积分（）的定义和性质
§1 二重积分、三重积分、第一类曲线积分、第一类曲面积分的概念


1. 二重积分、三重积分，第一类曲线积分、第一类曲面积分都可看成已知物体的密度，求物体的质量。但要看物体的几何形状。
2. 几何体上的黎曼积分的定义。
定义1 设为一块几何形体，这个几何形体是可以度量的，在这个几何形体上定义了一个函数，。将这几何形体分为若干可以度量的小块，，…，。既然每一小块都可度量，故它们皆有度量大小可言，把他们的度量大小仍记为。并令，在每一块中任取一点，做下列和式：

如果这个和式不论对于的怎样分划以及在上如何取法，只要当时恒有同一极限，则称此极限为在几何形体上的黎曼积分，记为：

也就是
，
这个极限是与分法和取法无关的。
叙述：如果对任意及一定数，总存在一个数，对于任意的分法，只要时，不管点在上如何选取，恒有
，
则称为在上的黎曼积分，记为：
，
这时，也称在上可积。
根据几何形体的不同形态，进一步给出上积分的具体表示式及名称。
（1）如果几何体是一块可求面积的平面图形，那么上的积分就称