数学是一个公认出天才的领域，但丘成桐却说：我不觉得世界上有天才。他的理由竟然是回答问题快的没价值，回答慢的才更有意义，难道他以为数学天才就是算得快一点的做题家？
所谓“物以类聚，人以群分”，丘成桐看不出其他人有天才，估计是因为真的天才都不和他玩。有人也许不敢相信，丘成桐曾经拿过菲尔兹奖，为什么还不是数学天才呢？在《我的几何人生》中提到，丘成桐年轻的时候，有数学家给它看Grassmann流形之类的东西，但丘好像对这些精妙结构不太感兴趣，于是就被断言没什么数学天赋。
一般来说，没有天赋的人不太能够取得太大的成就，但幸存者偏差总是难免的。丘成桐主要是硬算PDE，在微分几何方面做出成就，其实就是做一点苦力活，结果成功捡漏出圈。当然，这也和他所处的环境有关，周围都是世界上第一流的数学家。恐怕就像修仙小说里面资质不佳的弟子，只能到处找机缘堆资源拼死一搏，最后等着让时势来造英雄。
据说国外得菲尔兹奖的数学家，差不多有一半都拿过国际奥数奖，但中国拿了那么多的奥数金牌，菲尔兹奖却一直出不来，哪怕是最近有希望拿菲尔兹奖的王虹，似乎也没有拿奥数奖的经历，这到底是怎么回事呢？
其实，这就是测不准效应的典型案例，当人们不顾一切的追求目标时，这个目标的价值就会下降，从而发生所谓的测不准现象。国外学生拿奥数金牌，是在正常学习中顺带比赛一下，而中国则是专门的集训队层层选拔，最后靠刷题刷出来的金牌。当然，天赋不够的人刷题是刷不上去，必须要有天赋的人献祭自己的天赋，放弃星空上的菲尔兹奖，换来脚踏实地的奥数奖。
如果有个智商100的普通孩子，靠刷智商题能把得分刷到160-180，实际上最多有个边际效应，智商也就是110-120的样子，但他会觉得自己变聪明了。这样一来，哪怕是智商160的天才，也不得不做一点刷题训练，不然就会被虚高的做题家挤掉。于是，智商160的孩子把智商刷到200，但这个过程有悖于智力的发展规律，结果智商很可能掉到130-140，脚踏实地的向普通人靠拢。
最近看到一个视频:：没有人在乎你知道多少数学知识，这好像国内那个低水平数学圈的共识。有好事者竟然把我给捧出来，包括UP主在内只有两个人点赞，看来大部分人还是明白的，基本上就是做题家在破罐子破摔啊！
当然，某些科普鸡营销号扯的哪些玩意儿，基本上都一些知识碎片，确实不值得过于重视。特别是今天这个大猜想，明天那个大定理的，基本知识都要学好几个学期，背个科技新闻真没什么意义，解释几个数学名词意义也不在。这都是数学营销号喜欢干的事情，难不成他们要自掘坟墓啦？
真正有意义的要从老师讲课开始，很多学校都会给研究生开始数学扫盲课，给他们介绍点现代数学的名词，免得看论文时两眼一抹黑。有的学生只是跟着背下名词过考试，甚至变成所谓的名词党，这确实没什么意义。如果在这个基础上自己读书深入讨论，努力理解高级的数学知识，这才是意义的所在。有的同学可能会问：为什么老师不带我们深入理解呢？哎，不在乎数学知识的人太多，能开扫盲课就不容易了，有的学校只能办个讨论班，让学生自己（穿女装）折腾。
如果我们面前有一个小球，一种解释是小球一直都在那里，睁开眼睛就能够看到；还有一种解释是睁开眼睛时小球出现，闭上眼睛小球就消失了。从个人经验上，两个解释都能够成立，但现实中第二种解释的可能性很小，一般都需要有人来故意设计（很麻烦啊）。
有人也许会说，闭上眼睛时可以通过触觉感知小球。但这并不影响问题的本质，我们可以把“看”叶推广到一般的感觉，便有了著名的“存在就是被感知”。然而，先处理简单的问题是科学的方法，可以考虑放一面镜子，小球在镜子里的像还是客观实在的吗？
镜子里的像在视觉上和小球几乎一模一样，显然满足所谓的主体间性，后者是对客观性的更适合的说法。只要视觉功能没有障碍，不管是谁看小球的像都是那样，而且还可以用照相机拍摄出来，它就是由一系列物理过程严格保证的。然而，小球的像却不具有实在性，因为它不是实体，只是一种实体的现象。事实上，像彩虹、水波等都是现象，它具有物质基础，但其本身并不是物质，反而是物质需要通过现象来展示自身，可以说我们就生活在一个现象的世界里
模型范畴（model
category）是无穷范畴（范畴同伦、同伦代数等）中的重要概念，一般有公理化定义与弱因子系定义两种方式，其中需要提升（lifting）与收缩（retract）的基本概念，请同学们自己参考文献（不想画图）。这里只说明一点，下面的提升都是弱提升，仅考虑存在性而不需要唯一性。
先定义弱因子系（WFS）的概念：范畴M内弱因子系指态射类的对（L，R），满足条件：
1）任何态射f都有分解：f=gh，h∈L且g∈R.
2）L=⊥R且R=L⊥
可以证明等价条件：（L，R）是WFS
iff L⊥R且L与R都是收缩封闭的。
接下来，定义范畴M的弱等价子范畴W为对收缩封闭的子范畴，这里的子范畴要求对恒同与复合是封闭的。弱等价子范畴W称为满足2/3-性质，若f：X→Y与g：Y→Z是可复合的态射，f，g与gf中有
初等拓扑斯（topos）简称拓扑斯，指有有限积、子对象分类子与幂对象的范畴。值得注意的是，拓扑空间的范畴Top不是拓扑斯，因为它不是Cartesian闭的。
设范畴C有有限积，C称为Cartesian闭的，若对任何A∈C，A×-
有右伴随。这样的右伴随一般记作（-）^A，称为幂对象。有自然双射：
Hom（A×B，C）= Hom（B，C^A）
伴随函子定理：设F：C→D与G：D→C是函子，若有函子伴随（F，G），则F保持C内的上极限且G保持D内的极限。
由此可得，若范畴Top是Cartesian闭的，则A×-保持Top内的上极限，因此保持其上等值子，进而保持其商拓扑，但这是不成立的！
Whitehead引理：设f：X→Y是商映射，若C是局部紧空间，则f×1：X×C→Y×C是商映射。
反例：取C=
最近看到有个
“叠词词恶心心”的说法，主要是ABB式的跌此次自带亲密效果，放到陌生人身上就会恶心心，那么ABAB式的叠词叠词又会产生什么效果呢？
哲学中就有很多这样的叠词叠词，像否定之否定、存在的存在、主义主义等。斯宾诺莎说“一切规定都是否定”，这个否定带有任意性，如果像阿多诺那样放弃合题，否定之否定就是任意再任意。这样的叠词叠词，就像龙珠里的爆气变身，刚开始可能会觉得有点好玩，但熟悉后发现就是这么个套路。经典逻辑是指哪打哪，辩证逻辑则是打哪指哪，因此需要这样叠词叠词作为调料。
事实上，ABAB式的叠词叠词自带反讽的种族天赋，可以不失严肃的拿来调侃。可以说，否定之否定就是对“否定”的否定。钱钟书说中国没有哲学家，只有哲学家学家，就是说他们不是直接研究哲学，而是去研究哲学家的东西。Strongart教授也自嘲式的提过一个“钱学森之问之问”，钱学森之问说现在的中国大学为什么培养不出大师，之问之问则是补充了一问：如果有一个不是大学培养的野生大师，为什么他会孤独终老
2025年，Strongart教授开了一个新的系列：亚哲学效应，主要讲类似木桶效应、蝴蝶效应之类的小道理。希望同学们能先把小道理搞清楚，不然学哲学很可能变成空中楼阁，而哲学家讲这样的小道理，自然就是愉快的降维打击。
这里先讲一个自创的【死胡同效应】，对于想找到出口的人，一般看到那边是死胡同，就不会再走过去了，但要是天黑看不清楚，就会多往前摸索一段，直到能够确认是死胡同为止。也就是说，在一定程度上，认知与行动会呈反比。在认知方面不够理想的人，总会在行动方面多做一点，不要只是因为他做得比较多，就觉得他有多么厉害。
这里的认知方面，不仅包括信息的输入，还包括对于信息的处理。最典型的就是下象棋的时候，高手说：你已经死了！普通人可能还看不出来，非要继续走两步，然后才发现果然死了。如果两个棋手和电脑下棋，一个坚持了五十步认输，还有一个坚持了六十步认输，坚持六十步的未必是水平高，也可能是看的还不够远。有个故事说电脑下象棋第一步就认输，这个恐怕是编出来的，相信象棋的先手优
黑格尔的“正反合”大概是这么个套路：先是原始同一的正题A，然后有其对立面反题非A，最后两者统一为合题B。这样的正反合结构仿佛无处不在，似乎就是世界的一般规律，下面Strongart教授来揭露一下其中的秘密。
一般我们看到的只是从A到B的过程，所谓的非A是从哪里来的呢？其实很简单，就是设了一个未知数X，然后从方程A+X=B中把X解出来。这里黑格尔玩了一个把戏，把这个X叫做“非A”，既然A是已知的，非A似乎也是已知的了。事实上，像“非A”这样的判断，属于康德所说的无限判断，有极大的任意性，不管具体解出什么值，都能够重新代入进去。有人也许会说，B=2A时，解出X=A就不能叫“非A”，但这只是数值上的巧合，其意义还是不一样的。
这个模型还有一个集合版，那就是A∪X=B，这样可以避免数值的巧合。然而，事物的发展并非一帆风顺，作为否定之否定的合题可能是倒退的，代数方程可以用负数来理解，集合方程恐怕就要额外设定“负集合”的概念.。Strongart教授曾经提出一个S-divisor，可以用来出来“负集合”，但
回避型人格障碍也就叫做逃避型人格障碍，最大的特征就是行为退缩、内心自卑，面对挑战多采取回避态度或无能应对。逃避型人格容易与疏离型人格相混淆，疏离型人格通常不是障碍，很可能是境界水平比较高，这才导致了不合群的表现。
下面我们通过逃避型人格的七个典型特征，来对比一下疏离型人格的情形：
1.很容易因他人的批评或不赞同而受到伤害。
疏离型人格通常会更加理性一点，不赞同的是因为他们的境界太低，大都是属于那种“带不动的人”，只会觉得有点可笑或者讨厌。
2.除了至亲之外，没有好朋友或知心人(或仅有一个)。
这一条是纯客观的标准，疏离型人格也完全符合，可以说是逃避型人格的烟雾弹。
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