教学内容：

苏教版五年级上册第108-109页。

教学目标

1.探索并发现钉子板上围成的多边形的面积与围成的多边形边上的钉子数、多边形内部钉子数之间的关系，并尝试用字母式子表示关系。

2.经历探索钉子板上围成的多边形面积与相关钉子数间的关系的过程，体会规律的复杂性和全面性，体会归纳思维，体会用字母表示关系的简洁性，发展观察、比较、推理、综合和抽象、概括等思维能力。

3.使学生获得探索规律成功的体验，树立学习数学的自信心，感受数学规律的奇妙，对数学产生好奇心，提高学习数学的兴趣和积极性。

教学重点

探索钉子板上多边形的面积与多边形边上钉子数、内部钉子数之间的关系。

教学难点

综合、归纳多边形的面积与多边形边上钉子数、内部钉子数之间的关系。

教学准备

材料纸、多媒体课件

教学过程

一.激趣导入，引发猜想

课件出示钉子板，问：这是什么？

课件出示点子图，师：如果把钉子板抽象成大屏幕上的点子图，大家还能看明白吗？

师：每相邻两个钉子之间的距离是1厘米，那么这个小正方形的面积是？（1平方厘米）

课件出示一个梯形，问：这一个多边形呢？你是怎样思考的？

生1：用梯形的面积公式计算。

生2：用数格子的方法。

师：我们用数一数或算一算的方法都能很快知道这个多边形的面积，那么这一个多边形呢？（课件出示一个复杂的多边形）你还能像刚刚那样很快知道它的面积吗？（不能）

引导：钉子板上的复杂多边形在求面积时有什么好方法呢？今天我们就一起来研究钉子板上的多边形。（板书课题）

二、由易到难，展开探索

引导：瞧，这个多边形这么复杂。那么，对于复杂图形的研究可以先从怎样的图形开始呢？指名回答。

师：我们对于复杂图形的研究，可以先从一些的简单的图形开始，正如我国著名数学家华罗庚所说的，知难而退，退到事物最简单的情况去观察，去思考，以找到规律。

课件出示3个简单的多边形以及活动要求。

师：这里有3个简单的多边形，谁来读一读活动要求？（指名读活动要求）

指名汇报这些多边形的面积各是多少平方厘米，是怎样得到的。教师根据学生回答板书。

问：仔细观察钉子板上的多边形，想一想，多边形的面积可能与什么有关呢？

生：外面一圈钉子数。（师指一指这些钉子，问是这里的钉子吗？这里的钉子叫边上钉子数）

师：为什么跟边上钉子数有关？你是怎样想的？

生：边上钉子数越多，面积就越大。边上钉子数越少，面积也越小。

追问:多边形的面积跟边上钉子数之间到底有怎样的关系呢？四人一组讨论讨论。

问：谁来说说你的发现？（指名回答，课件出现边上钉子数）结合第一个图形来说一说。

师：其它同学也有这样的发现吗？那么这两个多边形的面积和边上钉子数之间是不是也蕴含着这样的规律呢？

请同学们快速的数一数，算一算

师：第二个多边形边上钉子数是？第三个呢？是不是有这样的规律啊？

启发：如果用s表示它的面积，n表示边上钉子数，你能不能用含有n的式子来表示s呢？

生：s=n÷2，板书。

问：那么这个规律是不是适用所有钉子板上的多边形呢？这只是我们的猜想(板书：猜想），有了猜想之后，我们又该怎么做呢？（板书：验证）那我们一起来试一试。

提出要求：每个人设计一个简单的多边形，把结果填入表中，看看是不是符合你的猜想。

学生操作后展示，交流学生作品，有符合规律的，有不符合规律的。

再次启发：看来刚才的发现规律并不适合钉子板上的所有图形，到底怎样的图形才具有这样的规律呢？让我们把目光聚焦到这些符合要求的多边形上，仔细观察屏幕上的三个多边形以及自己画出的符合要求的多边形,看一看它们有什么共同点呢？

指名回答。学生回答时教师说明里面的钉子叫做形内钉子数。

师：那同学们看看自己的设计，是不是形内是一枚钉子的都符合这样的猜想？

总结：看来，钉子板上的多边形的面积不仅跟边上的钉子数有关，还跟形内的钉子数有关。（板书：形内钉子数/枚）当形内钉子数是1枚的时候，s=n÷2。这样的多边形还有很多。

三、运用结构，合作学习

1．探究多边形内有2枚钉子的情况。

师：刚刚还有一些多边形是不符合猜想的，那是什么原因啊？

问：(请设计不符合猜想的同学回答)你设计的多边形与符合要求的多边形有什么不同呢？

生：它形内钉子数不是1枚。

师：那说明还有2枚、3枚或者更多枚的情况吧！

提出要求：还想继续往下研究吗？那下面我们一起来看如果形内有2枚钉子，又有怎样的规律呢？

（课件出示形内有2枚钉子的多边形）

指名读一读活动要求。请根据下面的要求自主探究多边形面积与多边形边上钉子数之间的关系。

师：哪位同学来说一说这三个多边形的面积和边上钉子数？

师：同学们，这三组数据跟你们一样吗？这位同学从这三组数据中提出了自己的猜想，并且自己设计了一个多边形进行了验证。谁还能说说自己的验证过程？

2．推想多边形内有3枚或4枚钉子的情况。

引导：刚刚我们研究了形内钉子数是1枚的时候，S=,当形内钉子数是2枚的时候，S=，同学们，你们又想到了什么？

生：当形内钉子数是3枚的时候，S=n÷2+2,当形内钉子数是4枚的时候，S=n÷2+3……

师：这位同学已经有了自己的猜想。其他同学呢，有猜想了吗？那我们就一起来提出猜想，进行验证，最后得到结论。

   课件出示活动4，学生轻声阅读活动要求。

活动要求：

（1）猜想：每组同学选择一种情况提出猜想（形内有3枚钉子、4枚钉子、5枚钉子等），多边形的面积和边上钉子数的关系；

（2）验证：组员每人设计一个符合要求的多边形进行验证，将结果记录下来，组长负责汇总。

（3）结论：在小组里说说自己的想法。

学生拿出3号研究单，开始活动。指名小组上台汇报。教师板书规律。

师：你们的猜想跟他们一样吗？你们验证的结果呢？我们的同学真是厉害，从这两个规律猜想了形内钉子数是3枚、4枚的规律，并且各举了三组数据进行验证。还有小组研究了当形内钉子数是5枚的时候， s=n÷2+4,如果再往下研究，当形内钉子数是6枚的时候……，如果是a枚呢？教师板书。

同桌说说自己的想法。指名交流。教师板书：s=n÷2+a-1

问：为什么是a-1？

追问：同学们看这里的规律，为什么形内钉子数是1枚的时候，没有加几呢？（明确是＋0，可以省略不谢）

小结：同学们真的很棒，用这样一个式子就把形内钉子数、面积和边上钉子数的关系表达清楚了。用含有字母的式子表示规律，既简明又容易记住。

3.深化理解，完善结论。

提问：回到课堂的开始，这个复杂问题我们会解决了吗？只要知道什么信息就可以了？（课件出示刚开始的复杂多边形，并出示公式、计算结果）

接着出示一个形内钉子数是0的多边形，问：这个多边形的面积是？能不能也用这个规律来解决呢？师生一起解决。

师：当形内钉子数是0枚的时候，这样的规律同样适用。所以当形内钉子数是0枚，s=n÷2-1。教师板书。

四、回顾反思，总结延伸

师：同学们，今天我们一起研究了钉子板上的多边形，其实这个结论在1899的时候，被奥地利数学家乔治皮克发现了，被称为“皮克定理”。在我国清代，闵嗣鹤先生在他的《格点和面积》一书中，也提及了这方面的知识。感兴趣的同学课后可以研究一下。