http://s5/mw690/004igrvszy79EnYNzUw14&690

http://s3/bmiddle/004igrvszy79EobiuPw92&690的最后结果是垂直于两个向量构成的平面的向量。现在，我们定义两个三维复数：

http://s9/mw690/004igrvszy79EoqarSo68&690
那么我们乘法的结果如何呢：

http://s3/mw690/004igrvszy79EoZNqjU02&690
这里面我们会发现我们多了ij和ji的项，而且不是一个实数，那么如何解决这个问题呢？四元数的老爸（也就是发明者）哈密尔顿引入了四维的概念，也就是我们的四元数：http://s11/mw690/004igrvszy79Epq9SLU2a&690，根据我们的向量叉乘原理，我们定义一下这些关系：

http://s5/mw690/004igrvszy79EptlIWM74&690

http://s9/mw690/004igrvszy79EptQ0J278&690

http://s14/mw690/004igrvszy79EpuySeN9d&690

http://s10/mw690/004igrvszy79Epv2vGx09&690
最后得出这些关系：

为了方便的表示，我们一般写成如下形式：

http://s12/mw690/004igrvszy79Eq2SGThbb&690

其中s是实数，而向量v就对应了一个三维空间，下面我们看四元数的乘法运算（这里不写中间的计算过程，因为很简单。。。）：

http://s4/mw690/004igrvszy79EqopopZa3&690
由于我们要研究的是三维空间的旋转，所以我们可以令其中一个为纯四元数：

http://s9/mw690/004igrvszy79EqEMhiE08&690
这里我们发现我们的结果还是一个四维空间，显然不是我们想要的，我们想要的是旋转之后还在三维空间内。我们仿真二位平面的做法：

http://s12/mw690/004igrvszy79Er1pOK75b&690
这里需要注意两点：一是我们用三角函数表示旋转轴，主要就是为了归一化，就是单位四元数才能够表示旋转，二是我们这里令http://s9/mw690/004igrvszy79Erc8q8M28&690，也就说明了我们这种旋转的局限性，我们知道当两个向量点乘为0的时候，说明它们 是垂直关系的，所以我们的旋转轴只能是与我们的坐标轴垂直的轴，可我们在实际应用中是需要任意轴旋转的，那该怎么办呢，我们的哈密尔顿大胆而富有想象力，他发现将三维的坐标映射到四维之后，可以利用共轭四元数再映射回三维空间，那么我们的共轭四元数是怎样的呢？类似我们的共轭复数：

http://s15/mw690/004igrvszy79ErCLJPo2e&690

http://s11/mw690/004igrvszy79ErZdCLUba&690