罗炜_新浪博客

《抽象代数》Artin第十三章前6节习题答案

(2012-06-03 23:58)

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抽象代数

教育

分类：本科数学

13. 域

13.1. 域的例子

13.1.1. a=a

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《抽象代数》作业答案（六）环论部分

(2012-05-07 21:03)

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教育

分类：本科数学

l 关于用Bezout定理证明Pascal定理：二次曲线Q上有6个点，按顺序记成ABCDEF，直线AB与DE的交点为G，BC与EF

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《抽象代数》讲义（二）

(2012-02-28 13:48)

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群论

置换群

游戏

分类：本科数学

l 一些有限群的同构类

n 素数阶有限群G都同构与循环群Zp。任取非单位元素x，x的阶整除p，并且不是1，因此|x|=p，<x>=G，G≌Z

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2012秋冬《数论》考试A卷答案

(2012-01-15 13:56)

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数论

考试

答案

分类：本科数学

一、证明：设p是不超过2n-1的最大素数，由Bertrand假设可知2p>2n-1，因此在题中求和式里，只有一个的分母被p整除，因此模p不是整数。

二、(1) 9^(794)≡9^2≡8 (mod 73)。

(2) x^86≡x^2≡6 (mod 29)，试算得到x≡±8 (mod 29)。

(3) x^39≡x^3≡3 (mod 13)，x^12≡3^4≡3 (mod 13)，与费马小定理矛盾，因此无解。

三、(1) 256x≡179 (mod 337)，128x≡258，64x≡129≡466，32x≡233≡570，16x≡285≡622，8x≡311≡648 x≡81 (mod 337)。也可以用辗转相除法求解。

(2) 1215x≡560 (mod 2755)，243x≡112≡663 (mod 551)，81x≡221≡1323，27x≡441，3x≡49≡600， x≡200 (mod 551)。

四、(1)5987是素数，计算(3766/5987)=(2/5987)(1883/5987)=-(1883/5987)=(5987/1883)=(338/1883)= (2/1883)(169

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2012秋冬《数论》考试A卷

(2012-01-15 13:52)

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数学

本科

数论

试卷

教育

分类：本科数学

一、(12%) 证明：当n>1时，1+1/3+1/5+…+1/(2n-1)不是整数。

二、用费马小定理求解下列问题：
(1)&

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2011-11-9整系数多项式的素因子

(2012-01-03 10:42)

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数论

多项式

素因子

杂谈

分类：高中奥数

【题目】设f(x)是非常数整系数多项式，则满足p|f(x)，x∈Z的素数p有无穷多。

【解答】

● 假设只有有限个素数p_1,…,p_k整除集合{f(x)|x∈Z}中的至少一个数。

● 对每个p_i，取x_i使得p_i|f(x_i)，设p_i^t_i‖f(x_i)，则当x≡x_i (mod p_i^(t_i+1))时，p_i^t_i‖f(x)。

● 上面的k个同余式由中国剩余定理同时有解，因此得到f(x)被p_i幂次整除的上界是t_i，|f(x)|≤∏p_i^t_i。

● f(x)是非常数多项式时，|f(x)|没有上界，矛盾。

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2011-11-6反方向的柯西不等式

(2012-01-03 10:42)

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代数

不等式

柯西不等式

杂谈

分类：高中奥数

【题目】已知正整数n≥2，实数a_1,…,a_n满足(∑a_i)(∑1/a_i)≤(n+1/2)^2。求证：max(a_i)≤4min(a_i)。

【解答】

● 所有a_i乘以一个常数，不等式左边不变（齐次性），不妨设min(a_i)=1，记a_{n-1}=1，a_n=max(a_i)=M。

● 当∑a_i固定，其中一个是1，另一个是M时，由平均不等式∑1/a_i在其余a_i相等时取最小值，设其他a_i为t。

● (∑a_i)(∑1/a_i)≥(1+M+(n-2)t)(1+1/M+(n-2)/t)=n^2-4n+6+M+1/M+(n-2)(M/t+t/M+1/t+t/1)

● 上式右端当t=√M时取最小值因此 (∑a_i)(∑1/a_i)≥n^2-4n+6+M+1/M+(n-2)(M+1)2/√M

● 上式右端关于M>1是增函数，而当M=4时取值是n^2+n+1/4=(n+1/2)^2，因此M≤4。

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