高中物理中刚性绳拉力突变时的加速度问题

黑龙江省牡丹江市教育教学研究院  宋鹏

摘  要：刚性绳拉力发生变化时，绳的端点在沿绳方向上无位移、无速度，但并不是无加速度。从加速度的定义或从牛顿第二定律出发来讨论，均能证明以往的结论是错误的。教学中所涉及的一些问题，需要教师在教学中要针对学生实际情况酌情处理。

关键词：加速度概念、牛顿第二定律、理想模型、极限。http://s16/mw690/004jgRNazy6RudY0TJZ1f&690

有个经典的题被各种教辅资料采用：如图，物体被互成角度的弹簧和细绳悬挂在天花板上静止（注意，弹簧与细绳不垂直，这个条件很必要，若垂直，就无此问题的讨论了），现分别突然剪断细绳和弹簧，判断在剪断后瞬间两种情况下物体的加速度的区别。笔者认为，第一，此题过分牵扯“理想模型”及“极限”问题的讨论，有些偏离高中物理教学目标。第二，教辅材料上及老师的解答是错误的，误导学生。

一、解答错误

第一，从加速度定义出发来讨论。

与弹簧相比，把细绳看做是刚性理想模型，细绳端点在沿细绳方向上的位移x和速度v均为零，进而速度的变化Δv也为零，这是理想模型概念在此处的规定。虽然实际的情况x、v以及Δv均不为零，但很小可忽略，把实际情况简化为理想模型，在针对x、v以及Δv的问题上，模型与实际情况无冲突，只是个误差大小的问题。既然无冲突，便可进行这样理想化的处理。但要注意，此模型只针对x、v、Δv问题，因为模型对x、v、Δv为零的规定，与其它别的量例如时间Δt无关，它并不需要考虑Δt的大小以及是否为零的问题。然而，对加速度问题的讨论，要牵扯到Δt的问题，已超出模型的规定，模型强调的是与Δt无关的Δv=0的绝对理想化。

先看用模型的讨论情况。在a=Δv/Δt中，模型是先入为主的认定了Δv=0而不理会Δt如何，这样就断定比值一定为零。因为Δt取任意不为零的值，无论Δt是常量还是怎样的无穷小量，分子都是比分母更高级的无穷小量，这个极限值一定为零，即得出结论a=0，这就是资料上及教师教学中的解释。

再看实际情况，在a=Δv/Δt中，Δv很小但确实存在，与之对应的Δt亦存在。那么在剪断弹簧的瞬间，加速度是这个比值在t趋向零情况下的极限。这个极限值如何，与Δv很小是否可认定Δv=0问题毫无关联，即，这个极限值如何是一回事，是否认定Δv=0则是另一回事，认定Δv=0，绝不是认定比值为零的依据。我们有必要再详细分析一下对Δv=0的认定依据和过程。所谓对一个量的大与小的认定问题，是相对性问题。我们通常认为Δv小，是相对人的视觉，或进行了两个量的比较。例如，人观察了1秒钟（或几秒，此处的时间是人所能感知的任意时间概念，我们暂且以1秒为例），看不出有Δv，它确实很小，可认定它为零。再看这段时间内的比值，对细绳的情况是分子远远小于分母，认定比值为零，也无可非议。然而，在Δt趋近零同时Δv也趋近零的过程中，有可能出现分子与分母大小相当甚至出现分子大于分母的情况。此时讨论比值问题，不是看Δv能否引起人的视觉感知的问题，而是Δv与Δt进行比较的问题。与Δt相比，这时的Δv可能是个相当量，还有可能是无穷大。所以，针对x、v、Δv问题，模型是合理的，针对加速度问题，模型本身就是荒唐的。

第二，从牛顿第二定律出发来讨论。

物体的加速度取决于它的受力情况，在剪断弹簧的前后，细绳对物体的拉力发生了变化，如果把细绳看做是刚性理想模型，则细绳对物体的拉力是突变的，如果把细绳看做是非刚性理想模型，则细绳对物体的拉力是渐变的。渐变的情况，细绳完全等同于弹簧，这里无须细述。http://s6/mw690/004jgRNazy6RuegSo8B05&690

对于理想模型的情况，我们有必要分析一下非理想模型向理想模型的趋向过程。如图，设沿绳的方向为y轴，只考虑沿绳方向的情况，在剪断弹簧前，弹簧拉力在沿绳方向的分力T₁、绳的拉力F、物体重力在沿绳方向的分力G₁三个力平衡，即F+T₁-G₁=0。剪断弹簧后，T₁瞬间消失，经暂短时间后沿绳方向形成新的平衡，即F-G₁=0。剪断弹簧前后的两个平衡，对应的F不同，我们设为F₁和F₂，从F₁变为F₂的过程是由不平衡向新的平衡的过渡过程（弹簧与细绳的夹角大于90^o时，F₂＜F₁）。设t₁时刻剪断弹簧，t₂时刻达到了新的平衡。在Δt=t₂-t₁时间内，t₁时刻对应的是F₁而绝不是F₂，在Δt=t₂-t₁≠0而趋向零的过程中都是如此，即在沿绳方向上，剪断弹簧前是平衡，剪断弹簧后是不平衡，一定存在加速度。这种情况，细绳与弹簧无区别。下面把细绳看做理想模型情况，即Δt=0，t₁=t₂=t，那么在t时刻对应的F值也不能是两个值而只能是一个值。此时，关于F-t图像（如图），在0到t区间内，右侧是闭区间，在t到+∞区间内，左侧是开区间，所以t时刻对应的这个F值也只能是F₁而不是F₂，这在数学课堂上都是学生学过的知识。所以，在剪断弹簧后，绳的端点在沿绳方向上是由不平衡经过个“过程”过渡到平衡，即便在理想模型情况下忽略这个“过程”，出现F值的跳变，其中的二选一，也要选闭区间的对应值。

还有个问题需要说明，那就是“剪断弹簧后”是个什么概念，原则上，要严格根据上述分析，严格地得出它不是剪断弹簧后 “跳跃后”的概念，而是“跳跃前”的概念。虽然对于高中生无须过于严格讨论此问题，但非要讲这个题的话，教师硬要把其说是“跳跃后”的概念，不免有些武断，其实也是错误的。

二、联想到教学中的问题

1、对于理想模型的应用要慎重。理想模型的应用，只是个思维技巧问题，最首要的是其合理性和解析性，其次才是它的便捷性、方法性。讨论加速度问题，刚性绳的理想模型显然不适用，它不是误差问题，而是错误问题。

2、笔者接触过很多学生，也正是学生针对此问题提出的疑问引起笔者撰写这篇文章。一些学生有上述分析问题的思维，面对这样的学生，教师难道还要坚持以往武断的说法？笔者还感觉到，与学生进行上述思维的讨论，学生接受起来反而使问题简单化，相反，把那种错误结论武断的硬要塞给学生，反而把问题弄复杂了，而且聪明些的学生不服气，一般的学生也只是“相信老师”死记结论而已。

3、对于本文中问题的分析是否在教学中进行，笔者认为，要根据学生的具体情况而定。对于基础较好、分析能力很强的、不会带来负担的学生，可进行，这样会对学生有好处，能使学生能力得到大幅度的提高。但如果学生基础及能力没有达到相应的程度，不必涉足此内容。或者说，在高一的教学中“绝”不涉足此内容，在高三总复习时，再酌情针对少数学生进行处理。