注：正切函数、余切函数、正割函数、余割函数的幂级数不能用初等函数表达

拉格朗日恒等式是向量运算中很重要的变换，尤其是第一个，它是推导隆格－楞次矢量的关键步骤，但是几乎很少有教科书或是参考书上提到它，百度一下也是一无所获，更不用说它的证明，这令人感到很奇怪。下面的证明步骤可供大家参考。

五. 动力学方程求解和开普勒第一定律

     上述二阶微分方程组求解是非常困难的，如果从机械能守恒和角动量守恒去求解会容易一些，因为后者只是一阶方程式。动力学方程的解是r=r(q)，就是行星运动的轨道方程。开普勒行星运动的第一定律叫做椭圆轨道定律，它的内容是：行星运行的轨道不是一个圆，而是椭圆，太阳就位于这个椭圆的一个公共焦点上。下面我们用机械能守恒和角动量守恒，从数学上推导出行星运动的轨道方程，并且指出这的确是一条椭圆方程，从而证明了开普勒行星运动第一定律。

关于圆锥曲线性质的证明，几乎所有的高中课本都是用解析几何的方法。实际上，这种方法是比较复杂的，并不是最简单的方法。较为简单的是几何法。下面仅以椭圆为例，说明证明的方法和步骤。

（1）第一定义           

如图,作圆锥的切面得到椭圆F1F2。再作球1与圆锥面相切于圆GCH,与椭圆面相切于F1；同理，作球2与圆锥面相切于圆IEJ,