与正定矩阵相对应的，一个n×n的埃尔米特矩阵http://upload.wikimedia.org/math/6/7/1/671430face023c8c070578ccbe63800d.png），都有：

     http://upload.wikimedia.org/math/a/a/b/aab852ead825df0db81431fc9af6806a.png

3.半正定矩阵

   http://upload.wikimedia.org/math/6/7/1/671430face023c8c070578ccbe63800d.png），都有：

       http://upload.wikimedia.org/math/b/f/2/bf2d1d7d3aae1e13f9382fc64d06214f.png

4.半负定矩阵

http://upload.wikimedia.org/math/6/7/1/671430face023c8c070578ccbe63800d.png），都有：

http://upload.wikimedia.org/math/3/8/a/38a277e07508576f42891264f58c3a48.png

正定阵的判别[编辑]

对n×n的埃尔米特矩阵M，下列性质与“M为正定矩阵”等价：

对于实对称矩阵，只需将上述性质中的http://upload.wikimedia.org/math/3/0/c/30c28f76ef7517dbd19df4d4c683dbe6.png，将“共轭转置”改为“转置”就可以了。

相关性质[编辑]

若http://upload.wikimedia.org/math/e/b/1/eb124f0aa79b80ec79e5a87233e7ac37.png。这个记法来自泛函分析，其中的正定阵定义了正算子。

对于一般的埃尔米特矩阵，http://upload.wikimedia.org/math/0/e/7/0e76479669516f5bd9ec76380e0d0570.png。

1.	每个正定阵都是可逆的，它的逆也是正定阵。如果http://upload.wikimedia.org/math/f/5/0/f505ef5d34ffae6bd1fa2a975c35b2ac.png。
2.	如果http://upload.wikimedia.org/math/6/9/6/69691c7bdcc3ce6d5d8a1361f22d04ac.png是正定阵，为正实数，那么也是正定阵。 如果http://upload.wikimedia.org/math/9/4/3/943afaf25ac17fe7bc39fdaae916e3a4.png仍是正定阵。
3.	如果http://upload.wikimedia.org/math/7/0/1/701342be19e01ed3a21f83eaec41f0af.png。此外还有 http://upload.wikimedia.org/math/b/3/d/b3d7e325173ed092e129d971f35fe06c.png
4.	矩阵http://upload.wikimedia.org/math/b/e/a/beaddf2457dfe45f325bde296243f9e6.png.
5.	如果http://upload.wikimedia.org/math/e/9/d/e9dd9013ec300ceba41484dfc2c9a876.png表示克罗内克乘积。
6.	对矩阵http://upload.wikimedia.org/math/c/3/0/c307df251313e30dbffc899da627b0d6.png为实系数矩阵，则有如下不等式成立： http://upload.wikimedia.org/math/7/9/9/7998e83492c2024eb619c67d64b9b6e1.png
7.	设http://upload.wikimedia.org/math/e/4/0/e40b53e14e3d3c13fa7bdea5a55d75e1.png）。
8.	如果http://upload.wikimedia.org/math/c/4/b/c4b603bf0ac147348775e1b681c340af.png。
9.	如果http://upload.wikimedia.org/math/d/d/7/dd7536794b63bf90eccfd37f9b147d7f.png为单位矩阵。

from:

http://zh.wikipedia.org/wiki/正定矩阵