原创： 李庆海 李庆海数学工作室 

本期导读

   1. 读书笔记：面积概念的本质是度量

   2. 名师案例赏析：

      立足知识本质，提升思维能力——特级教师张齐华《认识厘米》片断赏析

   3. 备课参考

     贺艳：基于儿童视角，探寻情境导入实效性——“认识厘米”磨课与思考

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01

读书笔记

面积概念的本质是度量

——读张奠宙教授《小学数学教材中的大道理》17、18题笔记

读了张奠宙教授的《深入浅出，平易近人——怎样测量长度、面积和体积》、《削枝强干，消除平庸——谈小学数学教科书中“测量”的编排》这两篇文章，真是受益匪浅。张教授对小学数学教材中关于“测量”的教材编排进行了梳理与分析，长度、面积和体积的概念进行了阐述，指出长度、面积、体积都是几何度量领域的概念，他们都具有“数”的属性，即找到一个合适的数对其数学属性进行描述，且都具备“有限可加性”、“运动不变性”和“正则性”这三个特征。

面积，《辞海》（第六版）的解释是：几何学的基本度量之一。是用以度量平面或曲面上一块区域大小的正数。通常以边长为单位长的正方形的面积为度量单位。

张教授认为，《辞海》中关于“面积”的定义并不是严格的定义，但是它强调面积是一个数，这很重要。面积是对一些平面图形分别指定一个数，而且要满足“有限可加性”、“运动不变性”和“正则性”这三个特征。

我通过再三阅读，理解了这里的“数”，其实就是明确一个基本单位，例如测量长度的基本单位是厘米，面积的平方厘米、体积是立方厘米。这里的数就是确定1个度量单位。

“有限可加性”，如用直尺测量课桌面的长度时，尺短需要不重叠的量好几次才能量完，然后把几段长度加起来获得最后的结果。

“运动不变性”，如将数学书从书包里拿到桌子上，它的位置不同，但是长度是一样的。又如俞正强老师问学生杭州的1厘米与北京的1厘米，是不是一样长，说的就是运动不变的道理。

“正则性”，则是指确定的度量单位，如边长是1厘米的正方形的面积是1平方厘米，同样以此类推1立方厘米是棱长是1厘米的正方体的体积是1立方厘米。

孩子在学习测量时，有限可加性可以说是孩子的直觉，不用讲也是知道的，运动不变性也是一种直觉，最难的则是“正则性”，即建立度量单位的表象，培养孩子的空间观念。

02

名师案例赏析

立足知识本质，提升思维能力

——特级教师张齐华《认识厘米》教学片断赏析

盐城市解放路实验学校  祝运   

著名特级教师张齐华“认识厘米”一课在引导学生操作、观察、探究等过程中不断形成合理信念：不管从尺的哪一条刻度线开始量，被度量的物体里包含几个1厘米，那么它的长度就是几厘米。这种触及数学学科内核和知识本质的教学理念和方法值得我们学习。 
　　【片段一】自主操作，引出本质
　　师：拿出直尺，先试着量一量红色小棒的长度。
　　师：谁愿意分享一下你的测量方法和结果？
　　生：（图1）我把小棒的一头对着直尺上的0，另一头正好对着6。所以，我认为这根小棒长6厘米。 

　　师：有没有谁的测量方法或结果和他不一样？
　　生：（图2）我把小棒的这一头对着尺子的一头，另一头不到6，所以我认为这根小棒的长度比6厘米短。

　　师：两种不同的方法，你赞成哪一种？为什么？
　　生1：我赞成第二种，因为测量的时候要一头对齐。 
　　生2：我赞成第一种，因为测量的时候要从0开始，如果从直尺的头开始（手指直尺的前端空白处），这里什么都没有。 

【赏析】

     上课伊始，张老师并未按部就班直接教授“什么是厘米或1厘米”，而是另辟蹊径，让学生根据自己的已有经验直接动手测量，借助操作让学生已有经验实现“可视化”：学生错误的操作就暴露了学生“前经验”中的不合理成分；尽管部分学生能正确操作，但认为“测量要从尺上的刻度0开始，一端要和0刻度对齐，另一端对着刻度几就是几厘米”，事实上这只是度量的一般方法而已，未涉及度量本质，这也就反映了学生的认识仍停留在经验的表层阶段，未上升至科学理性的认识。而且学生彼此之间相互冲突的测量信念、方法和结果又为接下来知识本质的学习提供了切入点。 

　　【片段二】互动交流，突出本质
　　师：1厘米不是指一个刻度，而是指一段长度，比如刻度0到刻度1这一段。那么，在这把尺子上，你还能找到别的1厘米的长度吗？ 
　　生1：我觉得刻度1到刻度2之间的长度也是1厘米。 
　　生2：我觉得相邻的两个数字之间的长度都是1厘米。 
　　生3：我觉得这里的每一格的长度都是1厘米。 
　　生4：我在我的这把直尺上一共找到15个1厘米。 
　　…… 
　　师：观察得真细致！不过，老师有一个疑问，直尺上为什么要画这么多的1厘米？如果直尺上只剩下一个1厘米，（出示图3）我们还能用它测量出这根小棒的长度吗？

　　生：我觉得不行！如果只剩下一个1厘米，那么，小棒的一头对着0，另一头就看不到数字了，我们就没法知道小棒到底长几厘米。 
　　生：我觉得可以，只是要麻烦一些。我们可以先用这把直尺量出小棒中的1厘米长，做上标记；然后从标记往后再量1厘米，再做标记。这样一直量下去，量6次正好量完。所以，这根小棒的长度就是6厘米。 
　　师：如果这根小棒再长一些，这种方法还能用吗？
　　生：能！只是测量的次数要更多一些。
　　师：看来，直尺上有几个1厘米并不重要。关键是，我们要想办法知道这根小棒里究竟有几个这样的1厘米，它的长度就是几厘米。 
　　师：通过刚才的讨论，你是更愿意用这样的直尺（图3）呢，还是用自己手中的直尺？ 
　　生1：我更喜欢自己的直尺，因为这样很方便，不用一次一次地去量。 
　　生2：我也更喜欢自己的直尺。用自己的直尺，我们只要一頭对着0，另一头对着几，我们就能一眼看出它是几厘米。 
　　师：为什么另一头对着几，它的长度就是几厘米？
　　生：因为它的一头对着0。（学生一时找不到更好的理由。） 
　　师：想一想，当小棒的一头对着直尺的刻度0，另一头对着刻度6，那么，这根小棒中包含了几个1厘米呢？我们一起来数一数。 （学生数完后，发现里面包含了6个1厘米。） 如果另一头指着刻度7，那么它的长度里包含几个1厘米？ 
　　生：它的长度里包含了7个1厘米。 
　　师：现在，你知道为什么小棒的一头指着刻度0，另一头对着刻度几，它的长度就是几厘米吗？ 

　　生：因为一头指着刻度0，另一头对着刻度几，它里面就包含了几个1厘米。所以，它的长度就是几厘米。 

【赏析】

     “一端要和0刻度对齐，另一端对着刻度几就是几厘米”，这是我们日常测量的常规操作。事实上，这样的常规操作来源于“用厘米量”的本质，是度量原理的外在表达。但教学如果仅仅是这样的操作性表层的纯技能训练，学生只是知其然，而不知其所以然，长期处于不思考或浅思考状态，久而久之，思维能力必然弱化，技能训练就简单化、模式化为枯燥的、程序化的机械训练，甚至是惰性旋转。张老师循序渐进，在学生的度量活动与学习进程中巧借特殊直尺，启发学生感悟“用厘米量”的本质就是看“被度量的对象里包含了多少个1cm”，在此基础上，借助特殊直尺与常规直尺的对比，顺势引导学生自然发现“一端要和0刻度对齐，另一端对着刻度几就是几厘米”背后的数学本质。这样的教学活动着眼于学生的深度学习，着眼于学生对数学知识本质的学习，这种在真实、自然、自主的感悟中习得的技能才是真正有用的技能。 

　　【片段三】拓展思维，深化本质
　　师：下面的三把尺子上分别有一根小棒，第一根小棒两端对着直尺的刻度0和刻度4，第二根小棒两端对着直尺的刻度0和刻度7，第三根小棒两端对着直尺的刻度 2和刻度8，你能一眼看出它们各是几厘米吗？ 
　　生1：第一根小棒的长度是4厘米。 
　　生2：第二根小棒的长度是7厘米。 
　　生3：第三根小棒的长度是8厘米。 
　　生4：我觉得第三根小棒的长度是6厘米，因为它的前面没有指着0，而是指着2，8-2=6 厘米。 
　　生5：我也觉得第三根小棒的长度是6厘米，因为我数了一下，发现它里面有6个1厘米。
　　生6：我想提醒大家注意，如果小棒的一头对着0，我们就可以直接看后面的数字；如果小棒的一头没有对着0，我们就不能直接看后面的数字了。 
　　生7：我也想提醒大家，如果小棒的一头没有对着0，我们可以把小棒向前移动，直到小棒的一头对着0，这样，我们就能一眼看出小棒长几厘米了。 
　　师：继续提高难度。如果我们把直尺上的数字全部擦除（出示图4），你现在还能知道这根小棒长几厘米吗？ 

　　生：能！我们知道这一格是1厘米，所以我们只要数一数它里面有几个1厘米，就能知道它的长度是几厘米了。 
　　生：我还有办法，我们只要把尺子上的这些刻度从0开始都标上去，就能看出小棒的长度了。 
　　生：我还有更好的办法！我们给尺子标刻度时，不要从最左边开始标0。而是看一看，小棒的一头在哪里，我们就从这里开始标0。这样，我们就可以直接看出小棒的长度了。 
　　【赏析】

数学基本技能的形成需要适度训练，但科学的训练应当给予学生感悟、比较、分析与概括策略和方法的机会，不断凝练要义，提升认识，抽象出数学技能背后隐藏的数学本质。在学习过程中，张老师提供给学生很多变式练习，帮助学生积累多种度量方法和经验，将学生的思维聚焦到无论从哪儿开始度量，无论有无刻度，都不是最重要的，关键还在于被度量的对象里究竟包含了多少个1cm，这才是“用厘米量”的本质，这种经过思维淬炼的技能才是真正有用的技能。而且，经验具有可迁移性，对“用厘米量”本质的细致剖析，也为后续的质量的度量、面积的度量、角的度量等活动提供了基本的认知框架，为学生自主抽象、建构度量原理奠定了基础。

　　（原文发表于《江西教育》2018年11月刊）

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03

备课参考https://mmbiz.qpic.cn/mmbiz_gif/VSo3rmwgpqrYEO0nZ3abXgPYXH802gbicVAxnpPtuQhM35h0NAICANy8ibxLwcw7t5kcZUv84negqTIYrjKcxoYw/640?wx_fmt=gif&tp=webp&wxfrom=5&wx_lazy=1

基于儿童视角，探寻情境导入实效性

——“认识厘米”磨课与思考

  南京市浦口区汤泉小学    贺  艳