维特根斯坦的数学观和他的哲学观一样，前后期并不十分一致。早期的维特根斯坦的数学观很简单，他认为数学就是一个庞大的重言式，数学是无实际内容、无思想的。维特根斯坦在《逻辑哲学论》中说：“数学是一种逻辑方法。数学命题是等式，因此都是伪命题。数学命题不表达思想。”[1]这一宣称也曾是逻辑实证主义（维也纳学派）的信条，他们拿维特根斯坦作为他们自己的精神导师。[2]可见，早期的维特根斯坦和逻辑实证主义一样，他们都认为数学不可能不一致，原因很简单，在无实际内容的重言式里不可能有矛盾，否则数学就不是无内容的重言式。

维特根斯坦后期的数学观受直觉主义者布劳威尔的影响很大，在看待某些数学问题时表现出强烈的直觉主义倾向。[3]例如维特根斯坦说：“一个矛盾只有当它在那儿时，才是一

人们一般认为：证明对于数学来说是本质的，只有证明才能使结果确定。这句话听起来很有道理，因为数学的定理不能建立在信仰之上，数学的定理也不能建立在经验的根据上，比方说哥得巴赫猜想，到目前为止，我们的经验都支持它的正确性，但我们并不能说它已经得到了证明。照此说来，数学定理到底应该建立在什么样的基础之上呢？数学定理应该建立在“证明”的基础之上。由此可见，证明对于数学来说确实具有本质的重要性。但是，鉴于哥德尔定理，我们又不能把数学中的一切都托付给“形式化证明”。形式化证明本身也不是无条件的，如果说证明所依赖的公理集不是不证自明的，不是直观可信的，那么我们的确定感又来自于什么地方呢？现代数学中的标准证明都最终依赖于集合论的公理，操作上依赖于逻辑语言和符号，因为数学家相信，只有这样的证明才是合法的证明。但是鉴于集合论自身的一些问题，比方说集合论自身的一致性问题，这种数学家的信仰的合理性又在什么地方呢？

现在我们来看一个在数学分析、复变函数以及拓扑学中极其重要的定理——若尔当定理，它的表述是这样的：设J是C上任一条若尔当闭曲线，那么开集C-J有两个连通分支：一个有界的