引自：http://baike.qiji.cn/Detailed/20588.html">玻尔兹曼方程（Boltzmann equation）

玻尔兹曼1872年提出的关于粒子分布函数f(v,r,t)随时间演化的方程。 f(v,r,t)随时间t的变化来源于两个方面：粒子的漂移运动和粒子间的碰撞作 用。它们对f的时间变率的贡献是相加的，故有

http://www.imathas.com/cgi-bin/mimetex.cgi?%5Cdisplaystyle%7B%5Cfrac%7B%7B%5Cpartial%7Bf%7D%7D%7D%7B%7B%5Cpartial%7Bt%7D%7D%7D%7D%3D%7B%5Cleft%28%7B%5Cfrac%7B%7B%5Cpartial%7Bf%7D%7D%7D%7B%7B%5Cpartial%7Bt%7D%7D%7D%7D%5Cright%29%7D_%7B%7Bd%7D%7D%2B%7B%5Cleft%28%7B%5Cfrac%7B%7B%5Cpartial%7Bf%7D%7D%7D%7B%7B%5Cpartial%7Bt%7D%7D%7D%7D%5Cright%29%7D_%7B%7Bc%7D%7Dequation）" /> （1）

在漂移过程中，粒子的坐标和速度按力学运动方程连续变化，即r→r′=r+vδt，http://www.imathas.com/cgi-bin/mimetex.cgi?%5Cdisplaystyle%7B%5Cmathbf%7B%7B%7Bv%7D%7D%7D%7D%5Cto%7B%5Cmathbf%7B%7B%7Bv%7D%7D%7D%7D%27%3D%7B%5Cmathbf%7B%7B%7Bv%7D%7D%7D%7D%2B%7B%5Cfrac%7B%7B%7B%5Cmathbf%7B%7B%7BF%7D%7D%7D%7D%7D%7D%7B%7B%7Bm%7D%7D%7D%7D%5Cdelta%7Bt%7Dequation）" />，F是 外力。应有f(r′,v′,t+δt)=f(r,v,t)， 因此

http://www.imathas.com/cgi-bin/mimetex.cgi?%5Cdisplaystyle%7B%5Cleft%28%7B%5Cfrac%7B%7B%5Cpartial%7Bf%7D%7D%7D%7B%7B%5Cpartial%7Bt%7D%7D%7D%7D%5Cright%29%7D_%7B%7Bd%7D%7D%3D-%7B%5Cmathbf%7B%7B%7Bv%7D%7D%7D%7D%5Ccdot%7B%5Cfrac%7B%7B%5Cpartial%7Bf%7D%7D%7D%7B%7B%5Cpartial%7B%5Cmathbf%7B%7B%7Br%7D%7D%7D%7D%7D%7D%7D-%7B%5Cfrac%7B%7B%7B%5Cmathbf%7B%7B%7BF%7D%7D%7D%7D%7D%7D%7B%7B%7Bm%7D%7D%7D%7D%5Ccdot%7B%5Cfrac%7B%7B%5Cpartial%7Bf%7D%7D%7D%7B%7B%5Cpartial%7B%5Cmathbf%7B%7B%7Bv%7D%7D%7D%7D%7D%7D%7Dequation）" /> （2）

碰撞使r→r+dr，v→v+dv范 围内粒子有进有出，而用http://www.imathas.com/cgi-bin/mimetex.cgi?%5Cdisplaystyle%7B%5Cleft%28%7B%5Cfrac%7B%7B%5Cpartial%7Bf%7D%7D%7D%7B%7B%5Cpartial%7Bt%7D%7D%7D%7D%5Cright%29%7D_%7B%7Bc%7D%7Dequation）" />表 示其净效果。于是可将式（1）写做

http://www.imathas.com/cgi-bin/mimetex.cgi?%5Cdisplaystyle%7B%5Cfrac%7B%7B%5Cpartial%7Bf%7D%7D%7D%7B%7B%5Cpartial%7Bt%7D%7D%7D%7D%2B%7B%5Cmathbf%7B%7B%7Bv%7D%7D%7D%7D%5Ccdot%7B%5Cfrac%7B%7B%5Cpartial%7Bf%7D%7D%7D%7B%7B%5Cpartial%7B%5Cmathbf%7B%7B%7Br%7D%7D%7D%7D%7D%7D%7D%2B%7B%5Cfrac%7B%7B%7B%5Cmathbf%7B%7B%7BF%7D%7D%7D%7D%7D%7D%7B%7B%7Bm%7D%7D%7D%7D%5Ccdot%7B%5Cfrac%7B%7B%5Cpartial%7Bf%7D%7D%7D%7B%7B%5Cpartial%7B%5Cmathbf%7B%7B%7Bv%7D%7D%7D%7D%7D%7D%7D%3D%7B%5Cleft%28%7B%5Cfrac%7B%7B%5Cpartial%7Bf%7D%7D%7D%7B%7B%5Cpartial%7Bt%7D%7D%7D%7D%5Cright%29%7D_%7B%7Bc%7D%7Dequation）" /> （3）

式（3）称为玻尔兹曼方程，对于定常态，http://www.imathas.com/cgi-bin/mimetex.cgi?%5Cdisplaystyle%7B%5Cfrac%7B%7B%5Cpartial%7Bf%7D%7D%7D%7B%7B%5Cpartial%7Bt%7D%7D%7D%7D%3D%7B0%7Dequation）" />， 式（3）化为

http://www.imathas.com/cgi-bin/mimetex.cgi?%5Cdisplaystyle%7B%5Cmathbf%7B%7B%7Bv%7D%7D%7D%7D%5Ccdot%7B%5Cfrac%7B%7B%5Cpartial%7Bf%7D%7D%7D%7B%7B%5Cpartial%7B%5Cmathbf%7B%7B%7Br%7D%7D%7D%7D%7D%7D%7D%2B%7B%5Cfrac%7B%7B%7B%5Cmathbf%7B%7B%7BF%7D%7D%7D%7D%7D%7D%7B%7B%7Bm%7D%7D%7D%7D%5Ccdot%7B%5Cfrac%7B%7B%5Cpartial%7Bf%7D%7D%7D%7B%7B%5Cpartial%7B%5Cmathbf%7B%7B%7Bv%7D%7D%7D%7D%7D%7D%7D%3D%7B%5Cleft%28%7B%5Cfrac%7B%7B%5Cpartial%7Bf%7D%7D%7D%7B%7B%5Cpartial%7Bt%7D%7D%7D%7D%5Cright%29%7D_%7B%7Bc%7D%7Dequation）" /> （4）

式（4）称为定常态玻尔兹曼方程。可以采用弛豫时间近似法处理和讨论碰撞项。若对系统加上一种“力”例如温度梯度或去掉外力，则f偏离平衡分布f_e， 分子间碰撞又使f趋于f_e，这可视为弛豫过程。以τ(v)表示弛豫时间，可以写出下述关系式

f(r,v,t)-f_e(r,v)

=[f(r,v,0)-f_e(r,v)]e^-t/τ （5）

τ(v)描述分布函数对平衡值的偏离按指数规律衰减的快慢程度，它与粒子平均自由飞行时间的数量级相同。可以看出，碰撞项的作用是削弱漂移的影响，外力场 存在时，它使f趋于稳定值，突然撤掉外力场时，则使系统趋于平衡。