今年的菲尔兹奖很有意思，王虹基本上是麻将模式，先看陶哲轩的博客建个框架，没想到其他人的结果正好填充进来，最后竟然胡了一把大的。然而，邓煜却是更加神奇，直接卡Hilbert的BUG，卡出一个菲尔兹奖！
话说Hilbert提出他的23个数学问题的时候，正好是牛顿物理学的顶峰时期，所谓的一片晴空两朵乌云，Hilbert可能也觉得物理学已经完备了，这才会提出他的第六问题：物理学的公理化。等到二三十年之后，两朵乌云里分别诞生了相对论和量子力学，而广义相对论和量子力学的相容性问题直到现在都没解决，那就更谈不上公理化了。相信Hilbert到晚年也是有点后悔，这个第六问题已经是覆水难收了，只希望后人有点眼力，别再把这个BUG给拎出来。
如果没有Hilbert的第六问题背书，邓煜的研究尽管很不容易，但还能不能拿菲尔兹奖呢？在数学上，他好像没什么独立的结果，如果有某个结果XX的话，恐怕论文就会是：XX与其应用。现在直接把应用摆上前台，最多就是在处理具体问题时有点技巧，并没有得到普遍的东西，更多的还是在数学外部有意义。然而，真要从物理上来看，牛顿方
最近有人用AI给出了三维雅可比猜想（Jacobian
conjecture）的反例，使得这个百年难题至少在≥3维的情形下得到解决，恰好是印证了Strongart教授关于数学成就不代表数学水平的惊人观点。
关于雅可比猜想，我们有一大堆高大上的介绍，它被称为21世纪的世纪难题，与Dixmier猜想等重大猜想等价，是代数几何中的重要问题，可以认为菲尔兹奖级别的问题。回头再看AI的结果，基本上只用一点微积分知识，多项式求导和三阶行列式的计算，再知道复函数可以像实函数一样操作，基本上就可以完成了，根本用不到多复变函数的专门知识。
可以说，这个问题主要难度就堆在计算量上，因此才适合被AI解决。可以想象，如果有人也有类似AI的算力，但数学只有微积分水平，那么他完全有可能得到这样的反例，然后变成著名的数学家，甚至因此拿到菲尔兹奖。此后，如果他一直保持这个水平，恐怕也讲不出什么东西，只能顶个帽子做科普讲数学之美。事实上，国内有些数学工作者水平不高，就是想着硬算捡漏有个什么成果，但要是你跟他半斤八两的话，
相信很多同学都想过这样的问题：世界上的物体是不是无限可分的？在经验中显然不是无限可分的，因为经验本身就是有限的，现代科学一般是分到原子夸克，但我们总觉得还能够继续分下去，只不过具体是什么就不知道了。
其实，这个问题就是康德的第二组二律背反，我们先看康德提出的论证大意。物体是无限可分的，因为可以把它放到空间里，而空间是无限可分的，因此物体不可能不是无限可分的。然而，如果物体是无限可分的，那么它就会被分到无限小，无限小的物体没有广延，物体怎么能不占据空间呢？这同样也是不可能的！这里康德认为真存在一个无限小，这一点很可能是受到同时代数学家欧拉的影响。
假如我们的面前有一张充分大的纸，一直把它分下去会发生什么情况？首先可能会发生的是，纸的长与宽与厚度差不多，结果一张纸变成了一方纸。再继续分下去，纸里面的植物纤维就可能会掉出来，能不能叫纸就不好说了，勉强可以说是纸的原材料。后来，还可能会分出某个植物细胞，此时就不能再叫做纸了，但依然可以称其为物质。再后来，让我们设想这样的可能，物质充分小的
世界在时空上是有限的，还是无限的？康德认为，这个问题超过了人类的认知范围，非要去认识就会产生幻象，不管是有限还是无限都有问题，这样的现象叫做二律背反。
以空间为例，我们先看康德的论证。如果世界在空间上是有限的，那么当我们到达空间边界时，再往前依然还是空间，这就说明我们到达的点不是边界！反之，如果世界在空间上是无限的，那么当我们到达无穷远处时，就会经过无穷远的距离，这同样也是不可能的！然而，康德的论证前提是有问题的，他默认了边界（有限或无限）的可达性。经过现代数学洗礼的同学都知道，边界作为某个极限，哪怕是有限的，也可能是达不到的，拓扑学中的开集就是排除边界的理想结果。
事实上，当我们讨论某个概念X时，通常会有两种意义。一种是在经验中的概念X，既然人的经验是有限的，那么它就是有限的；另一种是待认识（这里用先验可能有误会）的X，它有可能是无限的，只能用经验中有限来逼近。类似于圆周率，给出具体计算数值≈3.14，就相当于在经验中逼近其本质，而用希腊字母π来表示，则是直接给
国内学者没有自己的阵地，就只能勉强研究一些繁琐的数学，可以说是不可读、不可教且不可记忆，这样的“三不可数学”还有必要继续研究吗？
如果是应用数学还好说，即便是数学自身已经失去了意义，也能够在外部应用中找到意义。像那个数学物理方法中的特殊函数，递推公式之类的非常繁琐，估计没几个人能够记得住，但解薛定谔方程时需要用到，恐怕也只能勉为其难的查公示表。遗憾的是，国内数学的领军人物大都是做应用数学的，剩下来可能还是在纯数学里做应用数学，因为他们有个共同的外部目的：发论文，真可谓是论文之下皆为应用。
对于纯数学，理想状态是定理叙述简单，证明清晰简明。然而，常见的情况是定理叙述简单，证明却是有点麻烦，一般把握证明的大概思路，然后拿来用就好。如果是反过来，定理叙述麻烦，但证明相对简单，那么也不必强记结论，不妨把证明过程重推一遍。如果定理叙述麻烦，证明也是极其繁琐，那么我们还可以尝试抢救，找一下有没有典型实例，有的话就可以用例子来思考，然后再包装成数学的严格
最近看到有人在社交媒体上说自己发了一篇数学四大，想起Strongart教授曾经讲过学术论文的现象学还原，现在正好是现象学还原的反面，不妨叫做符号学氧化。
这里的氧化还原是化学中的概念，氧化的主要例子是金属锈蚀、食物腐败等等。这里说的是符号学氧化，就是说符号中的意义在丧失。第一步是把论文氧化到期刊，没人在乎你写了什么，就是你发在什么期刊上，不但论文失去了意义，连你的主体性也会一同丧失。有人提到，现在的年轻学者发展比较快的，大概就是找到提携人，然后按照他们的要求和期刊的套路发论文（自媒体的扶持矩阵？）。接下来，还会发生二次氧化，连同期刊的主体性也在一同丧失，最后变成了一个很没营养的符号“四大”。数学圈有些人一听到“四大”，立刻就会脑电位上升嗨起来，你们知道到底是哪四大吗？
这样的“数学四大”，就像以前考研的“数学四”，只是一个临时的称呼，不值得被严肃对待。有些人把这个东西奉为圭臬，只能说明他们就是这样的品味，搞到最后就是附庸风雅。可以对比一下驾校的“科目三”，那个属于实用
最近看到国内有些做科普的尴吹陈省身，甚至把陈省身排到了高斯前面，其实应该是Gauss-Bonnet（-Chern）.
伍洪熙在《黎曼几何选讲》中有专门一章介绍陈省身的这个结果，说为了避免态度不公正，Gauss-Bonnet定理的后面就不加陈了。
陈省身说自己跟着Cartan学了十个月，然后在国际上就有地位了，感觉就像是被点化了一样。这绝对不是什么谦虚的话，他还说过自己不跟爱因斯坦做微分几何，因为爱因斯坦的东西没道理，他老了。说实话，被点化的一般是有一技之长，但其他方面难免会有短板，像他所推崇的Finsler几何，计算繁琐的一塌糊涂，好像还没什么好的结果，想捡漏黎曼可没那么容易。
事实上，Gauss-Bonnet定理的结果早就有了，Allendoerfer与Weil各自独立把它推广到高维，只是证明引入了嵌入高维欧式空间的假设。陈省身是与Weil交流之后，才得到的内蕴证明，其结果并不比他们更强，主要意义还是在证明的方法上面。有些科普家会说Allendoerfer与Weil的方法比较繁
有些同学觉得胡塞尔的现象学还原比较抽象，下面Strongart教授就以学术论文为例做个简单的说明，这应该是一个非常有趣的例子。
在现象学还原之前
，我们要先做悬置，胡塞尔主要悬置自然态度，但人为的建构要不要悬置呢？当然也是应该被悬置的，主要就是要排除干扰项，回到现象本身。学术论文的自然态度就是谁写的，不要因为作者是大腕儿就附庸风雅，作者是小卒子就不屑一顾，主要还是应该看其中的内容。这个内容也不一定非要是期刊上的论文，预印本、手稿之类的都是一样的，只要能够呈现在现象中就行，但你不能说“这里的空白太小写不下了”。
做完悬置之后，我们就可以开始现象学还原了，它可以分成本质还原与先验还原。先看本质还原，这里的“本质”是一个基础概念，不太适合直接下定义。所谓“外行看热闹，内行看门道”，这里的“门道”就接近于本质，你看这个文章里面有点东西，这个东西就接近于本质。胡塞尔给出一个本质直观的方法叫做自由变更，自己来换一下参数，然后就更容易看出其中不变的本质。拿到一篇文章，如何你能够用自
最近听到一个说法叫“高认知穷鬼”，有些人还要对他们指手画脚，难道你比高认知还要高认知？当然，这说的是真的高认知，不是那种假充高认知的吹牛普信男。
很早以前，Strongart教授就区分了“高等”与“上等”，高与低区别的是认知程度，上与下区别的是社会地位。有些人好像一直都没能搞清楚，甚至还搬出了种姓制度，他们能够接受低认知的上层人士，但却一直不能接受高认知的穷人，你们觉得这是为什么呢？
游戏哲学中有个赫伊津哈的魔圈理论，认为游戏世界是一个与世俗分割的魔圈，它有自己的一套游戏规则，不受世俗功利的直接影响。我们可以认为魔圈里是意义的世界，魔圈外面则是金钱的世界，钱作为一般等价物，其意义是被抽象掉的。高认知的人就生活在意义的世界中，那种不承认有高认知穷人的人，很可能就像《哈利·波特》中的麻瓜一样，从来没有进入过任何一个魔圈
一般来说，高认知的人更擅长pve，但低认知则是喜欢pvp，如果pve是人没有得到魔圈的支持，
现在B站的数学教学视频越来越多，但很多都只是讲点PPT，甚至还有直接贴教材念的，基本上就是学生的练习模式。如果教材是漫画的话，它就相当于是动态漫画。
一般来说，学校老师还是能自己讲一点的，这就可以说是动画了。但如果老师的理解不够透彻，难免就会照本宣科背诵数学，经常要低头翻书抄写证明，恐怕也只能算是一种便宜动画。
像菲尔兹奖得主Richard E.
Borcherds在小白纸上讲代数几何，梁灿彬教授在黑板上讲微分几何与广义相对论，还有Strongart教授在小白板上讲模型范畴，基本上都是讲出了自己的思想，那就可以算是优质动画了。看我们仔细推导定理的证明：经费在燃烧啊~
当我讲得非常投入的时候，就可能进入到心流状态，这就是动画里的神作：大脑在颤抖！但同学要是跟不上来的话，就会看到这个人在手舞足蹈的说一堆专业名词，搞不好就会觉得他是不是有点毛病呢。
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