贲友林工作室·思考||从“直观理解”到“理性想象”

——儿童数学“直观想象”素养的特质思量与教学展现

 刘国文 贲友林学为中心 

摘 要：直观想象与几何直观、空间想象密切相关，是构建数学模型、感悟思想的重要手段，是探索解题思路、进行推理的思维基础。它有利于理解数学意义、洞悉本质，在知识形态转换、数形融通中拓宽实际问题解决的途径，助推学生数学素养的提升。从课堂常态下研究了直观想象的内涵和教学实践，探索利用直观想象提升学生抽象、建模思想，发展创新思维和解决问题能力。

关键词：直观想象 特质思量 教学展现

基础教育阶段，儿童数学素养的培养，必然要结合具体的内容和学习领域来讨论。生活中的具体实物是儿童最早接触的形体空间，它们进一步抽象，就成为了小学数学课程内容四个方面之一的“图形与几何领域”。《义务教育课程标准(2011年版)》中明确的10个核心词中涉及图形与几何领域的是“空间观念’与“几何直观”，这里的空间观念与儿童的知觉、表象、想象有着紧密联系，同时，儿童对数学的理解也需要借助几何直观通过想象思维进一步对新表象加工改造。因此，直观想象是儿童感知理解数学的基本方式，更是进一步抽象和发展理性思维的基础。本文通过具体的教学案例展开探究，对直观想象的特征内涵进行分析，探讨学生直观想象素养的培养策略，从而提高儿童的数学学科核心素养。

一、思索→直观想象的特质思量

（一）什么是直观想象

儿童数学“直观想象”素养包含了“直观”和“想象”两个要素，是指“借助几何直观和空间想象感知事物的形态与变化，利用空间形式特别是图形，理解和解决数学问题的素养。”它本质上对几何直观、空间想象二者进行了融合，是一种基于图形的直观感知理解而展开想象的理性思维能力。它有数学推理的基本成分，蕴含着新发现，有利于培养儿童的创造性思维。

（二）相关概念的内涵析理

首先，我们要知道什么是直观，什么是想象。直观，从字面理解可以是“直接的观察”，有“可视”的意思，是指通过操作、观察等方式直接感知客观事物而获得的认识。而想象，它是一个直感联结的过程，是指经过加工、改造、重构已有表象，产生新意象或概念的思维过程。学生学习中的直观可能是理性的直观，看到的是图形的形状、结构等；也可能是加入了想象的直观，即透过现象看本质，挖掘知识背后深层的东西。例如：学习“圆的周长”，观察图1、图2通过直观想象得知圆的周长是直径的3倍多，而不到4倍，然后引导学生通过测量实验探究圆周长C与直径d之间的关系。学生在这个学习过程中既有直观感知、理性分析，又有想象思维、合情推理。

其次，直观想象素养与“几何直观”、“空间想象”也密切相关。数学中的“几何直观”是利用直观图形把数学问题由复杂变简单，由抽象变形象，在数学问题的直观感知、描述分析中强化了儿童的数学理解，寻求多种思路。而数学中“空间想象”则是儿童观察、分析、认知物体或几何形体的重要方式，儿童是先有空间知觉，在此基础上对信息加工形成空间表象，最后经过加工、改造、重组产生了新表象，这个过程就是空间想象。由此，直观想象是在几何直观的基础上对形体空间想象的发展与升华，它们相互作用，相辅相成。例如，学习“相遇问题”，它们都不可或缺的，教师通过两位学生的演示，让儿童“直观感知”相遇，接着通过指导画线段图，帮助形成相向运动的表象，这时的几何直观使儿童的视觉——空间表征显性化，接着，借助形成的空间观念，运用直观想象解决相遇问题中的变式问题（比如相反运动、同向运动、封闭图形运动等）。唯一不同的是，直观想象能够对学习过程中的合情推理起到重要作用。

总之，直观想象有赖于几何直观的基础，更有赖于空间观念的形成，在儿童直观想象素养的形成过程中，他的几何直观和空间想象能力能够得到进一步发展，在数形结合能力提升中感悟事物的本质，在增强运用直观图形解决问题的意识中形成创新思维。

二、探求→直观想象的价值意义

（一）它是构建数学模型、感悟思想的重要手段

数学思想方法蕴含在数学知识的学习过程中，隐藏在不同数学内容和方法的背后，其对于儿童来说是抽象的，儿童感悟数学思想方法的历程也是困难重重。让儿童在直观想象中学习数学，直观、形象的图形能能有效地帮助儿童建立数学模型，引发儿童的深入思考，为儿童感悟数学思想方法铺路搭桥。例如，低年级的“和一定，差越小，积越大”规律，可以用线段图直观展示量得变化（图 3），还体现出量的变化趋势，感悟函数思想；随着年级升高，积一定时两个因数的反比例关系可以借助长方形面积一定这个几何模型（图4），当长方形面积固定不变时，宽随着长的变化，长越大，宽就越小，深化对函数思想的认识。

（二）它是探索解题思路、进行推理的思维基础

在数学学习中，儿童对“数学的严谨、抽象”感到困惑，尤其在解决较复杂的问题时无从下手。这是由于儿童对数量关系不理解，找不到题目中的对应关系。所以，找到正确的对应关系，是解决问题的关键。让儿童把抽象的文字转化成直观的图形，可以使原本隐含的对应关系变得清晰可见，通过图形的直观发挥想象，丰富解题思路，培养推理分析能力。例如，苏教版四年级下册《解决问题的策略》例1：小宁和小春共有72枚邮票，小春比小宁多12枚。两人各有邮票多少枚？把题目的的信息转化为下面的三幅图（图5—图7），经过分析推理可以得出三组解题思路。

（三）它是理解数学意义、洞悉本质的关键所在

直观想象能够将数学的抽象与图形的直观有机结合，支撑儿童的数学表达，有助于儿童把握问题的本质，促进了儿童对数学意义的理解。例如，在学习乘法分配律时，图形的直观作用可以很好地帮助儿童理解这个运算定律。出示一个长8厘米、宽5厘米的长方形，让儿童借助这个长方形的面积计算来理解乘法分配律（图8）。利用这样的面积模型来理解乘法分配律，使儿童经历了从直观表象、想象操作到形式抽象的思维过程，发展了儿童的直观想象素养。

（四）它是知识形态转换、融通数形的核心灵魂

在问题解决过程中，把问题转化成线段图、平面图形、立体图形，通过知识形态转换的方法会使问题变得容易许多。构建直观图形时，需要通过想象与图形建立联系，将文字形态的信息及数学关系直接反映在图形中，实现知识形态的转换，融通数与形，然后在构造的图形中寻求问题的解答。例如，长途汽车行驶完甲、乙之间全程需要用4小时。公共汽车每隔1小时从甲、乙两站同时发出一辆汽车，如果每天从上午6时开始，最后一辆车在下午4时发出。从甲站发车的汽车司机最少能看到几辆迎面驶来的公共汽车？最多能看到几辆？我们可以构造如下几何模型（图9），斜线段分别表示从甲站开往乙站的车和从乙站开往甲站的车，交点表示相遇。从这个几何模型中可以看出：最少5辆，最多9辆。

（五）它是思维品质提升、求异创新的动力源泉

直观想象能够让思维在解决问题过程中实现变通，从而摆脱习惯性思维方式的束缚，作出转换、假设、化归、运动变化等多种设想，把握数学内部的广泛联系，能动地应用数学知识巧妙地解决某些实际问题，激励儿童乐于求异的心理倾向。例如，学习环形面积后，出示图片（图10）引导学生观察、想象，找出这一图形与环形的联系，然后计算它的面积。学生描述通过想象形成的新表象，教师再沿BC剪开（AB=BC=CD），进行翻转平移，分析归纳出相互关系。（图11）

三、实践→直观想象的教学展现

在数学学习中，儿童直观想象素养的培养，能够激发儿童运用直观图形思考问题的意识，帮助儿童发展空间想象能力，深化对数形结合思想方法的认识。要重视学生直观感知的培养，逐步提高儿童的空间想象能力。

（一）突出本质：以几何直观为经线，在图形描述中固本扶元

面对数学问题，要引导儿童主动利用图形去描述和分析问题，借助几何直观把复杂数学问题简明化、形象化。同时，要加强对文字语言、符号语言和图形语言的理解与转化。

1.数形结合，图说一体中个性表达

数学学习中，有些难以理解和掌握的内容，可以让儿童通过对概念的理解画出直观图，然后充分利用“形”，把抽象的概念、复杂的运算变得形象、直观，丰富学生的表象，引发联想，得到结论。

上述学习过程中，老师组织儿童利用数学结合的方法探究算理算法，儿童表象清晰，记忆深刻，既强化了算法，有对算理的理解透彻。儿童按照自己的理解画出直观图，再利用图形讲述算理，实际也是形象思维与抽象思维协同应用的过程，从而在个性表达中提升直观想象的能力。

2.构造直观，画图用图中本性创造

在面对具有现实意义的数学问题时，要激发儿童的画图意识，通过个性化的理解和本性化的想象，能把抽象的数量关系直观、形象地表达出来，从而帮助儿童解决问题。

案例2：求一个数的几倍是多少

学习过程中激发儿童表达：你是怎样理解“野鸡的只数是野鸭的3倍”这句话的？请在下面画图表示，比一比谁画的美观、简洁、更有数学味。图14是集合图分类表达，但数量关系不是很清晰，图15是用符号化的方式表达，排列整齐，数量关系对应清晰；图16是用线段图的方法表达，更加简洁地表示出了5倍数量关系的含义，同时标出了条件和问题。

在这个教学中，儿童在面对复杂的实际问题时，老师首先要鼓励用直观图来帮助自己理解题意，通过想象创造性的用图形表达题意，这些直观图引发了同学之间的深度交流与讨论，进而通过沟通“图”与“式”之间的联系，促进儿童对抽象的数量关系的理解。

（二）跨越认知：以空间想象为纬线，在合情推理中锦上添花

爱因斯坦所说：“想象力比知识更重要，因为知识是有限的，而想象力概括世界的一切，并且是知识进化的源泉，严格地说想象力是科学研究中的实在因素。”课堂教学中的创设问题情境，丰富学生的想象，是提升学生直观想象的一种重要举措。空间想象力不仅仅是根据已有的空间表象创造建立新表象的过程，根据空间建立的表象进行推理，也是空间想象力非常重要的部分。

1.启发观察推想，积累空间表象

儿童空间表象的积累，依赖于尝试、想象、推理、验证、思考的过程。实际学习中，要让儿童借助实物或几何模型，对事物的空间形式进行观察、分析、认知，对空间图形的点、线、面的位置关系与变换积累空间表象，从而大胆猜想、深入探索。

案例3：在想象中发现长方体“面”的特征

（1）（出示长方体直观图）每次擦去一条棱，让儿童想象出长方体原来的样子（图17）

师追问最后一幅图，还能去掉吗？为什么？

（2）观察剩余三条棱的特点，揭示长、宽、高。

（3）连线：找出对应的面是几号长方形？（图18）

（4）说一说：长方体的“面”有什么特征？

学习过程中没有应用操作的方法让学生探究长方体“面”的特征，而是引导学生通过推测性想象揭示“长、宽、高”的基础上，再展开合理联想，把长方体的6个面和对应的长方形连一连，从而引导学生发现长方体“面”的特征。整个过程都是围绕长方体特征的发现、验证和固化有序展开，层层递进，操作与思考相辅相成，学生经历了直观感知、思考内化和空间想象的过程，在想象和联想的交融中合情推理，可谓独具匠心。

2.诱发猜测联想，发展空间想象

在空间与图形的学习中，应积极创设有利于学生猜测、想象的活动，让熟悉的直观形体在儿童的头脑中重现、加工和改造，把观察知觉水平和思维想象水平紧密结合，发展空间观念。

案例4：表面积和体积复习课

用一张长方形纸，你能创造出哪些立体图形？儿童首先通过直观观察、猜测想象用长方形平移可以得到的长方体（图 19），教师让儿童联想，如果是正方形、圆形纸片平移会得到什么立体图形？教师追问：还可以怎样运动？孩子们再次联想，想象出通过旋转可以得到圆柱（图20），教师在通过动画直观演示结果，再次追问：那直角三角形旋转呢？孩子们再次陷入直观想象中。

教学中，从起点情境出发，先鼓励学生联系已有知识与经验进行想象，通过平移、旋转再造立体图形，打通二维和三维空间，大胆猜想结论，培养了儿童直观想象素养。

（三）连点成线：以高阶思维为轴线，在运动变化中沟通联系

平面几何研究的对象是形象直观的图形，而图形是平面几何中思维借以展开的依据。在平面几何教学中多做直观演示，在演示中，要特别引导学生注意观察，要有反思、顿悟，通过观察和引导使学生获得几何直观和空间想象思维的感性认识。

1.变式中激发思维直感，引导儿童直观理解

解决问题中，有时要对各种组合图形在变位、变式情况下的再认，以及是否能正确地辨认在复合、综合形态下的几何图形。这样的分解辨认既有静态的又有动态的，有时需要对图形添加辅助线将图形分解，有时需要将图形的某些部分运用平移、旋转等方法，进行移位，重新组合后辨认，强化直观理解，培养儿童的直感。

案例5：求图形的面积（图21）和求图形的周长（图22）。

利用儿童主体已在头脑中形成的基本几何图形表象，对具有部分特征相同的数学对象进行表象补形，实施整合例如，在等价变换中使复杂问题转化为基本问题。

2.变通中激发思维灵感，引导儿童直观洞察

直观想象需要对数学形象进行特征推理，形体表象在主体头脑中的有机组合和变通，构思产生新的形象。

案例6：圆柱的体积，图23是从圆面积公式推导，联想到圆柱体积公式推导，割补法由二维推广到了三维，使学生空间观念的内涵得到了丰富。如果进一步启发学生，联想到后一种情况（图24）把圆柱侧面的一半看作长方体的底面，则长方体的长就是圆柱体底面周长的一半。这样，可以更好的诱发学生直观想象，使空间观念得到了激活与提升。在解决类似“一个圆柱的侧面积是400平方厘米，底面半径是3厘米，求它的体积”这类问题时，可以灵活得出：400÷2×3。

史宁中教授认为：在大多数情况下，数学的结果是“看”出来的，而不是“证”出来的。笔者认为史教授所说的“看”的能力包含了孩子们依赖于直观想象的一种直觉能力。因此，数学“直观想象”能力的养成能够让儿童形成发现、提出、分析、解决数学问题的思维加工机制，它是数学直觉产生与顿悟的基础，也是进行数学推理、数学抽象的思维基础，更是以及沟通数学知识与现实世界之间的智慧桥梁。

参考文献：

[1]曹培英. 跨越断层，走出误区[M]. 上海 ：上海教育出版社，2017.

[2]郑水忠．小学儿童学几何[M].上海：上海教育出版社，2017.

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[4]史宁中.数学思想概论(第1辑):数量与数量关系的抽象[M].长春:东北师范大学出版社，2008.

[4]中华人民共和国教育部.高中数学课程标准[M].北京:人民教育出版社出版，2017.