维特根斯坦的数学观和他的哲学观一样，前后期并不十分一致。早期的维特根斯坦的数学观很简单，他认为数学就是一个庞大的重言式，数学是无实际内容、无思想的。维特根斯坦在《逻辑哲学论》中说：“数学是一种逻辑方法。数学命题是等式，因此都是伪命题。数学命题不表达思想。”[1]这一宣称也曾是逻辑实证主义（维也纳学派）的信条，他们拿维特根斯坦作为他们自己的精神导师。[2]可见，早期的维特根斯坦和逻辑实证主义一样，他们都认为数学不可能不一致，原因很简单，在无实际内容的重言式里不可能有矛盾，否则数学就不是无内容的重言式。

维特根斯坦后期的数学观受直觉主义者布劳威尔的影响很大，在看待某些数学问题时表现出强烈的直觉主义倾向。[3]例如维特根斯坦说：“一个矛盾只有当它在那儿时，才是一个矛盾。……我认为，只要没有给出一个寻找矛盾地程序，那么怀疑我们的推理是否不可能最终导致矛盾是没有意义的。只要我能玩游戏，我就可以玩它，而且一切都是正常的。”[4]由此可见，维特根斯坦跟随直觉主义者，认为一个东西没有被建构出来得时候，谈论它，依靠它推理都是没有意义的。

后期的维特根斯坦的数学观虽然发生了很大的变化，但对“数学是无内容的”这一点上并不存在本质的改变，据此，维特根斯坦和直觉主义者也不完全一致，因为直觉主义者认为数学是有直观内容的。后期的维特根斯坦爱用游戏（Spiel）来解说数学。对于游戏来说，什么样的游戏规则就决定着什么样的游戏，棋子的材质是什么样的并不起任何作用，维特根斯坦曾形象地说：“在下棋时，如果我说‘我有一个吓人的皇后，它的眼睛闪闪发亮’等等，这会给我得对手以深刻的印象吗？”[5]同理，对于数学来说，墨线等材质性的东西并不重要，重要的是演算和推理规则。不过这里我们需要注意的是，对于数学中的实质性公理（比方说几何学中的平行公理，集合论中的无限公理），维特根斯坦并没有清楚的阐明。按照维特根斯坦的思路，人们可以把实质性公理类比成棋类游戏中棋子的初始位置。[6]不过这个类比有其模糊不清的地方，比方说无限公理该如何类比，如果说维特根斯坦认为数学中的实质性公理是完全可以形式化的，那么维特根斯坦的观点就很接近形式主义者的观点（比方说希尔伯特）。如果说公理不可以完全形式化（比方说布劳威尔），那么维特根斯坦就很难坚持说数学是完全无内容的。维特根斯坦有可能想折中形式主义和直觉主义。

下面我们就从“一致性”的视角来看维特根斯坦的数学观。

数学的一致性问题至今也没有得到最终解决。就在维特根斯坦生活的时代，一致性问题慢慢地成为了一个十分重大的数学问题。当时最著名的数学家希尔伯特就曾试图证明数学系统是一致的，也就是说无矛盾的，使得数学有一个安全的基础。这就是数学史上著名的“希尔伯特计划”。如果数学是不一致的，那么数学命题的分析性，以及数学命题都是重言式就无从谈起。当时的情况引起了某些关心数学基础的逻辑实证主义者的注意和不安，比方说卡尔纳普、维特根斯坦的追随者魏斯曼等等。不过他们仍然希望，如果数学系统是一致的，那么他们的观点只要经过一些小的修正就还是正确的。他们很希望他们的精神导师维特根斯坦能够给他们支持与信心，但总的说来，维特根斯坦令他们失望了，因为维特根斯坦虽然还相信数学肯定是一致的，但他自己已经偏离了他在《逻辑哲学论》中的观点，他不再简单地断言数学是重言式。从整个的对一致性问题的论辩来看，维特根斯坦自己的观点显得有些摇摆不定，这也表明了维特根斯坦本人并没有对一致性问题做过深思熟虑的考察，他好像并没有意识到整个问题的复杂性。

在刚开始讨论数学的一致性问题的时候，维特根斯坦还信心满满地说：“我一直在读一本希尔伯特写的论一致性的书。我有一种印象，整个问题都提错了。我想问一下，对于数学而言，它甚至可能不一致吗？我想问问那些人，你真正想干什么？你真地相信数学中隐含着矛盾吗？”[7]当时，维特根斯坦认为，解决一致性问题的方案很简单：人们应当区分演算和闲语，真正的数学演算是不会产生矛盾的，闲语是一些在批判中可以消失的东西的名称和在演算中的引喻（有趣的是维特根斯坦自己爱用游戏这个比喻来谈论数学）。[8]于是，维特根斯坦断言，公理的一致性和独立性只是些闲语，最后维特根斯坦坚定地说：“尽可能严格地区分演算和这种闲语是非常重要的。一旦人们明白了这种区分，那么所有这些问题，例如，那些关于一致性的问题，独立性的问题，等等，都将被消除。”[9]

但是这样的解答并不能使一个真正思考过这个问题的人满意，就连维特根斯坦的崇拜者和追随者魏斯曼[10]也不能满意，因为数学公理确实不能还原成唯一一个（重言式的）公理，并且这些公理确实可以不一致，因为它们是独立的。它们之间凭什么不会产生矛盾？这的确需要阐明。这种“不一致与否”你也不可能通过贴上“闲语”的标签而消除它。魏斯曼向维特根斯坦提出了自己的疑虑，他说：“在解析中，即在实数理论中，一致性问题反而变得尖锐了。因为，正是在这里与二律背反同种性质的非断言[11]概念结构浮现出来（狭义集合的上界）。也正是在这里，人们怀疑矛盾的可能性。类似地，对于集合论，你不能看清你是否将不会得出一个矛盾（选择公理和无限公理）。”[12]对此，维特根斯坦的回答是模糊的、避重就轻的，他说：“解析和集合论常常被看作是一种描述某些事物的理论，而不是演算。”[13]在这里，维特根斯坦又人为地区分了理论和演算。我们可以猜想，维特根斯坦头脑里想的演算的理想模型大概是加减乘除微分积分这样的东西。但是，对于数学分析来说，按照主流数学家的观点，确界定理是基本的，如果确界定理是会带来矛盾的，那么微分积分的演算就会失去自己的合理性根基。因此，对于分析学（数学分析）来说，确界定理并不是关于分析学的理论，更不是关于数学的无用的闲谈，而是分析学中的基本定理，它牵涉着零点存在定理和中值定理的证明，因此和数学分析中的演算息息相关；同样对于集合论来说，选择公理和无限公理是集合论的公理，而不是关于集合论的理论和闲谈，没有了它们，集合论中的一大批定理就得不到证明。确实，经常存在着关于数学的各种可以消除的理论和闲谈（比方说游戏类比），但是数学的一致性问题绝不是无用的理论和可消除的闲谈。一致性问题确实是困扰数学家的一个实实在在的问题。这个问题是可以在极其清楚的意义上得到阐明的。哥德尔的工作（不完全性定理）就无可置疑地证明了这一点。如果说维特根斯坦能理解哥德尔不完全性定理的含义，那么他也许会改进一些他关于数学的近乎浅薄的看法。1974年，哥德尔在给门格尔的回信中对此做了评论：“从你所引的段落中，的确可以清楚地看出，维特根斯坦并不理解它（或者是假装不理解它[14]）。他把它解释成一种逻辑悖论，而事实上恰恰相反，它是数学的一个绝无争议的部分（有穷数论和组合数学）之中的一个定理。顺带说一下，你引的那整段话，在我看来全是废话。”^[15]

其实，理论和演算并不能够清楚地区分，它们之间的界限并不是清楚的，甚而，清楚的界限根本就不存在，因为演算往往是基于某种理论的演算，在纯形式意义上，语言（演算）和元语言（理论）完全可能拥有相同的形式（回想一下哥德尔不完全性定理的证明）。如果说演算与“理论和闲谈”是一个有意义的、可以操作的区分，那么作为半个直觉主义者的维特根斯坦至少要给出一个区分演算和闲谈（理论）的方法，而不能只贴标签。

没有理论前提，谈论单纯的演算也是于事无补的，因为演算自身完全可能会生出矛盾。反证法就是从假定的前提出发凭借演算推导出矛盾来的极好的例子。魏斯曼的疑虑也正是这样。[16]所以，说演算不会产生矛盾是一个很模糊的表达。任何演算都需要演算的前提和演算的规则，不存在无前提的演算，也不存在无规则的演算。任何演算都是按照一定规则的演算。演算的前提如果有好几个，那么它们之间可能会是有矛盾的，而我们不能直接宣称它们是无矛盾的。如果前提有矛盾，那么通过演算当然就会得到荒谬的结果；同样如果演算的规则之间本来就有矛盾，演算同样会得出荒谬的结果。如果演算的前提是无矛盾的，演算的规则都是无矛盾的逻辑规则，只有在这种情况下，我们才可以说演算不会产生矛盾。但谁又能保证数学演算的前提是无矛盾的呢？没有数学家和数学哲学家敢于保证。希尔伯特计划的重点恰恰就在于：从既有的数学前提出发，通过演算，如果我们得不到矛盾（1≠1），那么数学系统就是一致的，[17]也就是说，在这个时候我们才能肯定：数学推理的前提是无矛盾，而不是事前的断言。

维特根斯坦对希尔伯特计划的意义提出质疑，他认为希尔伯特的有限证明论是“无意义的”。维特根斯坦的思路大致如下：他借用弗雷格的类比，说公理有两种意思：（1）玩游戏时所依据的规则；（2）游戏的起始位置。而1≠1就像我们从起始位置出发，依据游戏的规则，玩游戏到一定时候的棋子的配置，因此维特根斯坦认为：说“棋子的这种配置是一个矛盾”是非常奇怪的，进而从这种配置倒推出“棋子的起始位置是矛盾的”也是奇怪的。[18]维特根斯坦显然被这个象棋游戏的类比蒙蔽了。类比并不是事情本身，任何比喻也都是蹩脚的，“棋类游戏”这个类比也许正是维特根斯坦自己所反对的无用的“闲谈”。固然说“棋子的某一种配置以及棋子的起始位置是矛盾的”是奇怪的，但是，在数学中，1≠1并不类似棋子的配置，它显然是矛盾的。如果说我们的演算，或者说推理规则是无矛盾的，那么能够推出1≠1的数学系统肯定是不一致的。如果允许这样的表达式存在，整个数学也就垮台了。在数学中，如果能允许1≠1存在，那么数学就没有任何规则可言了。我想，如果维特根斯坦有起码的理性，他肯定会同意：毫无规则的游戏不是另外一种游戏，而根本就不是游戏；毫无规则的演算不是另外一种演算，而根本就不是演算。维特根斯坦的“那会转变成另外一种演算”的借口在数学一致性这个问题上是根本站不住脚的，也是违反数学本性的。

有时候维特根斯坦又辩解说，规则这个词的语法指的就是矛盾不能成为规则。[19]即使维特根斯坦是对的，又有那个数学家完全有能力（即使他十分愿意）事前保证自己“无语法错误地”使用规则这个词呢？希尔伯特的一致性证明的初衷何尝不是跟维特根斯坦一样，想让大家以后可以放心地在数学中按“规则”的“语法”来使用“规则”这个词呢？但事实上希尔伯特没有办到，维特根斯坦本人也没有给出如何正确使用规则一词的办法。

在上面的事实逼迫下，维特根斯坦有时候会干脆改变自己的“演算不会有矛盾的”看法，但他又教导说：“当然，演算中存在着矛盾。我的意思仅仅是：谈论‘隐含的矛盾’是没有意义的。”[20]维特根斯坦的观点是“一个矛盾只有当它在的时候，才是一个矛盾”，以及人们必须先有一个寻找矛盾的程序，否者谈论隐含的矛盾都是无意义的。[21]维特根斯坦认为只要矛盾在了，它就会很好解决，用维特根斯坦自己的话就是：“如果在数学游戏规则之间产生矛盾，那么，找到一种补救措施将是非常容易的事。我必须要做的事情是设立一种新的规定，使它涉及到那种规则冲突的情形，这样问题就解决了。”[22]

维特根斯坦的这种观点显得很苍白，大概是呼吁人们不要去谈论什么隐含的矛盾，这没有意义，因为即使矛盾出现了，那它也很容易解决。但是，维特根斯坦依然把数学考虑简单了。数学就像一个大厦，等出问题的时候再修补并不总是一件容易的事情，因为它还牵涉到和数学的其他部分协调的问题。为了避免某一个具体的矛盾，人为地制定新规则很容易让数学丢掉自己比较核心的领域（顾此失彼），这也是希尔伯特在数学观上反对布劳威尔的原因。另外，在制定公理的时候，我们当然应当力图涵盖我们的对象，同时力图避免任何可能的矛盾，尤其是对那些相信数学无直观内容的人来说。维特根斯坦在这里表现得特别像一个糟糕的城市规划者：不要去谈什么隐含的问题，尽管盖房、尽管修路，出问题了再说，反正它们都好解决，管他是死了人，塌了路。

有时候，维特根斯坦会变得很不理性，他说：“我想反对矛盾观念上的幽灵，这种迷信般的担忧把矛盾的发现看作是演算的毁灭。我倒想问一下，为什么会出现这样狭隘的见解呢？难道含有矛盾的演算不可能具有自己独特的魅力吗？”这时的维特根斯坦倒像一个黑格尔主义者，竟然谈起了矛盾的魅力。不过，我想，连一个真正的黑格尔主义者都会担忧演算中的矛盾，演算中的矛盾肯定没有什么魅力，因为在黑格尔看来，演算属于知性。

从自相矛盾的公式中可以推出所有公式，这也算是逻辑常识了。[23]但疯狂的维特根斯坦却另有解答，不过这个解答荒谬之极，简直不知所云，他说：“对此，我的回答是，如果是这样，那么，这个演算由两部分组成。不是吗？一部分是发现矛盾，另一部分是容许写下任何一个公式。第一部分是很有趣的事情。可以这样问一下：这一演算有终结吗？它什么时候结束？一个令人激动的问题！”[24]这个问题倒不令人激动，但它有些无聊，显然地它不会终结，因为人们可以不断地写想到的任何式子。

有时候，维特根斯坦又说“你无法从矛盾中推出所有东西”。看来维特根斯坦想把逻辑的实质蕴含也给反掉。据王浩记述，看到维特根斯坦的《关于数学基础的评论》的一些材料，连一向沉默的哥德尔都按捺不住了，他说：“维特根斯坦疯了吗？他是认真的吗？他有意作出一些荒唐之极的陈述。他关于所有基数的集合所说的东西，完全是幼稚的看法。本来这跟他无关，可他非得摆出一种立场不可。例如‘你无法从矛盾推出所有的东西’。”[25]

从以上的论述中我们可以看到，维特根斯坦的的数学观是飘忽不定的，缺少稳健的合理的成分，像一个数学的外行。就像维特根斯坦的崇拜者魏斯曼担忧的那样：“维特根斯坦有出色的天赋，他常常能一眼就看到全部的东西。但我认为，与他的任何合作显然都是非常困难的，因为他常常遵从瞬间的灵感而推翻先前的构想。”[26]在数学哲学中我们是否应该崇拜这种天赋还是不呢？读者自行判断吧！不要人云亦云，“因为很多人认为维特根斯坦伟大，所以维特根斯坦真的伟大”，这不是理性的判断，这只是迷信的盲从。维特根斯坦爱用贴标签（这样的标签有“闲谈”、“无意义”、“垃圾”等等）的方式解决问题。我希望，通过上述的论证，我们已经看到，霸道地贴标签对于培养独立思考的精神来说是有害的，并且也不能真正地解决问题。