情景中却可能完全不适用，原始的方法有时可能比先进的方法更优化。如上述例2解决“9＋8、9＋2”时，学生所说“用两五凑十法计算9＋5最好，而不能解决9＋2”；“用点数法计算9＋2也很方便”。应此，脱离具体问题情景的优化毫无意义。同时，我们还认为，算法作为数学思想方法必须进行优化，一上年级学习的凑十法，是小学数学凑整思想的发韧，她统率了整个小学数学的简便计算，对学生的后续学习具有非常重要的价值，而且凑十法在一上年级学习后，教材将不再单独安排学习，故我们坚定不移地将其进行了优化。

　　在优化的具体实施中，我们同样有许多的困惑。（1）凑十法的优化，按表1的计划，我们在第一课时就进行了优化，其后几课时则进行应用，虽然在应用过程中还在渗透优化意识，但是否又落入了侧重于技能训练与达成的模式？（2）在学习“5以内的加减法”时，我们认为多样化后不进行优化是合理的，但在学习“6、7、8、9的加减法”时，多样化之后是否要进行优化，即是否要将“点数法”与“数的组成法”进行比较，进而优化至“数的组成法”，教师们存在较大的分岐？（3）争议较大的是，我们将计算看用一种技能，作为运算技能的算法，是否要进行优化，其认识也存在着差异。（4）对优化的主体问题，我们认为，学生是优化的主体无疑是正确的，但教师在优化过程中扮演何种角色，在认识上还比较模糊。集中体现为两种比较典型的倾向，一种是认为教师不应干预学生的优化进程，理由是相信学生随着学习进程的推进与年龄的增大，会自主进行优化；另一种倾向认为教师应及时介入学生的优化进程，理由之一是任由学生自主优化，教学效率将受到极大的影响；理由之二是放任部分学生的思维长期在低水平上重复，有违数学学习提升学生思维水平及抽象化、简约化的本质功能，同时也不符合课程标准所提倡的学生发展观。甚至有的教师还认为，对于不接受“凑十法”的学生，作为数学老师或者数学教学都有责任、有义务强制学生进行优化。当然，如果中庸地看待问题，老师应适时、积极地介入，合理引导学生进行优化。但在具体的操作中，何时介入为宜？如何处理优化过程中学生的差异？等等都是有待进一步实践与探索的问题。

（四）算法多样化的内涵应该拓展。

算法多样化是《数学课程标准（实验稿）》所倡导的基本理念之一。本文所涉及的仅局限于第一学段数与代数领域中的计算部分的起始年级。但如果我们细细研读就会发现，关于算法多样化的要求不仅仅局限于数与代数领域，其内涵也不仅仅是指计算方法的多样化，而且在不同的学段各有侧重。如数与代数领域对两个学段的要求具体描述如下：

第一学段：

应重视口算，加强估算，提倡算法多样化。经历与他人交流各自算法的过程。能灵活运用不同的方法解决生活中的简单问题，并能对结果的合理性进行判断。

第二学段：

应重视口算，加强估算，鼓励算法多样化。在解决具体问题的过程中，能选择合适的估算方法，养成估算习惯。探索和理解运算律，能运应用运算律进行一些简便运算。

因此如果我们将算法理解为解题策略、数学思想方法，那么算法多样化需要倡导和落实的范围就不仅仅为“数与运算”领域，其它诸如“空间与图形”、“统计与概率”、“实践与综合应用”等领域，值得我们深入地进行研究。

 

主要参考文献：

1、《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》   北京师范大学出版社 2000年6月版

2、《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）解读》 北京师范大学出版社 2002年9月版

3、吴卫东 《对算法多样化的理性思考》  《教学月刊》2003年第2期A版

4、沈重予 《关于算法多样化的若干问题的思考》 《小学数学教学》2003年第2期