关于f(x+2)奇偶性的科学理解

一、若f(x+2)是奇函数

1，理论来源（理论解释）

f(x+2)是奇函数说明关于点（0,0）对称，f(x+2)是由f(x)向左平移2个单位得到的，是由f(x)关于点（2,0）对称

2，数学方程式解释：

因为，f(x+2)是奇函数，所以f(-x+2)= - f(x+2)

即f(-x+2)+f(x+2) = 0，所以函数关于点（2,0）对称

例题：若函数f(x+2)是奇函数且满足f(6-x)=f(x), f(3)=2,求f(2010)+f(2009)的值

解：函数f(x+2)是奇函数，所以f(x)关于点（2,0）对称,即f(2+x)=-f(2-x)

f(6-x)=f(x)，所以函数关于直线x=3对称，所以f(x)的周期T=4

f(2010)+f(2009)=f(502*4+2)+f(502*4+1)=f(2)+f(1)

由点对称得到：f(2+0)=-f(2-0)，f(2)=0

              f(2+1)=-f(2-1)，f(1)=-f(3)=-2

f(2010)+f(2009)=f(2)+f(1)=-2

例题：若y=f(x+1)-1是奇函数且f(x+1)=f(3-x),请写出你认为正确的3个结论。

解：1,f(x)关于点（1,1）对称或者f(x+1)+f(1-x)=2

2‚f(x)关于x=2对称

3, T=4

分析：y=f(x+1)-1由f(x)向左平移1个单位，再向下平移1个单位得到，所以f(x)关于点（1,1）对称。或者根据奇函数的定义得到：

f(-x+1)-1= - [f(x+1)-1]，即f(x+1)+f(1-x)=2，所以函数关于点（1,1）对称。因为函数关于点（1,1）对称，又关于x=3对称，所以T=4

二、若f(x+2)是偶函数

1，理论来源（理论解释）

f(x+2)是偶函数说明关于x=0对称，f(x+2)是由f(x)向左平移2个单位得到的，是由f(x)关于轴x=2对称

2，数学方程式解释

因为f(x+2)是偶函数，所以f(-x+2)= f(x+2)，得到函数关于x=2对称

例题：函数f(x)在（0,2）是增函数，函数f(x+2)是偶函数，比较f(1)，f(2.5)，f(3.5)的大小。

解：因为f(x+2)是偶函数，所以f(-x+2)= f(x+2)，得到函数关于x=2对称。f(x)在（0,2）是增函数，则在（2,4）上减函数，考进轴x=2的函数值大，远离轴x=2的函数值小，所以f(3.5)

例题：函数f(x)=3x在（0,2）上是增函数且关于X=1对称，函数f(x+2)是偶函数，求f(2005)的值

解：因为函数f(x+2)是偶函数,所以f(x+2)=f(-x+2),得到函数关于X=2对称，又因为函数关于X=1对称，所以该函数周期T=2(2-1)=2，所以f(2005)=f(1002*2+1)=f(1)=3

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