关于文行先生“所诬”牛顿“抄袭”的微积分公式在牛顿时代的四种推导法(兼替牛顿伸两件冤)

萧然山  2023/1/12

“西方伪史论者”文行先生《微积分不可能是西方原创发明》一文中提到(认为)牛顿抄袭了幂函数的积分公式。为了方便，我概括他的文章此段内容如下：他先引用“William Dunhamw，《微积分的历程》，李伯民译，人民邮电出版社，2010，第14页”，里面叙述到：牛顿有一个关于曲线下方面积的命题，设曲线是y=ax^(m/n),那么该曲线下方与横坐标[0, x]所围的面积为S=[an/(m+n)]*x^[(m+n)/n]。此命题相当于在说积分∫[ax^(m/n)]dx=[an/(m+n)]*x^[(m+n)/n] （积分区间为[0, x]）。

由于此公式在表面上看起来稍显复杂，牛顿对此公式，又没有具体推导，只有“简略的说明，而不是正确的论证”，外加文行先生自己偷梁换柱，把牛顿时代没有严格的现代极限概念，偷换为牛顿时代没有极限概念，于是认为既然他们没有极限定义，牛顿是怎么创立微积分呢？绝对不可能创立，那么只能是抄袭中国的微积分。文行先生认为:“牛顿并没有写出得到该法则公式的过程，似乎是从天而降……这相当于某人不知道该题怎么解，却事先知道了答案……从天而降的面积幂函数是解该题的关键之一。这是非常明显的抄袭！”

这里，我要在文行先生面前，替牛顿伸冤两件：

（1）第一件冤：牛顿有极限思维，这已经足够帮助他创建微积分了。牛顿自己对极限的定义如下：“两个量与量之比(作者注：这个比可以理解为导数ds/dt)，如果在有限时间内不断趋于相等，且在这一时间终之前互相靠近，使得其差小于任意给定的差，则最终就成为相等。”  

看这里的关键词“在这一时间终之前互相靠近，使得其差小于任意给定的差”，这已经具有后来的柯西、威尔斯塔拉斯ε-δ极限定义语言的雏形了。 文行先生你怎么说牛顿没有极限概念？其实，牛顿只是没有现代严谨的极限定义（ε-δ那种定量的过程定义），但不等于说牛顿他没有极限思维，牛顿的极限思维已经足够创立微积分各种公式了。

文行先生这种偷梁换柱要不得。打一个比方，一个成功的小商人说自己没钱（比起马云），于是你文行先生就偷换为“他是真没钱、很失败的那种”，于是进一步脑补“阴谋论”，演绎出“他平时穿金戴银、三四套房子都是偷来的”的结论来。这样的“偷梁换柱”风格，在文行先生多篇“西方伪史”论文章中多有体现。

（2）第二件冤：牛顿此积分公式并非“从天而降”或者“抄袭”，在他那个时代，至少有四种推导法。我这里不是在做“事后诸葛亮”，而是完全是站在牛顿时代的知识范围来说的。事实上，牛顿这个积分∫[ax^(m/n)]dx=[an/(m+n)]*x^[(m+n)/n]表面上看起来复杂，但实际上很简洁，所谓m+n、m、n这些量只是一个“幌子”。只要令(m+n)/n=b，那么牛顿这个公式就可以化为：∫ax^(b-1)dx=(a/b)x^b 。两边约去一个常数因子a，得到∫x^(b-1)dx=(1/b)x^b 。简单吧？简单。

此公式在牛顿时代，至少有四种推导方法：

【法一】：利用 “牛顿二项式”公式（1664-1665）。牛顿二项式公式说的是：设x和ε是任意数字，那么它们之和的b次方，可以展开为：（x+ε）^b=x^b+bx^(b-1)*ε+[b(b-1)/2] x^(b-2)*ε^2+……（共计b+1项之和）。顺便说，其中展开系数1、b、b(b-1)/2……可以组成三角形，在中国叫“贾宪-杨辉”三角，在欧洲叫“帕斯卡”三角。对于我们现在的微积分问题而言，ε是一个任意小(足够小)的非零数值，这个“牛顿二项式公式”只要展开到前两项就可以（简单吧），取前两项为（x+ε）^b=x^b+bx^(b-1)*ε ， 那么（x+ε）^b-x^b= bx^(b-1)*ε，或者进一步化为：(1/b)（x+ε）^b-(1/b)x^b= x^(b-1)*ε这个式子有几何含义：右边x^(b-1)*ε是高为x^(b-1)、宽为ε的细条形状面积，那么左边(1/b)（x+ε）^b-(1/b)x^b就是两个面积函数S(x+ε)、S(x)之差（等于细条形状面积），于是函数x^(b-1)下方与横坐标[0, x]所围的面积正是(1/b)x^b，也就得到牛顿的公式：∫x^(b-1)dx=(1/b)x^b。只要对牛顿二项式公式熟悉，这个结果是可以在走路时凭着心算得到的。

正如牛顿所说，他的方法是“简略的说明，而不是正确的论证”（卡尔·B·波耶，《微积分概念发展史》，唐生译，复旦大学出版社，2007年，第204-205页），我上面所讲的“牛顿二项式”方法，也是一个“简略的说明”，因为在牛顿二项式公式（x+ε）^b中，b是一个自然数，但是，在积分∫x^(b-1)dx=(1/b)x^b中，b却可以是小数。但是，这样的“简略的说明”，已经足够可以建立、验证这个积分公式了。

【法二】：利用分部积分法，从低次幂函数开始推导，∫dx=x、∫xdx、∫x^2dx、∫x^3dx、∫x^4dx，可以递推出任意次幂的积分∫x^(b-1)dx。分部积分法是微积分的自然而然的基本技巧，在牛顿时代已经有。对最简单的∫xdx用分布积分法：∫xdx=∫d(x^2)-∫xdx，那么就有2∫xdx=∫d(x^2)和∫xdx=(1/2)∫d(x^2) =(1/2)x^2；  对∫x^2dx用分布积分法：∫x^2dx=∫d(x^3)-∫xdx^2=∫d(x^3)-2∫x^2dx,  化为：3∫x^2dx=∫d(x^3)，得到∫x^2dx=(1/3) x^3.  你看出规律了吗？这个规律很简单。于是，牛顿积分公式∫x^(b-1)dx=(1/b)x^b，可以很容易得到。

【法三】：从线、面、体角度利用数学归纳法，线的积分是面积，面积的积分是体积，如果线、面是幂函数，那么它们的积分（面积和体积）也是比前者高一阶次(多乘一个x)的幂函数，这是一个基本经验，因此∫x^(b-1)dx肯定正比于x^b，至于系数是什么？那就可以用数学归纳法（从b=0、1、2、3）归纳，就可以得到一般的结果。

【法四】再次使用“牛顿二项式公式”，但是不同于上面的“法一”。幂函数x^n的导数原始定义是：dy/dx=[(x+Δx)^n-x^n]/(Δx)=[x^n(1+Δx/x)^n-x^n]/(Δx)= x^n[(1+Δx/x)^n-1]/(Δx). 然后再使用“牛顿二项式公式”(1+Δx/x)^n的展开，只要展开到前二项就可以了，即(1+Δx/x)^n=1+nΔx/x，于是代入前面的dy/dx，立即得到：dy/dx=nx^(n-1)， 将n改为b，得到dy/dx=bx^(b-1)，它的逆运算就是牛顿的积分公式∫x^(b-1)dx=(1/b)x^b。此法虽然也用“牛顿二项式公式”，但是没有用到积分的面积几何意义，因此与上面的“法一”在本质上不同。

 以上四法，属于在牛顿时代已经掌握了的知识范围，不是“事后诸葛亮”。但以上四法，有瑕疵（这是正常的历史局限性），那就是幂函数的幂b、b-1是自然数，无法是分数。而牛顿将积分公式为什么写得那么复杂：∫[ax^(m/n)]dx=[an/(m+n)]*x^[(m+n)/n]？我认为原因是：牛顿为了表明他的幂函数中的幂，b-1=m/n、b=(m+n)/n，也可以是分数即有理数（凡是能用两个整数相除的分数，都是有理数）。这只要用对数函数来联系即可（牛顿时代已经有对数概念），y=x^(m/n)两边取对数，得到log(y)=(m/n)log(x)，两边放大n倍，于是分数幂次的函数就可以化为自然数幂次的函数，因此上面牛顿时代的四法虽然是对b为自然数适用，但是通过对数联系，当b为任何有理数时，也是适用的。

结论：文行先生说牛顿抄袭，这是无端指责。

最后，我们来说文行先生的一个措辞很强的质疑：“尤其是牛顿突兀地“指定”曲线AD的面积为幂函数z（x），为什么不指定为三角函数或其他类型的函数？从天而降的面积幂函数是解该题的关键之一。这是非常明显的抄袭！”

我对文行先生这段话有几个纳闷。他说牛顿突兀地“指定”曲线AD的面积为幂函数。其实牛顿没有突兀地“指定”曲线AD的面积为幂函数，我上面已经证明，只要用以上四法（包括“牛顿二项式”），他的面积结果只能是幂函数，不需要指定、不需要假设。线的积分是面积，面积的积分是体积，如果线、面是幂函数，那么它们的积分（面积和体积）也是比前者高一阶次(多乘一个x)的幂函数，这是一个基本经验，这怎么叫突兀地指定？

另外，文行先生为什么要反问“为什么不指定为三角函数或其他类型的函数？” 文行先生这个三角函数问题问得莫名其妙，实际上是他问得漏风了（怎么着也无法与三角函数联系起来），这也证明所谓“牛顿抄袭”为他自己信口胡说而已。

查阅文献，歪曲文献，再做“三季人”的主观臆测，脑补“阴谋论”，得出西方剽窃、伪造的“伪史”论，这是“西方伪史论者”的一贯风格。