首先需要二项式定理：

（a+b）^n=∑ C（i=0 –> i=n）n i a^(n-i) * b^i （式一）

用数学归纳法证此定理：
n=1 (a+b)^1 =a^(1-0)*b^0+a^(1-1)*b^1 =a+b
 故此，n=1时，式一成立。

设n1为任一自然数，假设n=n1时，（式一）成立 ，即：

（a+b）^n1=∑ C（i=0 –> i=n1）n1 i a^(n1-i) * b^i （式二）

则，当n=n1+1时:

式二两端同乘（a+b）

[（a+b）^n1]*(a+b)=[∑ C（i=0 –> i=n1）n1 i a^(n1-i) * b^i]*(a+b)

=> (a+b)^(n1+1)= ∑ C（i=0 –> i=(n1+1)）(n1+1) i a^((n1+1)-i) * b^i ( 据乘法分配律)

因此二项式定理（即式一成立）

下面用二项式定理计算这一极限：

（1+1/n）^n （式一）

用二项式展开得：

（1+1/n）^n

= 1^n+(n/1)(1/n)+[(n(n-1))/(2*1)]*(1/n)^2+[(n(n-1)(n-2))/(3*2*1)]*(1/n)^3 + … +[(n(n-1)(n-2) …3)/((n-2)(n-1) … 2*1)]*(1/n)^(n-2)+ [(n(n-1)(n-2) …3*2)/((n-1)(n-2)(n-1) … 2*1)]*(1/n)^(n-1)+ [(n(n-1)(n-2) …3*2*1)/(n(n-1)(n-2)(n-1)