极限是高等数学中最基本的概念和工具，其它很多重要概念和运算都是由极限引导出来的，如导数的概念、定积分和重积分的概念、无穷级数的运算等，另外，极限本身也是一个重要考点，在每年的考研数学试题中经常有十多分的题目。在极限的各种性质中，极限的保号性是一个非常有用的性质，但一些同学对它理解得不透，解题时不会使用，下面蔡老师对极限的保号性做些分析总结，供大家参考。

一、函数极限的局部保号性和非局部保号性

1、函数极限的局部保号性是指：若（或），则存在正数，使得当时，有（或）.

2.函数极限的非局部保号性是指：若（或），则存在正数，使得当时，有（或）.

   对于或的极限也有与上类似的结论。

   非局部保号性是相对于局部保号性而言的，局部保号性是在某个点的去心邻域内保号，而非局部保号性是在一个无穷区间上保号，所以可称之为“非局部”。

二、数列极限的保号性

数列极限的保号性是指：若（或），则存在正整数，使得当时，有（或）.

如果将数列视为一种函数，即定义，则数列的保号性就类似于函数的非局部保号性。

三、极限的增强保号性

函数极限的增强保号性是指：若（或），则对于任何，存在常数，使得当时，有（或）.

证：若，则，根据局部保号性得，存在，使得当时，有，于是.

的情况也类似可证。

对于（或）以及数列极限（或）的情形，也有与上类似的增强保号性。

四、典型题型分析

例1.设函数在上连续，且，证明：存在，使得.

证：设，则由得，由极限的保号性得，存在正数，使得当时，有，

取，则，于是；

再取，则，于是；

根据零点定理得，存在，使得，即.

例2.设具有二阶连续导数，且，，则（   ）

(A)是的极大值             (B)是的极小值

(C)是曲线的拐点     (D)不是极值，也不是拐点

解：∵，由极限的保号性知，在的某去心邻域内，而，∴，单调减少，

在的左邻域内，由知，单调增加；

在的右邻域内，由知，单调减少；

综上得，在处取极大值，故应选(A).

注：选项(C)是错误的，这是因为在的去心邻域内，在的左右两边都是凸的，其凹凸性并未改变，因此不是曲线的拐点，故选项(C)不正确。

从上面的分析我们看到，极限包括函数极限和数列极限，函数极限的保号性包括：局部保号性、非局部保号性和增强保号性，数列极限的保号性包括一般保号性和增强保号性；另外，函数极限的保号性不仅可以用于某个函数本身，也可以用于它的导函数，如上面的例2；从解题方面看，极限的保号性常用于判断题和某些证明题，使用时一般需要结合其它知识点，如上面例1中就用到函数的零点定理，例2中结合运用了函数的单调性，这要求同学们会灵活运用所学知识。 `�>��