先定义一下标题的两个概念：

    如果一个不是有理数的复数是某个整系数一元二次方程 ax^2+bx+c=0 的一个根，那么这个复数称为二次无理数。若该数为实数（当然同时也是无理数）则称为实二次无理数。我们主要研究实二次无理数。

    而循环连分数的定义依赖于无限简单连分数：若对于无限简单连分数

    存在非负整数 m 及正整数 T 满足：对任意不小于 m 的非负整数 n 都有

    我们继续假定 r_0 是任意无理数。

    在上篇文章中我们得到了这个结论：若整数 a 和正整数 b 满足

    那么 a/b 一定是 r_0 的渐近分数。右边分母的系数 2 能否改进？注意，这个系数越小，已知条件就越弱，该结论就越强。假设用某个小于 2 的正实数 C 换掉 2 ，上述结论仍然成立，我们可以构造反例：

    让 r_0 比 3/2=1.5 仅仅小一点（ r_0 与 3/2 的差距可以任意小，由于无理数的稠密性，这是可以实现的），这样 r_0 的连分数表示就是 [1,2,...] ，这样它的第 0 个渐近分数是 1/1 并且没有其它的分母为 1 的渐近分数。然后取 a=2,b=1 ，那么上述结论的已知不等式就变成这样：

    有理数用有限简单连分数表示，如果试着对无理数去辗转相除，会发现除不尽，这启示我们是不是可以把有限连分数推广到无限连分数来表示无理数。我们引进无限简单连分数的概念：

    设 a_0,a_1,a_2,a_3,... 为一个无穷数列，第一项 a_0 是整数，其余项是正整数，则极限

    的值称为无限简单连分数，记作

    当然，如果只限定“除第一项之外所有项都是正数”的条件，这个值就叫做无限连分数。无限

    先做一些约定：设 a_0,a_1,a_2,a_3,... 是一个无穷整数列，除第一项外均为正整数，记

    显然 p_n,q_n 都是整数数列。由这里可以得到

    另外，由于 a_1,a_2,a_3,... 都是正整数，于是容易得出

    具有如下形式的不定方程称为 Pell 方程：

    其中 d 为正整数且不是完全平方数。这篇文章只证明一个定理：

    设 d 为正整数且不是完全平方数，则方程 x^2-dy^2=1 总有正整数解，且若最小正整数解为 (x_1,y_1) ，则所有正整数解 (x_n,y_n) 满足

    其中 n=1,2,3,4,...

    我们先研究这个问题的一部分：哪些素数是两平方数之和？为什么我们先研究素数，有个很重要的原因是：若两个正整数都是两平方数之和，那么它们的乘积也是两平方数之和。道理很简单，设两个正整数分别为 a^2+b^2 和 c^2+d^2 ，那么有

    当然我们暂时不用管这么多，我们专心研究素数。在尝试了一些较小的素数后（这里不再像《数论概论》一样把表打出来了...），我们发现，除了偶素数 2 （它是两平方数 1,1 之和）之外，一个素数是两平方数之和当且仅当这个素数除以 4 的余数为 1 （也可以叫做 4k+1 型素数）。

    也就是说，我们有如下两个猜想：

1. 4k+1 型素数一定是两平方数之和。

2. 4k+3 型素数一定不是两平方数之和。