课程教学组： 高一数学组

备课

时间

2020.11.25

地 点

高一办公室

课题

3.2.3 二次函数

主备人

叶克彩

参加

人员

蔡潇、王莉娜、柯李瑞、叶克彩、吴健好、杨振洲、徐文文

议课记录

教学

目标

1. 理解并掌握二次函数的图象和性质；了解二次函数与一元二次方程、一元二次不等式之间的关系；

2. 通过教学，使学生初步掌握数形结合研究二次函数的方法；

3. 渗透数形结合思想，渗透由特殊到一般的辩证唯物主义观点，培养学生观察分析、类比抽象的能力．

学情

分析

在初中已经学习了二次函数的一些知识，在此基础上进一步学习二次函数的图像和性质及其应用.

重、难点及关键

重点：二次函数的图像和性质；

难点：函数对称性的分析与数形结合研究二次函数的方法．

教学

方法

这节课主要采用启发式教学法和讲练结合法．本节课通过对例题中的二次三项式进行代数分析，探究二次函数性质的由来，使学生从初中对二次函数的直观感知上升到理性认识的高度．更重要的是在学习函数的一般通性之后，以二次函数为载体较系统地呈现数形结合研究函数的方法，为后面学习其它函数的性质奠定基础．

教学流程（包括课题引入，教学进程，总结等方面。）

导入：二次函数的一般形式：

y＝a x²＋b x＋c (a≠0)，

定义域是 R．

练习1  下列函数中，哪些是二次函数？若是，分别指出二次项系数，一次项系数，常数项．

(1) y＝2 x²＋3 x－1； (2) y＝x＋ ；

(3) y＝3(x－1)²＋1； (4) y＝(x＋3)²－x²；

(5) s＝3－2 t²；     (6) v＝4 π r²．

新课：引例  在同一坐标系内作出下列函数的图象．

y＝x²，  y＝2 x²，  y＝3 x²，

y＝－x²，y＝－2x²，y＝－3 x²．

观察图象并完成填空

函数 y＝a x² 的图象，当a＞0时开口    ．当a＜0时开口    ，对称轴是      ，顶点坐标是       ．

函数是    函数（用奇或偶填空）．| a | 越大，开口越   ．

例1  研讨二次函数

f (x)＝ x²＋4 x＋6的性质与图象．

解  (1) 因为

f (x)＝ x²＋4 x＋6

＝ (x²＋8 x＋12)

＝ (x＋4)²－2．

由于对任意实数 x，

都有  (x＋4)²≥0，

所以  f (x)≥－2，

并且，当 x＝－4时取等号，

即 f(－4)＝－2．

得出性质：

x＝－4时，取得最小值－2．记为 y_min＝－2．

点(－4，－2)是这个图象的顶点．

(2) 当y＝0时，

x²＋4 x＋6＝0，

x²＋8 x＋12＝0，

解得  x₁＝－6，x₂＝－2．

故该函数图象与 x 轴交于两点 (－6，0)，(－2，0)．

(3) 列表作图．

以 x＝－4为中间值，取 x 的一些值，列出这个函数的对应值表然后画出函数的图象．

观察上表或图形回答：

1．关于x＝－4对称的两个自变量的值对应的函数值有什么特点？

答：相同．

2．－4－h 与－4＋h (h＞0) 关于 x＝－4对称吗？

分别计算－4－h与－4＋h的函数值，你能发现什么？

答：f (－4－h)＝f (－4＋h)．

得出性质：

直线 x＝－4为该函数的对称轴．

函数在(－∞，－4]上是减函数，在[－4，＋∞)上是增函数．

小结例2中的函数性质：

1．开口．

2．最值．

3．顶点．

4．对称轴．

5．单调性．

练习2(课本例3)  用配方法求函数 f (x)＝3 x²＋2 x＋1的最小值和图象的对称轴，并说出它在哪个区间上是增函数，在哪个区间上是减函数？

解：f (x)＝3 x²＋2 x＋1

＝3(x²＋ x)＋1

＝3(x²＋ x＋ － )＋1

＝3(x＋ )²＋

所以 y＝f(－ )＝，函数图象的对称轴是直线 x＝－，在(－∞，－]上是减函数，在[－ ，＋∞)上是增函数．

例2  研讨二次函数f (x)＝－x²－4x＋3

的性质与图象．

小结  二次函数的性质．(表格见课件)

例3  已知二次函数 y＝x²－x－6说出：(1) x 取哪些值时，y＝0；

(2) x 取哪些值时，y＞0，

x 取哪些值时，y＜0．

解  (1)求使 y＝0的 x 的值，即求二次方程 x²－x－6＝0的所有根．

方程的判别式

D＝(－1)²－4×1×(－6)＝25＞0，

解得：x₁＝－2，x₂＝3．

(2)画出简图，函数的开口向上．

从图象上可以看出，它与x轴相交于两点(－2，0)，(3，0)，这两点把x轴分成三段．

所以当xÎ(－2，3)时，y＜0．

当xÎ(－∞，－2)∪(3，＋∞)时，y＞0．

练习3  下列函数自变量在什么范围内取值时，函数值大于0、小于0或等于0．

(1) y＝x²＋7 x－8；

(2) y＝－x²＋2 x＋8．

总结二次函数，二次方程，二次不等式三者之间的关系．

教师在引导学生复习旧知识的同时，让学生自主探索新知识，激发学生获取新知的动力．

通过引例，使学生进一步掌握二次函数图象的描点作图法，并根据所做图象来分析函数 y＝a x² 中系数 a 对图象的影响，提高学生读图能力．

学生合作，集体回忆初中所学二次函数的知识．

通过对例1中二次三项式的代数分析，使学生对二次函数的直观感知上升到理性认识的高度，更重要的是使学生掌握数形结合研究函数的方法，初步培养学生的画图、识图能力．

分析图象与x轴的交点，一方面为描点作图，另一方面为下节研究函数与方程，不等式的关系做铺垫．

对称性的教学设计是为了启发学生完成从直观到抽象、从感性思维到理性思维的升华．教师让学生经历“观察—发现—验证—归纳”四个过程，感受数学的严密性、科学性．

小结函数性质，将例1的分析条理化．

通过练习2，进一步练习配方法以及巩固二次函数的性质．

以表格的形式整理二次函数性质，使知识结构一目了然．

本例题有两种方法，方法一：在图象中用区间分析法，方法二；求一元二次方程或一元二次不等式的解集的方法．教师在讲解时可根据学生的实际情况进行讲解和拓展．

方法一：在图象中用区间分析法是比较简单的一种方法，通过此法可进一步培养学生的读图，识图能力，培养学生数形结合的思想．

巩固用图象法解一元二次不等式的步骤．

利用表格总结，使所学知识系统化．

课前

预习

及

作业

教材 P 84，练习 A组第 1、2题；

教材 P 85，练习 B组1、2题（选做）．

作业本3.2.3节

交流

心得

1、强调学生画二次函数的图像的方法和板书；

2、根据图像研究函数的性质，对此学生会感到困惑；

3、学生的识图能力方面会欠缺.