异常观测值

一个全面的回归分析要覆盖对异常值的分析，包括离群点、高杠杆值点和强影响点。这些数据点需要更深入的研究，因为它们在一定程度上与其他观测点不同，可能对结果产生较大的负面影响。下面我们依次学习这些异常值。

8.4.1 离群点

离群点是指那些模型预测效果不佳的观测点。它们通常有很大的、或正或负的残差（Yi-Y ˆi ）。正的残差说明模型低估了响应值，负的残差则说明高估了响应值。你已经学习过一种鉴别离群点的方法：图8-9的Q-Q图，落在置信区间带外的点即可被认为是离群点。另外一个粗糙的判断准则：标准化残差值大于2或者小于-2的点可能是离群点，需要特别关注。
car包也提供了一种离群点的统计检验方法。 outlierTest()函数可以求得最大标准化残差绝对值Bonferroni调整后的p值：

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此处，你可以看到Nevada被判定为离群点（p=0.048）。注意，该函数只是根据单个最大（或正或负）残差值的显著性来判断是否有离群点。若不显著，则说明数据集中没有离群点；若显著，则你必须删除该离群点，然后再检验是否还有其他离群点存在。

8.4.2 高杠杆值点

高杠杆值观测点，即是与其他预测变量有关的离群点。换句话说，它们是由许多异常的预测变量值组合起来的，与响应变量值没有关系。高杠杆值的观测点可通过帽子统计量（hat statistic）判断。对于一个给定的数据集，帽子均值为p/n，其中p 是模型估计的参数数目（包含截距项）， n 是样本量。一般来说，若观测点的帽子值大于帽子均值的2或3倍，即可以认定为高杠杆值点。下面代码画出了帽子值的分布：

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结果见图8-13。

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水平线标注的即帽子均值2倍和3倍的位置。 定位函数（locator function）能以交互模式绘图：单击感兴趣的点，然后进行标注，停止交互时，用户可按Esc键退出，或从图形下拉菜单中选择Stop，或直接右击图形。此图中，可以看到Alaska和California非常异常，查看它们的预测变量值，与其他48个州进行比较发现： Alaska收入比其他州高得多，而人口和温度却很低； California人口比其他州府多得多，但收入和温度也很高。高杠杆值点可能会是强影响点，也可能不是，这要看它们是否是离群点。

8.4.3 强影响点

强影响点，即对模型参数估计值影响有些比例失衡的点。例如，若移除模型的一个观测点时模型会发生巨大的改变，那么你就需要检测一下数据中是否存在强影响点了。有两种方法可以检测强影响点： Cook距离，或称D统计量，以及变量添加图（added variable plot） 。一般来说， Cook’s D值大于4/(n-k-1)，则表明它是强影响点，其中n 为样本量大小， k 是预测变量数目。可通过如下代码绘制Cook’s D图形（图8-14）：

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通过图形可以判断Alaska、 Hawaii和Nevada是强影响点。若删除这些点，将会导致回归模型截距项和斜率发生显著变化。注意，虽然该图对搜寻强影响点很有用，但我逐渐发现以1为分割点比4/(nk 1)更具一般性。若设定D=1为判别标准，则数据集中没有点看起来像是强影响点。Cook’s D图有助于鉴别强影响点，但是并不提供关于这些点如何影响模型的信息。变量添加图弥补了这个缺陷。对于一个响应变量和k 个预测变量，你可以如下图创建k 个变量添加图。所谓变量添加图，即对于每个预测变量Xk，绘制Xk 在其他k 1个预测变量上回归的残差值相对于响应变量在其他k-1个预测变量上回归的残差值的关系图。 car包中的avPlots()函数可提供变量添加图：

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结果如图8-15所示。

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图形一次生成一个，用户可以通过单击点来判断强影响点。按下Esc，或从图形菜单中选择Stop，或右击，便可移动到下一个图形。我已在左下图中鉴别出Alaska为强影响点。
图中的直线表示相应预测变量的实际回归系数。你可以想象删除某些强影响点后直线的改变，以此来估计它的影响效果。例如，来看左下角的图（“ Murder|others” VS“ Income|others”），若删除点Alaska，直线将往负向移动。事实上，删除Alaska， Income的回归系数将会从0.000 06变为-0.000 85。当然，利用car包中的influencePlot()函数，你还可以将离群点、杠杆值和强影响点的信息整合到一幅图形中：

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图8-16反映出Nevada和Rhode Island是离群点， New York、 California、 Hawaii和Washington有高杠杆值， Nevada、 Alaska和Hawaii为强影响点。

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