例谈以教材问题为“蓝本”编制试题的方法

刊于《中国数学教育》（高中版）2012年第11期

摘  要：教材凝聚了众多教育教学研究专家的心智,教材中的例习题都具有很强的基础性、典型性与示范性,它是教师教学的基础和根本,也是命题者的立足点．以教材例习题为蓝本,通过改变叙述、适度拓展、添加背景、问题叠加等手段，可以编制丰富的试题，引导师生回归教材, 落实“减轻学生过重的课业负担”的新课程改革初衷.

关键词：回归教材、习题改编、教学测量、区分度

 

教学离不开评价,评价常需要通过测试形成量化指标.教材凝聚了众多教育教学研究专家的心智,教材中的例习题都具有很强的基础性、典型性与示范性,它是教师教学的基础和根本,也是命题者的立足点．本文拟结合笔者的命题经验,谈谈以教材例习题为“蓝本”,进行命题的一些基本方法,以期共同提高.

一、  改变叙述

教材例习题体现了教学的基本要求,大都是为了帮助学生巩固当堂所学知识而设置的,一般呈现的形式也较为直观,易于学生的模式识别.而作为测试题既需要有知识的考查,也需要有对学生思维能力的考查.有时适当改变教材例习题的叙述方式,可增加问题的思维量,更好地区分学生的思维水平.

    题1.若三条直线ax+2y+8=0,4x+3y=10和2x－y=10把平面分成六个部分,则实数a的取值范围为         .

    题源:本题源于数学·必修2第85页练习4.原题如下:三条直线ax+2y+8=0,4x+3y =10和2x－y=10相交于一点,求a的值.

    题评:原题主要考查学生求两条直线交点的运算能力,属低思维层次问题.改编题把“相交于一点”改为“把平面分成六个部分”,要求学生辨析三条直线应该具备什么样的位置关系,对学生的思维能力提出了较高的要求. 实际上,“把平面分成六个部分”不仅包括三条直线相交于一点的情形,还有其中两条直线平行同时与第三条相交的情形.

    题2.如图1,在正三棱柱ABC－A₁B₁C₁中,点D为棱BC的中点,求证:

（1)AD平面BCC₁B₁；(2)直线BA₁//平面ADC₁.

    题源:本题源于数学·必修2第62页练习17.原题如下: 如图2,在正三棱柱ABC－A₁B₁C₁中,点D在边BC上,AD^C₁D.(1)求证:AD^平面BCC₁B_1;(2)如果点E是B₁C₁的中点,求证:A₁E//平面ADC₁.

     题评:本题主要考查线面平行与垂直的位置关系.但原题中给出的条件“AD^C₁D”非常唐突,而且两个小题难度相当,证明思路单一.相比较而言,把条件叙述为“点D为棱BC的中点”则比较自然.再者,第(2)小题同样是考查线面平行,但改变了直线的位置,使解题思路更加开阔.既可以在平面ADC₁内找一条直线与BA₁平行,也可以转化为先证明面面平行,再证明线面平行.增加了思维难度,使试题更加丰满.

二、  适度拓展

教材中的例习题是我们编制各种测试题的“蓝本”,很多情况下,可以通过对教材中问题的适当拓展或延伸,改变题目的呈现形式,实现例习题的推陈出新.这种问题“源于课本又高于课本”,可以引导学生立足教材,强化“三基”的落实,同时又可以考查学生多方面的能力.对学生而言,这些问题看上去很熟悉,但与教材问题又有区别,解决问题的方法却是类似的,迁移了教材中解决问题的基本思想和方法.对教师而言,编制题目的过程体现了研究性学习的过程,体现了由特殊到一般,由封闭到开放的过程,同时也是提高教师命题能力的过程．

题3.已知函数f(x) =3x³－9x+5在区间[t,t+2]上的最小值为m(t),最大值为M(t),设F(t)= M(t) －m(t),则F(t)的最小值为            .

题源:本题源于数学·选修2－2第56页练习7.原题如下: 求函数y=3x³－9x+5在区间[－2,2]上的最大值与最小值.

题评:本题主要考查利用导数求解函数在闭区间上最值的能力.原题表述简洁明了,只有简单的数字运算,缺乏思维张力,属于简单的操作性知识考查.改编题将区间由简单的数值演变为抽象的字母,渗透分类讨论的数学思想方法,有利于培养学生思维的严谨性与深刻性.对学生的抽象思维能力、数形结合能力提出了较高的要求,使试题具有较高的区分度.

题4. 一走廊拐角处的横截面如图3所示,已知内壁FG和外壁BC都是半径为1m的四分之一圆弧,AB、DC分别与圆弧BC相切于B、C两点,EF//AB、GH//CD,且两组平行墙壁间的走廊宽度都是1m.

(1)若水平放置的木棒MN的两个端点M、N分别在外壁CD和AB上,且木棒与内壁圆弧相切于点P.设ÐCMN=q(rad),试用q表示木棒MN的长度f(q);

(2)若一根水平放置的木棒能通过该走廊拐角处,求木棒长度的最大值.

 题源:本题源于数学·必修4第49页练习17.原题如下:一铁棒欲通过如图4所

题评:本题侧重考查学生的数学建模能力和利用三角函数解决问题的能力.原题要求借助计算器或计算机给出相关数值,画出三角函数图象,并利用数形结合求出L(q)的最小值,操作起来极为困难,也不便考查.但重新审视问题,考虑到作为高三数学调研试题,学生已有较完备的数学知识,完全可以运用导数知识解决此最值问题,因此改编题减少了问题的设问.再者,为了增加试题的难度,又把走廊的数学模型从“直角”适度拓展到“圆角”,实现数学知识、方法与思想的前后贯通.这种跨章节的知识融合,提高了试题的综合强度,也拓展了学生的思维空间,能较好地区分考生运用所学知识分析问题、解决问题能力的差异.

三、  添加背景

添加背景的方法常运用于应用题的命制过程中.在确立命题立意的基础上,我们可以选择教材中典型问题,把它移植到实际生活中.通过增加问题实际背景的方法,掩盖问题的数学本质,借以考查学生的阅读理解能力、语言翻译转化能力、数学建模能力和分析问题、解决问题的能力，进而培养学生的数学应用意识.

题5. 据环保部门测定,某处的污染指数与附近污染源的强度成正比,与到污染源距离的平方成反比,比例常数为k(k>0).现已知相距18 的A、B两家化工厂(污染源)的污染强度分别为a、b,它们连线上任意一点C处的污染指数y等于两家化工厂对该处的污染指数之和.设AC=x(km)．

(1)试将y表示为x的函数;

(2)若a=1,且x=6时,y取得最小值,试求 的值．

题源:本题源于数学·选修2－2第36页例4.原题如下: 强度分别为a、b的两个光源A、B间的距离为d,试问:在连结两光源的线段AB上,何处照度最小？试就a=8,b=1,d=3时回答上述问题.(照度与光的强度成正比,与光源距离的平方成反比)。

题评:本题主要考查学生的阅读理解能力、数学建模能力、逆向分析问题的能力.原题叙述简洁,无文字干扰,也缺乏应用题应该具备的数学文化价值渗透.基于此,我们把问题更改为“环保”的人文背景,增添了时代的责任感,而问题的思维模式、求解途径都没有太大的变化.只在设问上,将求最小值问题,逆向改编为已知最小值求相应参数的值.实际上,在测试过程中发现的最大问题时,是学生不能将“污染指数与附近污染源的强度成正比,与到污染源距离的平方成反比,比例常数为k(k>0)”准确地翻译为数学符号语言,不能列出正确的函数关系式.

题6.如图5,

用地△OAB的面积最小．

题源:本题源于数学·必修5第90页例3.原题如下:过点(1,2)的直线l与x轴的正半轴、y轴的正半轴分别交于A、B两点,当△AOB的面积最小时,求直线l的方程．

题评:原题以解析几何相关知识为背景,重点考查基本不等式的应用．其思维的核心是选择适

 

当的直线方程形式,建立变量之间的等量关系,进而研究变量取何值时面积有最小值．在知识层面上,要求学生掌握直线方程的形式,基本不等式的应用;在能力层面上,要求学生有明晰的变量意识,代数式变形能力．题目涉及的知识点不多,综合性较弱,重在考查学生的基础知识与基本方法．改编题在添加人文背景的同时,对问题涉及的数学模型也做了适当的变化(坐标轴由“正交”改为公路的“斜交”,点的位置由“直角坐标”变为“极坐标”),使问题的求解思路更加开阔. 从解题方法看,既可以建立直角坐标系用解析几何方法处理,也可以利用正、余弦定理转化为三角问题,还可以通过“算两次”的方法巧妙地建立数量关系.无论是知识层面的应用,还是能力层面的考查, 解题方法都有显著

 

的差异,能较好地区分不同思维层次学生的分析问题与解决问题的能力．

四、  问题叠加

有时候,我们还可以把处于教材不同知识段的例习题巧妙嫁接,形成问题串,实现知识的整合,提升试题的综合考查能力.这种方法体现了在知识交汇点处命题的指导思想,也是各级各类考试中命制解答题最常用的方法．

这种测试题要求考生的思维具有较强的发散性,能够左右逢源、触类旁通,有利于培养学生数学思维的综合性．

题7.如图6,已知四面体ABCD的四个面均为锐角三角形,E、F、G、H分别为边AB、BC、CD、DA上的点,BD//平面EFGH,且EH=FG．

(1)求证:HG∥平面ABC；

 

(2)请在平面ABD内过点E作一条线段垂直于AC,并给出证明．

题源: 本题源于数学·必修2第36页练习3和第37页练习10.原题分别如下:

 

原题1.如图6, E、F、G、H分别空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点,求证:(1)四点E、F、G、H共面;(2)BD//平面EFGH,AC//平面EFGH.

原题2.如图7,一块正方体木料的上底面内有一点E,要经过点E在上底面上画一条直线和C、E连线垂直,应怎样画?

题评:新课标降低了立体几何的教学要求,教学重点放在线线、线面与面面的位置关系,特别是平行与垂直关系的推理论证上.但一般试题中涉及的点都是中点,往往是由中点连中线或中位线,进而寻找平行或垂直关系,学生极易形成思维定势.基于此,在改编题时,我们采用逆向操作的方式,隐去中点的形式化特征,利用平行四边形的平行关系来强化学生对线面平行的本质理解,从而形成第(1)小题.而第(2)小题着力考查学生的创造性思维能力,不单纯考查垂直的推理与证明,突出考查学生的探索与发现过程.原题只要把直线CE放到平面ECC₁中,化线线垂直为线面垂直,进而只要所画直线与EC₁垂直即可(本质是三垂线定理),而改编题需要寻求过E与AC垂直的平面,通过确定垂面,利用面面相交,再确定所求线段,对学生的空间想象能力提出了较高的要求．

题8.

题源: 本题源于数学·必修4第104页练习2和第108页练习3.原题分别如下:

是锐角,求a+2b的值.

题评:本题主要考查三角函数的基本概念、三角函数的基本关系式以及两角和(差)的三角函数公式.改编题将课本上的两道题有机地组合,只是在问题的背景上增加了三角函数的定义、单位圆、三角函数线等基础知识.解题时不仅要考虑a+2b与a、b、a+b、2b之间的有机联系,还要考虑a+2b的范围,以及根据范围如何选择恰当的三角函数等问题.特别是, 改编题对三角函数概念的引入作了推陈出新,更加强调了概念的本质属性.

    此外，无论是阶段性测试还是终结性测试,在试题的编制中,还可以考虑选用教材中典型的例习题,作为测试内容进行考查.引导教师重视教材,扎扎实实地用好教材,引导学生重视课本,摆脱题海,切实打好基础．

    通过几十次的各级各类命题经历,我们深深地感受到要想发挥考试的正面导向功能,引领学生夯实“三基”,实现考试的公平公正,确保试题的科学性,试题的命制就必须以教材例习题为“蓝本”.“问渠哪得清如许,为有源头活水来”．加强教材例习题的改编,能够引导学生重视教材．回归教材,能够使学生在清晰双基的基础上牢固掌握常见的数学方法,能够使学生在深刻理解教材知识的同时更有效地形成知识网络体系,回归教材,还能够让学生有本可依,夯实基础,培养学习数学的自信心．如果各类考试都能以教材中的例习题为载体,进行恰当地改编,必将引导一线教师关注教材,从而落实“减轻学生过重的课业负担”的新课程改革初衷.

 

参考文献：

1.      单壿主编.普通高中课程标准实验教科书·数学(必修1~5)[M].南京:江苏教育出版社,2007年6月第3版.

2.      单壿主编.普通高中课程标准实验教科书·数学(选修2-2)[M].南京:江苏教育出版社,2008年7月第2版.

3.      王弟成.从模拟试题的解答,看教材使用的缺失[J].中学数学教学参考(上旬),2011(12):38-41.