四、理性的“尺度”——论毕达哥拉斯学派的数论哲学

现代数学尽管在内容上十分广博，但可以把全部数学还原为自然数的三大要素：单位（一）、多（基数）和次序（序数）。康德最早从哲学上论述了这种数学的算术化。在康德那里，算术源自时间这种感性直观形式。但康德唯一可确定的是纯粹单位在时间中是前后相继的，不能说明纯粹单位和纯粹杂多是什么。弗雷格反对数的直观理解，认为数是对象，把次序定义为“后继”这种逻辑关系。随后的胡塞尔认为单位1是纯形式范畴“某物”，数是“某物和某物和某物...”这种多。但弗雷格的逻辑分析无法判定凯撒这个对象是否是数，胡塞尔的现象学方案只能分析数的呈现方式，也不能把握数本身。

在数学和自然科学中，数始终是关键的基础概念，但“数本身”却似乎是人类理性的禁区。数本身是什么，是数论哲学的核心问题。古希腊数学中，经过毕达哥拉斯派[1]

的论述，数（ριθμς）严格地指从1开始的自然数。按照这种观念，希腊时代的学者很自然地认为零、分数、负数等都不是数。这里我们回到问题的源头——毕达哥拉斯派数论（arithmology），考察他们的相关论述和开创性贡献。

一、数概念的人类学起源

胡塞尔发现，如果要深入研究数，先要有一个关于数的暂时观点作为出发点。^〔1〕p12我们的探讨是纯历史性的，所以出发点是数的人类学起源——数数活动（本文把“数”的动词用法下加横线）。数数的自然前提是有较多事物存在，由此可以确定，数总是意味着某些事物的多。值得注意的是，这已经是一种古希腊式的理解。古希腊数学问题“μηλτης”是指苹果（μλον）的数，“φιαλτης”指碗（φιλη）的数。^〔2〕p14这种构词明显意味着“数是若干事物的数”。与这个传统相关，现代德语Anzahl和英语number都能表达“anumber of (things)”，即一个数目的事物。

数出自数数活动，可从古代民族记数的原始符号和相关材料得到证实。汉语中数的动词与名词同形，也表明了数与数数的关系，但似乎不直接涉及“多”这个含义。康德和胡塞尔在不同的研究方案下都认可数和算术出自数数活动。通过数数可以造出自然数系列。历史上只有极少数民族确立了完整的自然数系，进一步问“数是什么”的大概只有古希腊人。古代中国人可能就没有意识到这个问题，至少没有把它作为原理性问题来对待。

数数活动必定包含某种抽象，而且是一种非常本源性的抽象。本源性是指通过数概念的中介，人们可能把握了世界的某种源始本质或构造。这种抽象完全不同于“苹果”、“红”等概念的抽象，因为数没有可感原型。这个特点使数显得非常神秘。我们凭什么可以说“这个苹果”是“1个苹果”，这里的1是什么意思？在数数中人们很自然地认为1是数，数学家们从未否认1是数。但是，根据毕达哥拉斯派的论述，亚里士多德发现并论证1不能是数。自然数系自身也充满奥秘。直观地看，如果4是可开方的，2的开方似乎没有理由不可穷尽，数学家可能会据此认为，自然数系一定以某种方式隐藏了某些复杂的数学内容。

如果数的前提是世界中事物的多，那么数一定关涉世界中的事物。关键在于二者以何种方式相关。数是世界的本质，或是世界自身固有的结构形式，亦或是世界的属性，三者都使数与世界实质关联。但也可以认为，数只是人们认知世界的方式，事物本身没有数，这样，数和世界只是某种外在关联。例如，在《算术哲学》中胡塞尔认为，算术起源于人类理智的有限性，它无力直接把握较多的多，否则，就不需要算术。与此相应，西方研究数的本质问题大致有两条路径。一是把数当作某种实体，这是本体论的途径；二是通过对数数活动的发生学分析揭示数的本质，这是认识论的途径。我们肯定数的人类学起源，主要是为了确定“数是若干事物的多”这个自然主义观点作为出发点，因为它也是毕派数论的基本前提。

二、数的定义与实体化

《几何原本》第七卷给数的定义是：

. 单位是，按照单位每个存在的事物被称作一。

. 数是若干单位（μονδων）组成的多。

这里，和合在一起才能构成数的完整定义，但i和ii并不融贯。在i中，单位既不是个别事物也不是一，而是按照单位才能称事物是一。但在ii中，明显是把单位当作一和个别事物。如果这样，在i中引入单位就是多余的。但其实不然，因为没有单位，就无法解释个别事物为什么是一。如果把ii改为“数是若干事物组成的多”，i和ii的矛盾就消除了。但这样的结果是直接取消了数，因为任何可感个体其实也是多，即一是多或多即一。所以要有数，必先预设不可分的独立单位。由此可见，《原本》的定义是经过审慎取舍的。

关于《原本》第79卷数论部分，数学史家历来认为是出自毕达哥拉斯学派，但这并不意味着其中某些个别内容，如这个定义，就出自毕达哥拉斯时期。但按照亚里士多德的转述，毕派确实已经深入研究过该定义中的思想。众所周知早期毕派的前段与后段有明显差别，我们没有发现后段学者如菲罗劳斯、阿尔基塔等人有相关论述，由此可以认为该定义归功于前段学者。

亚里士多德指出，毕达哥拉斯派认为“有限和无限不是其他事物（如火、土和其他此类事物）的性质，无限本身和一本身就是他们所说的事物的实体。这就是为什么他们说数是万物的实体。”（Metaph.A.5, 987a 15-20）^〔3〕这样，“毕达哥拉斯学派说事物本身就是数，并且不把数学对象置于形式和可感事物之间。”（Metaph. A. 6, 987b28-30）在一与多的关系上，“数都出自一”。（Metaph.A. 5, 986a 20）如同“米”是长度单位，毕派认为1是数（多）的单位，这是比较明显的。

所以，在毕派看来，1是1个事物，2是2个事物，如此等等。不仅万物皆数，数本身也是事物，这其实是把数等同于自然物。按照这种理解，数不是物理实体的属性，不是抽象概念，而是物理对象（不同于弗雷格的抽象对象）。恰如亚氏所说，毕达哥拉斯学派说“数不是分离（于可感实体——作者注）的”。（Metaph.M 6, 1080b 17）在这种规定方式中，单位概念是枢纽，单位既是事物也是1。说某物是1，必须要有“个”，现代汉语中这一点最明显。柏拉图因此批评毕派学者与天文学家一样，“没有上升到一般问题上来”，总是在具体事物中寻找数，使用的是感官而非理智。（Rep. 531a.b.c）

但柏拉图并不完全反对“数是事物的多”，他只是认为真正的数应当是纯粹单位的多。数是事物的多，是古希腊时代学者们的普遍看法，而关于数和与数相关的算术（ριθμητικ）、逻辑斯蒂（λογιστικ）的种种分歧，都以“数是事物的多”为前提。亚里士多德认为，“若干不可分之物的多是数。”（Metaph.M 9, 1085b 22）“并且一个数，无论它可能是什么，它总是一些特定事物的数。”（Metaph.N 5, 1092b 19）这两个说法代表了古希腊时代学者们的基本看法。数千年来，弗雷格是唯一彻底反对该传统的人。他在《算术基础》开篇就反驳“一这个数是一个事物”，^〔4〕p1同时也反对数为单位的多或事物的多。因为数的属概念是多，根据逻辑就排除了0和1是数。^{〔4〕pp45-46}由此可见毕派的影响之深远。

毕派数论中无疑包含了不少数理神秘主义（arithmos–mysticism）的论题，但如果从毕派试图探索世界的数理起源（arithmetic–origin）角度看，他们所赋予数的神秘属性与他们的自然主义主张都是旨在阐明世界的秩序（τξις），从而都属于某种出自理性的表达。

三、可数性（countableness）与可度量性（measurability）

把单位概念引入数概念之中，从理论上说明了数数就是数事物。因此，可以把几何的单位物（单位的线、面、体）等同于算术的数1。“万物皆数”是传统数学的最终根据。只有承认具体事物是数，才能把特定线段规定为1。[1]

这样，算术和几何被彻底统一，二者实质上是一门科学。几何可以算术化，算术也能几何化。所以，对直线的连续、均匀划分能得到不同的数，而数本身也具有直观的空间形式，复杂的几何图形只是一些数组。这一点对于康德所说的“量的纯粹图型是数”至关重要。

单位的引入，使数系自身的性质更加明朗，即1是一个单位1，2是两个单位11，3是111，等等。这表明数系是一个渐次加1的生成过程，自然数自身也是可数的。数的单位化使数更严格、精确，也使数更抽象。人们由此可以不是数任何具体事物，而只是一般地数1，2，3...等数。当毕派学者研究完全数、友好数等问题时，其实也是在把数自身作为对象。

单位是度量的尺度（μτρον）。μτρον在古希腊是个常用词，可以指尺子、量具、尺度，同时也是重量单位、长度单位等。这种数概念表明事物不仅是可数的，也是可度量的，但二者并不完全匹配。可以认为毕派的单位概念不是出自对数数活动的分析，而是出自对日常度量活动的反思。单位概念并不是数数活动的必要因素。这种“新异”概念的引入造成了不可克服的困难。除了不可公度问题，亚里士多德发现：“一明显指一个尺度。”（Metaph.N 1, 1087 b 33）“尺度是不可分的。”（Metaph. N 1, 1088a 2）因为“这是合理的；一是指某个多的尺度，数是指度量出来的多或若干个尺度组成的多。（这样，一不是数就有充分理由：一个尺度本身不是若干个尺度。尺度和一都是本原。）”（Metaph. N 1, 1088a 4-7）这样，按照毕派的研究，究竟是人们对数的理解出了问题，还是把握数与世界的关系存在问题，这是发人深省的。尽管如此，尺度概念的引入深刻改变了数学与科学的面貌。

一些西方学者把“万物皆数”解释为“万物是可数的（countable）”。J•克莱因指出，毕达哥拉斯派“看见世界中的事物真正奠基于它们的可数性，因为世界的存在状态根本上取决于良序性...而任何秩序反过来依赖于这个事实：有序的事物相互界定并这样成为可数的”。“只有当数意味着一个数目的事物，一个数被确定则被数的事物才被意指，把它们的存在（严格地就它们是事物而言）理解为数才是可能的。”^{〔5〕pp74-79}克莱因把可数性理解为“可见事物的可见秩序”，所以“毕达哥拉斯派科学是宇宙本体论，一种关于世界和世界中事物的存在方式的学说”。克莱因认为，这种数理宇宙论的关键环节是把世界的可度量性还原为可数性，毕派“处于发现更高秩序的存在方式的过程中。我们可以推测他们把世界的起源视为逐步分有原初的‘整体’一，关于这个起源，他们似乎不能说出任何确凿的东西。”^{〔5〕pp77-79}后世数学的各种难题，如计算曲线的长度、曲面面积等，确实是在把可度量性还原为可数性的矛盾中推动了数学发展。

西方根深蒂固的传统认为，从柏拉图开始，算术是理论的，逻辑斯蒂是实践的。克莱因在《希腊数学思想和代数的起源》中通过大量文献考察发现，这是新柏拉图主义学者在诠释柏拉图时对柏拉图的歪曲。事实上，在柏拉图那里，与数相关，算术是关于数数的，逻辑斯蒂是关于计算的，而理论与实践区别在于是处理了纯粹单位还是可感单位。所以柏拉图那里既有理论的算术也有实践的算术，既有理论的逻辑斯蒂也有实践的逻辑斯蒂。

所以在毕派那里，“尺度”首先是实践的算术，是以单位度量同质事物。但是，算术中一个确定量的增减，通过数数就解决了问题，而在几何中，从已知量求其他量，可靠的办法只能是逻辑斯蒂而非数数。所以几何也是逻辑斯蒂，即逻辑演算，而毕达哥拉斯定理的证明则是理论的逻辑斯蒂。由于几何最终只能依赖逻辑斯蒂，所以算术在几何中被严格地逻辑斯蒂化。这不仅扩展和深化了“数是若干事物的数”的内涵，也更深刻地揭示了世界秩序，使数与事物的关联具象化，即几何图形是世界秩序的具象（token）。因此人们在数数或演算数时，不过是在言说世界本身的秩序。简之，数或自然数系即世界秩序。与此相应，算术、逻辑斯蒂、几何、音乐和宇宙学等都是数论的分支。

因此，毕派科学作为宇宙本体论，并非仅仅揭示了可见的秩序，克莱因忽视了毕派数论的深层价值。一旦算术在几何中逻辑斯蒂化，这种数论揭示的秩序不仅包括外在可视、可数的，也包括内在固有的（逻辑斯蒂的）。简单地说，几何演绎揭示的关系具有先天性。而在本体论上，毕派所说的“万物是数”与“万物的本原是数”具有根本区别，前者把数等同于经验物，后者指数是事物的内在根据。因此，毕派数论中有两种宇宙秩序系统，即在可数性揭示的可见秩序之外，还包含可度量性揭示的世界的内在秩序。

四、数的形式化与内在秩序

毕派数论在思想来源上是多元的，有宗教的，天文学的，也有算术的，几何的，谐音学的。但以数为本原，必定是意识到数的某种确定性和先天性。毕派对这种性质的领悟，一般认为是出于数理神秘主义和谐音学的原因，西方学者都忽视了几何的作用。

亚里士多德说，毕达哥拉斯派认为“数学的本原就是所有事物的本原，既然在这些本原中数本质上是最初的…那么，所有其他事物就其全部性质都是由数塑造的，而且数在整个自然中是最初的。他们认为，数的元素是所有事物的元素，整个天是和谐和数。”（Metaph.A 5, 985b 25-986a 3）如果数是事物的本原，仍然可以认为所有事物是数，但数是先于事物的。 “因为毕达哥拉斯派说事物通过模仿数而存在”（Metaph. A. 6, 987b12-13），而数都出自一，所以这种宇宙论就是“把世界的起源视为逐步分有原初的‘整体’一”的过程。因此，“事物的本原是数”揭示了世界发生的内在秩序，相应地，数代表了某种先验原理。

毕派认为10的性质是完美、和谐。如果“万物是数”，则完美和谐是10的属性，也是10个事物如十个天体的属性。在这个特例中，10就是十个天体，没必要也不能区分完美和谐是10的性质还是天体系统的性质。可能首先是出于宗教的原因，毕派始终认为数自身各有其属性，这些属性能够在谐音学、几何和算术等学科中得到某些验证，这促使他们把数当作独立的自足实体。如果谐音音程不过是某些数的比率，把握数就比把握可感事物更可靠。如果天体系统的完美和谐不是出自物理原因，就只能是出于这种性质（数）的先天塑造。所以在数和物之间，数是本原。这样，数不仅是事物可见的界限，也是事物的内在界限并具有某种形式上的规范性。所以亚氏说，毕派“认为数先于整个宇宙也先于一切自然事物（因为没有数，任何东西都既不能存在，也不能被认知：而数即使离开别的事物也是能被认知的）”。^〔6〕p281

按照这种观点，从《形而上学》中可以发现毕派提出了两种理论。第一种认为，所有事物（包括理性、灵魂、公正、机遇等）的质料、属性、关系等都出自数。这个理论的根据是，事物及其全部属性都是数的属性。但问题是，如何能把事物的质料还原为数的某种属性。所以亚里士多德说，“他们用数构造宇宙——只是不是抽象单位组成的数，他们认为单位具有空间的量。但是最初的一如何被构造成具有量，他们似乎不能说明。”（Metaph. M 6, 1080b 18-20）在这种主张中，毕派似乎混淆了数作为质料和形式。或许与这种缺陷有关，毕派学者又提出，数是质料的一种纯形式。这就是亚氏说的，毕派中有些人认为本原是十对对立范畴，其中奇数与偶数、一与多两对范畴是数。第三对范畴“有限定与无限定”与奇数和偶数对应，而一既是奇数也是偶数。随后亚氏介绍说，“他们似乎把这些要素（指十对范畴——作者注）置于质料之下。因为他们说，这些要素内在于实体之中，实体由它们组成和塑造。”（Metaph. A 5, 986b 6-8）因此，“毕达哥拉斯学派研究比自然哲学家更奇怪的本原和元素（原因是他们从非可感事物中获得本原...）”（Metaph.A 8, 989b 29-31）。

总之，毕派在研究世界的自然秩序时，已经深入到世界的内在原理之中。在讨论世界产生于原始的一时，他们并非像克莱因说的，除了认为“一”分化为奇数与偶数、有限定与无限定外，“他们似乎不能说出任何确凿的东西”。例如，毕派所着力的图形数，不是在处理事物可数、可感的外在关系，而是深入到事物的内在结构中。

在可感层面，1就是1个事物，一块三角形木板就是三角形，数与几何图形不能独立于事物；在先天层面，数与几何内在地塑造了物理世界，也不能独立于事物。这两个层面都是数学原理决定事物的界限。毕派的困难在于，可感事物总是不同的，所以必须承认1个苹果的1与1只羊的1是不同的1，这等于是取消了数，不仅摧毁了毕派赋予数的神圣性质，也摧毁了他们试图构建的世界秩序。柏拉图试图通过区分感觉对象的世界和思维对象的世界、具体事物的数和纯粹单位的数来挽救数学。但是，这需要事物从外部分有或模仿另一个世界的实体，其可能性令人费解，人们至今无法解释数学所固有的必然性为何能完美地适用于经验世界。所以，柏拉图的区分对数学而言可能并非是实质性的。在数学家看来，无论他处理的对象是实在的还是观念的，这无关紧要。贝纳塞拉夫在《数不能为何物》中通过论证指出，数不能是集合和逻辑。所以，尽管毕达哥拉斯派的数概念问题重重，但人类似乎还是先要从日常经验中建立这种数概念，进一步的研究才有可能。

结语

通过“万物皆数”这个命题，在毕达哥拉斯派哲学中，对应于算术（可数性）和几何（可度量性）的两种数论、两种宇宙论以难以察觉的方式被混在一起。包括亚里士多德在内的许多学者都曾指出，毕派数论中揭示的先验世界为柏拉图的理念世界提供了范例。

英语中rationality一词意为理性，它源自拉丁文rati（意指思考、算计和比率），所以可以把rationality这种理性方式追溯到毕达哥拉斯派数论中的比率概念。毕达哥拉斯派通过数论使单位（μονς）和尺度凸显为哲学概念。我们可以看见，在赫拉克利特那里尺度（λoγoς）是其运思的关键之一；而在普罗塔哥拉那里，他提出了人的尺度，似乎是不满意毕达哥拉斯派物的尺度。在数学中，尺度概念仍然不容忽视，欧拉曾指出，“数学是量的科学，是找出量可被度量的方法”。

〔5〕J.Klein.Greekmathematical thought and the origin of algebra[M]. Dover Publications, Inc.1968.

〔6〕汪子嵩等.希腊哲学史第一卷[M]. 北京: 人民出版社，1997.

参考文献

〔1〕E.Husserl. Philosophieder Arithmetik[M], Lothar Eley(Ed.). The Hague: Martinus Nijhoff. 1973.

〔2〕T. Heath. AHistory of Greek Mathematics[M]. vol I, Oxford University Press,1921.

〔3〕Aristotle.Metaphysica[M], trans. Ross, Oxford University Press, 1928.

〔4〕[德]弗雷格.算术哲学[M].王路,译, 北京：商务印书馆，1998.

[1]现代数学的起点就是否认数的这种直观基础。高斯认为，数是心灵的产物，算术是先天知识，而空间是心灵外部的实体，几何依赖于直观和经验。所以数与几何对象在本体论和认识论上都根本不同，不能把几何单位规定为1。故现代数学中，算术与几何是分裂的，二者统一的抽象基础还有待建立。

本文原发表于《自然辩证法研究》