“一题多解”对培养学生思维能力的影响

衡阳县渣江镇   高小平

     数学教学中培养学生的思维能力，养成良好的思维品质是数学教学改革的一个重要课题。教师们在各自的教学实践和改革中涌现出的方法和手段，可谓是各有千秋，形式多样。下面我根据自己的教学实践谈谈“一题多解”对培养学生思维能力的几点体会。

一、“一题多解”对学生分析思维能力的培养

    学生要学好知识并利用所学知识解决实际问题，首先就必须具有分析问题的能力。何为分析问题的能力，它就是一种逻辑处理能力，就是把整体分解为部分进行认识的思维，从而找出解决问题的各种方法，如，我在教学角的平分线的性质时，设计了这样一道题：

    如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC的中点，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，                    求证：DE=DF。

    我引导学生分析题目给出的条件，可分为三个知识点：

①.AB=AC  ②.D为BC中点

③.DE⊥AB，DF⊥AC

根据已知知识点及学习经验，学生很容易想到证明

△BDE≌△CDF，这也是大部分学生能解决的。

当学生能够圆满解答后，我又提出一个新的问题，大家思考一下，此题能运用今天所学的知识解答吗？约一分钟，有同学就提出了自己的构想和解题的思路：连结AD，有AB=AC，D为BC中点的条件，根据等腰三角形三线合一，可得到AD平分∠BAC，从而有点D是∠BAC平分线上的点，又知DE⊥AB，DF⊥AC，运用今天所学的角平分线的性质，就可得DE=DF。

在完成解答过程后，我又细问了一句：“还有谁有其它思路吗？”由于受第二种方法的启发，又有学生提出了第三个方法：连结AD，证明△ADE≌△ADF，从而得到DE=DF。

通过这样的教学，不仅培养了学生分析思维能力，而且让学生在学习新知识的同时温故了前面的知识;开阔了学生的解题思路，也活跃了课堂气氛；让学生学到了新的基础知识，也让学有余力的学生展示了能力发展的空间，真可谓是一举多得。

二、“一题多解”对学生综合思维能力和思维品质的培养

综合能力是建立在各个层次能力的基础上的，各种基本能力和思维能力的综合体现，但思维能力又是综合能力的核心。数学思维品质是以数学概念为基础，通过数学命题和推理的形式，结合数学对象的结构和内在联系的过程，数学思维的深刻性、灵活性、广阔性、批判性、敏捷性、创造性等品质在数学中得到充分的体现。数学思维品质是数学思维能力形成和发展的重要因素。

如何培养好学生的思维能力和思维品质，是教育教学的一个重要指标，学生综合能力的高低实际上就是反应了学生的综合素质水平。

华东师大版八年级数学（上）P₁₀₆第18题就是一道典型的综合思维能力的训练题，从各种解题思路及方法看，它涵盖了第13章全等三角形的主要内容和重点知识点。我们先来看看解题思路及方法。

原题：如图，已知

Rt△ABC≌Rt△ADE，

∠ABC=∠ADE=90°，BC与DE相交于点F，连结CD、EB。

   （1）．请找出图中其他的全等三角形；

   （2）．试证明CF=EF。

要完成（1），找出图中其他的全等三角形，这就要求学生对全等三角形（包括直角三角形全等）的相关判定方法，在熟练掌握基础知识的同时还应具有综合分析和判断能力。对于这类题的教学，教师主要注重加强对学生综合分析能力的指导。首先，教师要放手让学生去思考、去探索、去讨论，发挥他们的主观能力性，开放学生的观察能力、综合分析问题以及解决问题的能力；也可根据情况指导学生利用猜想的方法，找出待定的结论，再结合已知条件，根据所学知识进行综合分析和推理得出待定结论的真假，从而达到解决问题的目的。本题（1）的参考答案是：

①.△ADC≌△ABE；②△DCF≌△BEF。

第（2）问，试证明CF=EF，涉及的知识面就更广泛了，除利用全等三角形（含直角三角形全等）的判定方法外，还涵盖了等腰三角形的性质与判定，为加强对学生的综合分析思维能力的培养，教师可在（2）题的结论后面补充：“你能用几种方法证明，看谁的办法多。”从而引导学生运用综合知识培养综合分析思维能力。首先让学生观察图形结合题目条件充分发挥想象，综合分析、思考、讨论，最后学生提出了三种解题思路：

①证明△DCF≌△BEF；

②连结AF，证明△ABF≌△ADF得BF=DF；

③连结CE，证明∠FCE=∠FEC得CF=EF。

这道题不仅解法多样，而且在综合知识方面也覆盖甚广，可以说囊括“全等三角形”这一章的重点知识内容。所以说通过“一题多解”的教学对培养学生综合分析思维能力和思维品质是行之有效的好方法。

不仅如此，由于这类题的教学需要更多的启发学生的思维，也能充分发挥学生的主体作用，所以课堂也变得生动活泼、学乐相融；使学生既学到了知识，又提高了自身的思维品质，提升了自身的综合能力素质。

三、“一题多解”对学生想象思维能力的培养

早在古希腊时代亚里斯多就指出“想象力是发现、发明等一切创造力的源泉”。没有想象力就没有创造，这正是阿基米德说的“给我一个支点，我就可以把地球撑起来！”

发展学生的智力而培养学生的想象能力，这是发展智力的重要途经。只有想象力得到了拓展的学生才能开阔思维的空间，使思维的方式更加灵活，才能突破现有单项思维的定势，才会多角度地思考问题，在实际运用中才会寻求问题的多种设想、方案和结论，达到创新的目的。

是否能有效地培养学生的想象力，方法多种，形式多样，而数学中“一题多解”的有效训练确是实现这一目标的有效方法。如华东师大版八年级数学（上）P₁₀₆第19题，就是一个典型的教学实例。

如图，在△ABC与△ABD中，AD与BC 相交与点O，∠1=∠2，请你添加一个条件（不再添加其他线段，不再标注或使用其他字母），使AC=BD，并给出证明。

你添加的条件是                  。

从题目的问题和图形我们就可以看出答案不是唯一的，这就要求学生能放开思想，结合已知条件、图形及需要探讨的结论充分发挥自己的空间想象力。

约5分钟的思考，就有部分学生想出了多种方案，归纳如下：①.∠C=∠D；②.∠CAB=∠DBA；③.BC=AD；④.OC=OD

这是一道条件开放性的逆向思维的习题，上述答案是怎么样得出来的呢？我们可以先从结论AC=BD入手，观察图形发现AC、BD分别在两个三角形中，要证这两条线段相等，首先就应该想象得出，需从证明两个三角形全等入手，AC、BD在那些三角形中呢？在头脑中就必须将AC、BD所在三角形从原图形中分离出它们所在的基本图形，有：△AOC和△BOD，或△ABC和△BAD。再想象一下，需证明△AOC≌△BOD，头脑中就要思维出从S.S.S，S.A.S，A.S.A，A.A.S中选出可满足的条件。经过思维与想象发现S.A.S和A.A.S都是入选的对象，因为由∠1=∠2可推得OA=OB，而∠3=∠4是对顶角，故需添加OC=OD或∠C=∠D，就可得到△AOC≌△BOD。而要证△ABC≌△BAD,经过思维和想象发现S.A.S，A.S.A，A.A.S都是可以的，因∠1=∠2,边AB公共，故可添加AD=BC，或∠CAB=∠DBA，或∠C=∠D。

综上所述，可添加的条件就有上述的四种情形。

要培养好学生的空间想象能力，就要一步一步的引导学生对问题进行思维和想象，当学生能够选择一种方法来解决某问题时，又要引导学生是否能创新出其它的新思路。

持之以恒的训练定能有效的培养好学生的空间想象力，“一题多解”因为它的解题方法不是唯一，让学生的想象力有很大的发挥空间，所以，加强学生在这方面的训练，对学生空间想象力的培养，那确是值得推荐的教学手段。

综上所述“一题多解”无论是在对学生基本分析思维能力的培养，还是综合思维能力的培养，或是空间想象能力的培养上，它都发挥了积极的重要作用。学生的各种思维能力提高了，思维品质也就提升了，综合素质的形成更就迈上了一个新台阶。