文/姚斌

基础科学的三大革命分别是相对论、量子力学和混沌理论。所谓的“混沌”是一种确定的系统中出现的无规则的运动。混沌理论所研究的是非线性动力学混沌，目的是要揭示貌似随机的现象背后可能隐藏的简单规律，以求发现复杂问题普遍遵循的共同规律。

1960年，爱德华·洛伦兹在天气预报的理论方面进行开拓性的事业时，偶然发现了一种后来被称为“混沌”的现象，这种现象表面上看是随机的，不可预报的，而事实上却是按照严格的却经常是易于表述的规则的运动。虽然更早的时候有人已经发现了现象，但他们只是认为那是他们在求解方程组或在其他方面妨碍了他们的研究工作。只有爱德华·洛伦兹是一个例外，他把混沌看成是一种因它本身的原因而值得研究的对象。

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“混沌”一词最初表示完全缺乏具体形态或系统排列，之后用来表示某种应该有的秩序却没有出现。伊利亚·普里戈金在《从混沌到秩序》中研究了许多无序系统自发地获得有序结构的方式。控制论创始人诺伯特·维纳强调说明诸如一群随机分布的气体分子或云中杂乱无章的水滴群这样的系统。爱德华·洛伦兹注意到有许多随时间而发生某种变化的过程，如钟摆的摇动、山石的滚落和岸边海浪的破碎。它们中的一部分或许包括滚石和碎浪而钟摆除外，其变化并非随机却貌似随机。在爱德华·洛伦兹看来，这就是一个混沌的过程：它们看起来是随机发生的，而实际上其行为却由精确的法则决定。

可以作为混沌范例的系统十分常见，毋需用望远镜或显微镜即可鉴别，不用慢转速或高速摄影机就能把它们记录下来。混沌的现象包括日常小事如树叶掉落或旗帜飘扬，也包括复杂得多的过程如气候起伏或生命过程。这就是说，现实世界看起来具有随机行为的那些过程，应当都被视为符合混沌条件，因为即使其中任何真随机性消失了，它们依然是貌似随机的。如果一个接近实际而没有系统内在随机性的模型仍然具有貌似随机的行为，就可以称这个真实物理系统是混沌的。

根据狭义的随机性定义，一个随机序列应满足：随时可能发生的任何事件在下个时刻也可能发生。通常这也可以理解为，某特定事件在下一时刻发生的概率等于其在此后任一时刻发生的概率。一个常用来解释随机性的例子是掷硬币。在此，可能事件只有两种：正面或反面，它们都可能在下次就发生。

假如过程确实是随机的，那么下次投掷出现正面的概率应精确地等于任一次投掷同一硬币而出现正面的概率；这一概率不会变，除非因投掷力量过大而使硬币变了形。如果已知这一概率，那么即使知道上次投掷的结果，也不会增加我们猜对下次结果的机会。诚然，在尚不知道某枚硬币的正面概率时，我们可通过充分多次投掷结果来推测它。如果多次投掷后我们发现出现正面的机会为55%，那么我们就可怀疑那枚硬币有偏向性；正面概率过去是、现在是、将来也必定是55%，而不是我们原来所期望的50%。

硬币是完全随机的例子。当人们考虑随机数或想用随机数发生器时，往往就是想要实现这种随机性。在广义的随机性定义下，一个随机序列应满足：下个时刻可能出现某些事件中的任一个；这并不要求过去可能发生的任何事件也可在下个时刻发生。下个时刻的可能事件与刚发生的事件有关。在确定性序列中下个时刻只可能发生一件事，就是说其演变由精确的法则决定。因此，广义的随机性与缺乏随机性是同一个意思，这也正是爱德华·洛伦兹用“貌似随机”描述混沌时想借用的含义。

掷硬币是间断时间上发生的过程——即一次接一次地掷硬币。对于像公路上车速这样的连续变化量而言，下次事件这样的概念就没有意义了。然而，仍可定义广义的随机性。我们可以说，未来任一给定时刻可能发生的事情不止一种，比如车速就不止一种。在此可以预料的是：那个未来时刻离目前越近，将发生的各种可能性的范围也越小——正如在堵塞的交通中嘎然停止的小车可能会在过10秒钟后超速行驶，但不可能过1秒钟就如此。数学家发现引入完全随机连续过程的概念是有益的，但它在自然界究竟像什么却是难以描述的。

动力系统这个专业称谓是随时间确定性地变化的系统，例如钟摆、滚石和碎浪等数学模型以及那些具有微弱随机性的变化系统。至少对模型而言，系统的状态可由一个或几个变量的数值来确定。对于单摆模型，摆锤的位置和速度两个变量就足够了，其中速度可正可负，要视摆锤移动方向而定。对滚石模型，位置和速度仍是必须的。但若要使模型更切合实际一点，就必须增加一些变量以描述滚石的寻找方向和转动。碎浪更为复杂，其较完善的模型将不得不包含几十或者更可能的是几百个变量。

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混沌是确定性的行为；或者不考虑它出现在稍微有点随机性的实际系统中，也可以说它是近似于确定性的，然而却不是看起来像确定性的。这就是说，现有状态完全或几乎完全决定未来，但却不是看上去如此。确定行为又怎能貌似随机呢？假如真正同样的状态能出现两次以上，那么随后必然会出现的同样状态就不可能看起来有很大不同。真正发生的事情是：出现了两个但非完全一样的状态，它们看起来十分相似，但其后的状态却不必彼此相似，从而观察到了明显不同的演变。在某些动力系统中，两个几乎一致的状态经过充分长时间后会变得毫不一致，恰如从长序列中随机选取的两个状态那样。这种系统被称作“敏感地依赖于初始条件”。于是，对初始条件的敏感依赖性就可以作为混沌的一个可接受的定义。

初始条件并非系统被构造之初存在的条件。它们经常是一个试验或计算开始时的条件，也可以是研究者兴趣所在的任一时段开始的条件。所以某人用的初始条件可能是另一个人的中间条件乃至最终条件。对初始条件的敏感的依赖性并不仅仅意味着两个状态差异随时间简单地增大。在有些确定性系统中，两状态间的一个单位的初始差异会发展成一百个单位；百分之一甚至百万分之一个单位的初始差异同样也会发展成一百个单位，只是需要更长的时间罢了。而在另一些系统中，初始一个单位的差异会发展成一百个单位；初始百分之一个单位的差异仅能发展到一个单位。前者可视为是混沌的，而后者并不认为能构成混沌，尽管它们具有部分混沌性质。

由于混沌是或近于是确定性的，就不能指望那些机会性的游戏能为此提供例证。但有些看起来包含机会性的游戏却能说明问题。在能产生混沌的装置中，最接近硬币的一种是弹球器——那种老式的、不带旋转器和闪光灯，只靠槽灯干扰滚球直至最后得分或死球。玩弹球器的人在获得成熟的技巧后仍不会赢钱，其原因就在于混沌。设球在运行中能击中七个槽针，那么，如果初始百万分之一的方向差异能发展成十度的话，初始千万分之一度之差就可能仅发展成一度。为满足混沌所有要求，弹球器就需要无限长，或者想个办法使弹球永远不会停下来。这样，哪怕是亿万分之一度之方向差异，都有机会放大成十度以上之差异。

在任何系统中对初始条件的敏感的依赖性所导致的直接结果之一是不能作准确预报，而对充分遥远的未来甚至连粗略预报都不可能。如果弹球游戏属于混沌正如掷硬币属于完全随机那样，那么硬币作为随机的象征早已众人所知，而弹球作为混沌的象征则尚未得到普遍的承认。那种特征可以用“蝴蝶”来表征，詹姆斯·格雷克在《混沌：开创一门新科学》中的第一章标题就是“蝴蝶效应”。

“蝴蝶效应”来自爱德华·洛伦兹在1972年华盛顿一个会议上宣读的一篇论文：“在巴西的蝴蝶拍打翅膀会引发德克萨斯州的一场龙卷风吗？”实际上，爱德华·洛伦兹在这篇论文中指出，如果一次拍打翅膀就能引发一场不会发生的龙卷风，那它同样也能抑制一场本来应发生的龙卷风。一次拍打翅膀对天气的影响绝不会大于其他蝴蝶的拍打翅膀效应，更不用说其他生物包括人类的活动效应。在爱德华·洛伦兹的研究中，被称为“奇异吸引子”的那种特殊状态的简化图形后来被发现很像蝴蝶，而且很快就被称为“蝴蝶”。

有人提醒爱德华·洛伦兹注意雷·布拉德伯里的短篇小说《一声惊雷》。小说中叙述一只史前蝴蝶的死而不能复生，改变了一次现代总统竞选的结果。在华盛顿会议之前，爱德华·洛伦兹曾用“海鸥”作为对初始条件的敏感的依赖性的象征，而促使他改用“蝴蝶”的是气象学家菲利普·梅雷里。或许，用貌似羸弱的蝴蝶来象征“失之毫厘，差之千里”是一种合乎自然的选择。

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混沌作为非周期性的一个标准术语是在1975年开始得到大力宣扬的。当时李天岩和詹姆斯·约克发表了一篇论文“周期三意味着混沌”。在映射中，一个具有周期三的序列是指其中任一状态与三个时刻前的状态相同，而不同于一、二两个时刻前的状态。以此类推来定义具有其他周期的序列。在被称为混沌的系统中，大多数初始条件会引出非周期性行为，仅个别特例会导致周期性。爱德华·洛伦兹把李天岩和约克意义上的混沌称为“有限混沌”，而把那些与之相区别的混沌称为“完全混沌”。在有限混沌中，发生非周期行为是可能的，但概率为零；在完全混沌中，发生周期行为的概率为零。

混沌系统具有平衡态，它必然是不稳定的。平衡态是指时间不变的状态。一只完全垂直立起的铅笔将永远立着，它处于平衡态。如果一个与之略有差异的状态或对之略加干扰而产生的状态，会变成全然不同的状态，比如倒下而非直立的铅笔，那么这个平衡就是不稳定的。如果微小的初始扰动不导致大变异，则它是稳定的。平衡概念，不管是稳定平衡或不稳定平衡，都可以拓展为包含周期行为。直立的铅笔是不稳定平衡系统的典型。

不稳定平衡的定义与对初始条件敏感性的定义有重要的共同点——两者涉及对初始小差异的放大。仅具有若干不稳定平衡态的系统和混沌系统的差别在于：后者的任何状态，不论平衡与否，与其邻近状态的微小差异都会发展得越来越大。也就是说，在线性系统中，误差是以线性方式增长的，而在混沌系统中误差则是以指数方式扩大的。爱德华·洛伦兹重新定义的混沌系统是指敏感地依赖于初始条件的内在变化的系统：“初始条件的细小差异可能会最终导致迥异的结果……想要做出预测是不可能的，我们只能接受随机的结果。”

过去许多经济学家都认为经济具有平衡状态，并且认为经济会稳定到这个状态。如果我们不插手经济的话，就不会有任何使人烦恼的经济周期。现在某些关注混沌的经济学家提出，经济学作为一个动力系统是混沌的，不规则间歇的经济周期是不可避免的。对经济进行干预可能压制这种周期，而不是产生这种周期，但是更可能的是缩短一些经济衰退而延长另一些衰退。

正像近似正确的气象方程是基于牛顿运动定律和其他涉及到最微小的天气元素的定律一样，任何近似正确的经济学方程也基于复杂得多的控制基本经济元素的定律。天气学家已经从经验中认识到的空气质点的巨大聚合体通常呈现何种形态一样，经济学家也已经从经验中认识到人们的各种聚合如何能够影响经济。经济学家已经建立了包含一些假设的相互作用的简单方程组，而且他们在某些情况下可能遇到了混沌解。

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证券交易所是一个极其无序的系统，尽管利率、经济增长率等具体数据对货币的价值有影响，但仅仅依靠这些数据我们仍然无法解释每天汇率的涨跌。乔治·索罗斯隐约地透露，帮助他成功的并不是“冷静的分析”，而是“动物的本能”。恐惧、贪婪和其他情感决定了交易所的情景。所有这些因素相互影响构成了一张无法洞悉的网。许多银行家也表示“基本分析”的结果：他们观察各种数据，接着或多或少凭空作出决定。

我们知道，混沌系统在确定的时刻也是能够被清晰把握的，因为它们也遵循着特定的法则运作。这样，有时一周的天气预报都会是正确的，尽管有数不清的、相互影响的因素存在。而在货币的汇率分析方面，研究人员还远没有取得这样的成功。尽管如此，他们还是尝试着去寻找混沌中的规律性。

瑞士数学家和经济学家理查德·欧尔森从1985年起就收集所有能够得到的汇率信息，每天将数量高达18,000条的信息输入数据库。在他的公司，36名物理学家和计算机专家努力尝试着从大量信息中归纳出描述交易所行情变化的方程式。欧尔森发现了存在于汇率变化过程中惊人的自相似现象。借助大量的信息，他甚至在分钟标度的范围内找到了这种结构。鉴于这种秩序的存在，欧尔森认为促使人们做出交易决定的，并不是偶然因素和突然发生的情绪变化，市场参与者的交易行为是十分理智的，只是他们遵循着各自不同的节奏行动。大户会对自己的交易举动考虑上几周的时间，却极少入市。散户则会以极快的节奏更改自己的交易行为。这种举动一再重复。

在交易所的混沌中发现规律的并不只有欧尔森。法国物理学家在对1987年那场股灾进行分析时，捕抓到了纽约“工业500强指数”有节奏的振荡。该指数表示的是美国最重要的500种股票的平均值。在股市崩溃前，该指数并未平缓攀升，而是以波动振荡的方式爬高。相邻波峰之间的距离越来越小，缩小的速度以1.5~1.7之间的因子数加快。当波峰最终重叠时，股市崩溃了。股灾发生后，一切又以相反的过程发展，波峰与波峰按照均匀的节奏逐渐分离开来。

今天到底是用美元去兑换欧元，还是用英镑去兑换欧元，许多投机商仍然相信自己的思考甚于相信计算机程序。尽管如此，高性能计算机仍在不断发展着。科学家们将过去10年的利率、石油价格及生产量等大量直接或间接影响汇率的因素输入高性能的计算机。计算机则根据经验——这正是科学家们所期望的——“学习”将这些数据联系在一起。然而，就算我们不去考虑今天的计算机还根本无法处理大量参数的因素，这种愿望也是无法实现的。这也正是混沌系统的标志：微小变化会引起不同的发展结果。

即使今天的石油价格与某某年持平，利率与当时的一样，而95%的其他因素也与当时保持一致，汇率的波动还是会与当时完全不同，从而使我们的计算机被愚弄。和天气系统一样，交易所的交易情况也充满了偶然因素和无人能够预见的突发影响，比如一个公司的破产会使股市大乱，一场自然灾害会损毁重要的输送管线。即使在将来，也没有一台计算机能计算这些因素。或许，投机商们最好还是追随自己野兽般的直觉来买卖股票。