初看起来，为现代微积分建立公理体系真乃匪夷所思之事。法国布尔巴基学派认为在数学中有三种基本结构：代数结构、次序结构与拓扑结构。J. Keisler按照这种思路在他的无穷小微积分电子书中给出了实数系的公理系统如下：

一、代数公理：

   A. 封闭律：0与1 是实数。如果a与b是实数，则a+b，ab以及 -a均为实数；

   B. 交换律： a+b = b+a ab = ba

   C. 结合律： a+(b+c) = (a+b)+c a(bc) =(ab)c

   D. 单元律： 0+a = a 1a = a

   E. 逆元律： a + (-a) = 0        a 1/a = 1 (a≠0)

   F. 分配律： a(b + c) = ab + ac

定义：正整数是：1，2=1+1，3 =1+1+1，4=1+1+1+1，

二、次序公理

   A. 0 < 1

   B. 传递律： 如果a < b以及b < c，则a < c

   C. 分配律： a < b a = b 或 b < a，其中只有一个式子成立

   D. 加法律： 如果a < b 则a+c < b+c

   E. 乘法律： 如果a < b，而且0 < c，则ac < bc

   F.. 求根律：如果a > 0，对于任意正整数n，存在一个实数b，使得b的n次方等于a

三、完备公理：如果A为实数集合，其中x，y属于A，而且x与y之间的任何实数均属于A，则A为一个实数区间。

       J. Keisler认为，所有有关实数的熟知事实（Familar facts)均可由上述三条公理导出，由此，几何图像，函数、极限、微积分的大厦（数学结构、或模型）就不难建立起来了。这座大厦坚固异常，不怕地动山摇。

         有人说，这三组公理的内容我都明白，为什么我还弄不懂微积分呢？因为，你还没有学习J. Keisler的无穷小微积分电子书嘛！那么，无穷小概念又是怎样严谨地引入到微积分领域中的呢？那就要依靠另外的两条模型论公理了，且听下回分解也。

           说明：在一般情况下，前日网购的《高等数学》教材，今日就可送到我家，我要仔细研究一番。