第一讲 什么是逻辑学
1.逻辑一词的不同含义：客观事物的规律性；某种理论、观点、行为方式；思维的规律、规则；一门学科，即逻辑学。
2.逻辑学：以推理形式为主要研究对象的学科。逻辑学是研究推理的。
3.推理：从已知条件（前提）得出结论的过程。
4.推理形式：推理的结构。
同类的不同具体推理具有共同的结构，即推理形式。
5.有效推理形式：真前提通过有效推理形式只能得到真结论。即通过有效推理形式，从真前提不会得到假结论。
6.逻辑学的特点：抽象性；应用性；工具性。
7.所有的科学在某种意义上都是某一方面的抽象。
8.数理逻辑的公理系统中：符号只是符号本身，具有非常高的抽象性。
9.逻辑是一门高度抽象的学科，应用范围广。
10.逻辑学研究对象范围很小：推理以及与推理有关的问题。逻辑学的基本原则：同一律；（不）矛盾律；排中律。
11.矛盾律就是不矛盾律，为了表述简洁才说是矛盾律。
12.同一律：A是A；矛盾律：A不是非A，A和A的否定不能同时成立。排中律：A或A的否定必有一真。
13.张三是男生，而且张三是女生。→违反了矛盾律。   张三不是男生，张三也不是女生。→违反了排中律。
14.同一律和矛盾律普遍适用，排中律适用于没有中间状态的。
15.逻辑学同其他学科的关系：哲学，数学，我语言学，计算机科学。
16.逻辑学最早是作为哲学的一部分存在的。
17.广义的哲学包括：逻辑学，伦理学，美学。狭义的哲学不包括逻辑学。
18.数理逻辑：用数学的方法、数学的语言、数学的工具研究推理。
19.数理逻辑的成果为数学基础的研究服务。
20.语言是逻辑的外壳。
21.最早的逻辑系统：二值。
22.推理：演绎和归纳。演绎：从一般到个别；归纳：从个别到一般。
23.计算机只能做演绎，原则上无法做归纳。
24.逻辑分为传统逻辑和数理逻辑。
25.传统逻辑：古典逻辑，古希腊亚里士多德为代表；数理逻辑：现代逻辑，西方以莱布尼茨为创始人。

第二讲 逻辑学的产生和发展
1.世界三大逻辑系统：中国，印度，希腊。
2.中国古代逻辑的两个例子（先秦时代）。eg1:正名。子曰：觚不觚，觚哉！觚哉！子曰：必也正名乎！……名不正则言不顺，言不顺则事不成，事不成则礼乐不兴，礼乐不兴则刑法不中，刑法不中则民无所措手足。故君子名之必可言也，言之必可行也。觚是指喝酒的杯子，孔子认为觚不是觚了，喝酒的杯子你改了形状，不是它该有的样子了，这样是不行的。必须要正名，不正名则言不顺，然后又会怎么怎么样，一系列推理。eg2:白马非马。公孙龙的《白马论》，关键在于如何理解“非”这个字上。非：不是。是：等于；属于；包含于。不是：不等于；不属于；不包含于。白马非马中的非，不等于的意思。
3.传统逻辑：日常语言；数理逻辑：人工语言。
4.濠梁之辩。庄子，道家代表人物；惠子，名家代表人物。
5.矛盾之说。
6.墨家，《墨经》，《墨辩》。
7.《墨经》：
经上、经下、经说上、经说下、大取、小取。
知识的来源：亲知，闻知，说知。
知识的内容：名知，实知，合知，为知。
提出比较完整的逻辑体系。
8.以名举实，以辞抒意，以说出故。
  用不同的名去对应不同的实，用句子表达一个意思，用推理可以知道事物的原因。
9.先秦逻辑较发达，百家争鸣，尤其墨家逻辑最好。汉代以后罢黜百家，独尊儒术。所以逻辑开始不那么发达了。
10.印度古代逻辑的发展：古代论辩术（公元前5世纪——前3世纪）；正理论（婆罗门）；因明（佛教）。
11.佛教逻辑：因明
    创始人：龙树（约2——3世纪间）
    陈那（约425——495）：开创新因明，《因明正理门论》、《集量论》
   商羯罗主（5世纪）：《因明入正理论》
12.五明：声明、医方明、因明、内明、工巧明。
13.因明的三支论式：
    宗：此山有火
    因：因有烟故
    喻：凡有烟均有火，如厨房（同喻）
           凡无烟均无火，如湖（反喻）
14.五支论式：宗、因、喻、合、结。
15.因明，产生于印度。因明的东传：玄奘（约600——664），提出“唯识比量”（“直唯识量”），翻译《因明正理门论》，《因明入正理论》。
16.汉传佛教，藏传佛教。
17.亚里士多德，古希腊逻辑集大成者，被称为逻辑学之父。《工具论》，三段论。
18.古希腊逻辑，麦加拉—斯多阿学派逻辑：构造了命题逻辑系统，构造公理系统。
19.中世纪逻辑，继承发展古希腊和阿拉伯的逻辑思想，建立经院逻辑体系。
20.近代西方逻辑：归纳逻辑。培根，《新工具》。发现（归纳），思想（演绎），记忆，传递。归纳方法：三表法——出现表（具有表），不出现表（缺乏表），程度表（比较表）。事物中毒的那个例子。密尔（穆勒），求因果五法。
21.近代西方逻辑：辩证逻辑（其实是哲学）。康德，《纯粹理性批判》，先验逻辑。黑格尔，《逻辑学》，思想范畴的辩证发展。大逻辑，小逻辑（逻辑学）。
22.数理逻辑的提出，莱布尼茨，《论组合术》，提出关于数理逻辑的思想，设想建立“普遍的符号语言”：思想的字母，思维的演算。
23.数理逻辑即数学逻辑。mathematical logjc
24.数理逻辑的实现：布尔，《逻辑的数学分析》，《思维规律的研究》，创立逻辑代数，实现逻辑演算（命题演算）。德．摩根，《形式逻辑》，《论三段论III和一般逻辑》，《论三段论IV和关系逻辑》,创建关系逻辑。
25.数理逻辑的实现：弗雷格，《概念文字》，引入量词，实现谓词演算。罗素，《数学原理》，合作者：怀特海。建立完备的命题演算和谓词演算，成为逻辑演算的经典系统。
26.数理逻辑的内容：逻辑演算（命题演算、谓词演算），证明论，集合论（公理集合论和素朴集合论），递归论，模型论。
27.数理逻辑的发展：希尔伯特，哥德尔，图灵，塔尔斯基等人的贡献。
28.逻辑演算：命题演算，谓词演算，两个演算。
29.四论：证明论，集合论，递归论，模型论。
30.数理逻辑内容：两个演算，四论。
31.非经典逻辑（非标准逻辑）的出现：经典逻辑（标准逻辑）：以罗素、怀特海《数学原理》为代表；非经典逻辑（非标准逻辑）：多值逻辑，模糊逻辑，模态逻辑，广义模态逻辑，弗协调逻辑。
32.经典逻辑的系统是非经典逻辑系统的子系统。

第三讲  命题联结词及其基本推理形式
1.命题：对事物及其情况（性质、关系）的陈述。
  命题的真值：命题的真假情况。
  每一个命题都有真值，这是命题的基本性质。
2.命题是一种陈述，命题是一种句子。
   句子不一定是命题。命题一定是用句子的形式表达。
3.命题一定是说，什么东西，怎么样。
4.一个句子，只要客观上有真假，那么这就是一个命题。
5.基本命题：本身不再包含其他命题的命题。
  复合命题：由一个或多个基本命题加上命题连结词所构成的命题。
6.基本命题和复合命题其真值的确定：
（1）基本命题的真值：
 逻辑学本身不能确定其所陈述的孤立的基本命题的真值。
（2）复合命题的真值：
由作为其组成部分的基本命题之真值和相关的命题连结词之性质所共同决定。
（3）对某些有特定结构的复合命题，逻辑学本身即可确定其真或假。
7.逻辑不能确定基本命题的真假，逻辑参与确定复合命题的真假。对于某些有特定结构的复合命题，逻辑可以独立的确定它的真和假。
8.逻辑学研究的不是具体的命题，而是同类的具体命题所共同具有的命题形式，即命题结构。
9.命题形式用一定的符号表示。如：以特定符号表示不同的命题连结词而以p表示基本命题。（命题：proposition）
10.真值表：显示命题形式在各种可能情况下的真值。
11.命题连结词：否定，合取，析取，（不相容析取），蕴涵，反蕴涵，等值。
12.假命题蕴涵任何命题；任何命题蕴涵真命题。

第四讲 复合命题的推理：有效推理形式的判定
1.根据可能的真值情况，命题形式可分为：重言式（tautology）（永真式），矛盾式（contradiction）（永假式），可满足式（satisfaction）。
2.具体推理转换为推理形式：用逻辑符号（命题变元即基本命题符号、命题连结词符号及括号）把自然语言推理中的前提和结论写成命题形式，从而形成推理形式。
3.推理形式转换为命题形式：用蕴涵、合取符号及括号把推理形式转换为复合命题形式。
4.有效推理形式所对应的复合命题形式当且仅当是重言式。因此，对一个复合命题推理形式是否有效的判定，转化为对一个复合命题形式是否为重言式的判定。

第五讲 复合命题的推理：命题联结词的充足集
1.命题联结词，将简单命题变成复合命题，将复合命题变为更多层次的复合命题。可以看作是一种函数。
2.每个命题联结词相当于从真值集合｛T,F｝到自身｛T,F｝的一个函数，称为真值函数。
3.每个复合命题形式对应一个真值函数，不同的命题形式可以对应相同的真值函数。
4.基本合取式：n个（n=1，2，3……）命题变元或其否定用合取联结而成的命题形式；
  析取范式：n个（n=1，2，3……）有相同命题变元的基本合取式用析取联结而成的命题形式。
5.范式：满足某种规范、能显示某种逻辑性质不一样的命题形式。
6. 所谓范式，就是规范的形式。
7.除了个别的特殊情况（即矛盾式），对于复合命题形式，都可以作出与之等值的析取范式。
8.基本析取式： n个（n=1，2，3……）命题变元或其否定用析取联结而成的命题形式；
  析取范式：n个（n=1，2，3……）有相同命题变元的基本析取式用合取联结而成的命题形式。
9.对应于某个真值函数的合取范式的做法：
 （1）列出该真值函数的真值表再加以否定；
 （2）作出该否定的析取范式；
 （3）对该析取范式作否定，再反复作用德摩根律和双重否定律加以整理，       从而得到对应于原真值函数的合取范式。
10.重言式做不出合取范式。
11.可满足式既可以做析取范式也可以做合取范式。
12.范式存在定理：
   每一真值函数，都可用范式（析取范式或合取范式）表示；每一复合命题形式，都至少存在一个与其等值的范式（析取范式或合取范式）。
13.存在多少个不同的n元真值函数（命题联结词）？
  存在2的2^n个不同的n元真值函数。
14.命题联结词的充足集：
  若干个命题联结词的集合，用这些命题联结词（同命题变元一起）经过有限次的重复和组合，可表示任意的真值函数。
15.｛ ┓， 析取，合取｝，｛ ┓，析取 ｝，｛ ┓， 合取｝，｛ ┓， →｝都是命题联结词的充足集。
16.或非（箭头向下），与非，称为谢弗尔竖或Sheffer bar ，也都是充足集。是命题联结词的单元素（独元）充足集。

第六讲  命题演算：公理系统
1.判断有效推理形式的方法：真值表法，规谬赋值法。生成有效推理形式的方法：公理系统，自然推演系统。
2.公理系统的构成：
   （1）符号库（初始符号）
   （2）形成规则（符号的使用）
   （3）公理（推演的起点）
   （4）变形规则（推演规则）
3.命题演算的公理系统L
  （1）初始符号：p1，p2，……； ┓， →，（，）
  （2）形成规则：
     〈1〉p1，p2，……是合式公式；
     〈2〉若A，B是任意的合式公式，则（┓A ），（A→B）是合式公式。
     〈3〉所有合式公式由〈1〉，〈2〉生成。
  （3）公理模式：（设A，B，C是任意合式公式）
   L1（（A→（B→A）））
   L2（（A→（B→C））→（（A→B）→（A→C）））
   L3（（（ ┓A) →（ ┓B) ）→（B→A））
  （4）推演规则：  （分离规则，MP）
      从（A→B）和A可得B
4.合式公式：合于形成规则的式子（相当于合乎语法的句子）。
5.L中的证明：
        L的合式公式序列，其中每个合式公式满足下列条件之一：
  （1）L的公理；
  （2）由在先的两个合式公式用MP得出。
      这一序列中的最后一个合式公式称为L中的定理。
6.L中的推演：
   设┏是L中的合式公式（不必是L中的公理）的集合。┏中的合式公式作为临时公理参与L中的证明，称为L中从┏的推演，得到的结果A称为L中┏的推论。记为┏｜-A
第七讲
1.公理系统出发点的延伸：
  （1）可用定义引入其他符号及其形成规则。
  （2）已证定理可于公理同等使用。
  （3）已证新的推演规则可与原有推演规则同等使用。
2.真值表法、规谬赋值法：判定有效推理形式的方法；公理化方法：生成有效推理形式的方法。
3.真值表方法，“重言式”：语义的概念；公理化方法，“定理”：语形的概念。
4.L系统的性质
 （1）可靠性：L的定理都是重言式
 （2）完全性对应于复合命题有效推理形式的重言式都是L的定理
 （3）公理的独立性：L的各条公理不能互相推出。
5.L系统的可靠性和完全性使得：L的定理当且仅当是第四讲中的重言式，即L的定理集与第四讲中的重言式集完全相同。
6.凡是想在学识方面超群绝伦的人都一致认为：在研究和传授学问时，数学方法，即从定义、公设和公理推出结论的方法，乃是发现和传授真理最好的和最可靠的方法。这是千真万确的。
7.通过自然演绎系统进行证明和推演的步骤：
 （1）引入假设；
 （2）使用给定的接近于日常思维的推演规则进行推演；
 （3）最后若按照规则消去假设，则得到不依赖于假设的一般定理；若保留假设，则得到依赖于假设之下的推论。
8.命题演算的自然演绎系统C：
  （1）初始符号：p1，p2，……； ┓， →，（，）
  （2）形成规则：
   〈1〉p1，p2，……是合式公式；
   〈2〉若A，B是任意的合式公式，则（ ┓A ），（A→B）是合式公式。
   〈3〉所有合式公式由〈1〉，〈2〉生成。
9. 命题演算的自然演绎系统C与命题演算的公理系统L等价。即：二者的定理集完全相同。




第八讲
1.命题：对事物及其情况（性质、关系）的陈述。
2.基本命题的组成部分：谓词（P），主词（S），量词。主词和谓词都是词项。
3.词项：事物、事物的情况（性质或关系）。
4.内涵：某一词项的含义，即该词项所指对象共同具有的特有属性。
  外延：某一词项所指的对象。
5.内涵和外延之间有反变关系。
  词项的限制：
        增加词项的内涵以缩小外延。
 词项的扩大：
       减少词项的内涵以扩大外延。
6.根据词项外延的数量情况，词项分为
  普遍词项：外延超过一个；（学校）
  单独词项：外延只有一个；（北京大学）
  空词项：外延为空。（内涵非常严格，没有符合这种内涵的东西。比如： 美国的女总统）
7.词项可与集合对应来看。
8.例子：工业纯，化学纯，分析纯。杂质一种比一种少。现在创造一个词“数学纯”，这个“数学纯”就是空词项。（一点杂质都没有）
9.词项间的关系：指词项外延之间的关系。
10.词项间的关系有：
  （1）全同（同一）关系； 华北最大的城市 ，中国的首都。
  （2）包含关系；学生，大学生。
  （3）包含于关系； 大学生，学生。
  （4）交叉关系； 北京人，学生。
  （5）全异关系；
      〈1〉矛盾关系。 学生，男生，女生。
      〈2〉反对关系。学生，小学生，大学生。
11.定义：描述词项的内涵。
    定义的结构：被定义项，定义项。
   Eg：偶数               是能被2整除的数
     （被定义项）           （定义项）
12.同一个词项可有不同的定义。（比如，水的定义，可以分别从物理、化学角度来定义）
13.定义的主要规则：
   （1）定义项和被定义项需为全同关系；eg：鱼是水中的动物。不是全同关系，定义不对。
   （2）定义项不得直接或间接包含被定义项。eg:逻辑学是研究逻辑的学问（同语反复）；偶数是奇数加1或减1得到的数，奇数是偶数加1或减1得到的数（循环定义）。
14.划分：分类列举词项的外延。
   划分的结构：母项，子项。
  Eg: 生物分为  动物、植物、微生物。
   （母项）        （子项）
15.同一词项可按不同标准作不同的划分。
    划分可连续进行，即：子项可作为母项再次进行划分。
16.划分的主要规则：
  （1）一次划分必须按同一标准进行。
  （2）每一外延应属于某一子项并只属于一个子项。即：子项相加应恰等于母项，不得遗漏；子项之间应互相排斥，不得重合。
17.一元谓词：每次需要一个主词与之配合，通常表示主词的某种性质；
   多元（如二元，三元……）谓词：每次需要多个（如两个，三个……）主词与之配合，通常表示多个主词之间的某种关系。
18.性质命题：含有一元谓词的基本命题；
     关系命题：含有多元谓词的基本命题。
19.量词：全称，特称（存在），单称。
     特称（存在）量词的含义：至少存在一个（不排斥全部）。
20.单称量词通常处理为全称。（eg：北京大学，这个人。都是单称）
     全称量词可省略。
21.传统逻辑中，往往把“否定”分析为在性质命题内部与“肯定”相对的成分。
  “肯定”和“否定”称为联词，表明主词和谓词之间具有肯定的联系或否定的联系。（传统逻辑中，一个层面。有无，是非。）
22.联词：肯定，否定。  
    肯定联词可省略。
26.基本命题的组成部分：谓词，主词，量词，（联词）。
   




第九讲：
1.复合命题的推理：以复合命题为前提或结论，以命题联结词的性质为推理依据。
  基本命题的推理：以基本命题为前提和结论，以基本命题的内部成分和结构为推理依据。
2.基本命题的组成部分：谓词，主词，量词，（联词）。
3.传统逻辑中只研究一元谓词，所以传统逻辑中的性质命题也就是基本命题了。  （基本命题包括性质命题，即包括关系命题）
3.传统逻辑对性质命题的分析：
   主词（S）  谓词（P）
   量词：全称 特称 单称   联词：肯定  否定 
4.根据量词（全称、特称）、联词（肯定、否定））的组合，性质命题分为：
 全称肯定（SAP）：所有S是P       （A）
 全称否定（SEP）：所有S不是P      （E）
  特称肯定（SIP）：有S是P       （I）
  特称否定（SOP）:有S不是P       （O）
5.周延：词项作为主词、谓词出现在性质命题中时，是否涉及到其全部外延，称为是否周延。
 全称肯定（SAP）：所有S_是P         （A）
 全称否定（SEP）：所有S_不是P _          （E）
 特称肯定（SIP）：有S是P           （I）
 特称否定（SOP）:有S不是P_          （O）
注意：加下划线的代表周延。
Eg: 所有的金属（周延）都是导体（不周延。  一部分导体，是金属的那部分导体）。
      所有金属（周延）不是绝缘体（周延的，排除了所有的绝缘体了）。
   有的学生（不周延）是北京人（不周延）。
   有的北京人（不周延）不是大学生（周延）。
6.孤立的一个词项，无所谓周延不周延，只有SAP，SEP，SIP，SOP，AEIO的前后这八个位置上，才有周延不周延之说。
7.全称命题（A、E）的主词周延。
   特称命题（I、O）的主词不周延。
   否定命题（E、O）的谓词周延。
  肯定命题的（A、I）的谓词不周延。
8.关于词项周延的一般规则：
    推理中，在前提中出现时不周延的词项，在结论中出现时也不得周延。
9. 一个词项如果在结论中出现时周延，那么它在前提中出现时，必须周延。
10.命题变形的推理：
 （1）换位法：
        SEP可推出PES
        SIP可推出PIS
        SAP可推出PIS
（2）换质法：
       SAP可推出SEP'
       SEP可推出SAP'
       SIP可推出SOP'
       SOP可推出SIP'
其中，P'是指P的余集。
11.逻辑方阵：正方形四个角分别为SAP SEP SIP SOP，关系：反对，下反对，矛盾，差等。
12.反对：可以同假，不能同真。
    下反对：可以同真，不能同假。
     矛盾：必一真一假。
     差等：上真下必真，下假上必假。
13.（1）SAP→ ┓（SEP）， ┓ （SOP），SIP
            ┓（SAP）→SOP
    （2） SEP→ ┓（SAP）， ┓（SIP），SOP
            ┓（SEP）→SIP
   （3）  SIP→ ┓（SEP）
           ┓（SIP）→ ┓（SAP），SEP，SOP
  （4）   SOP→ ┓（SAP）
          ┓（SOP）→SAP， ┓（SEP），SIP
14.三段论：由包含一个共同词项的两个性质命题作为前提，推出一个性质命题作为结论的推理形式。
15. 三段论一定是三句话，但不是所有三句话的都叫三段论。 
16.三段论的标准形式：大前提
                                       小前提
                                        结论
17.作为结论之主词的词项称为小词（S）
     作为结论之谓词的词项称为大词（P）
     只出现在前提中的的词项称为中词（M）
   含有大词的前提称为大前提
   含有小词的前提称为小前提
注意：这里的大词，小词不是词语，可以是词语，短语，句子。有的书上称之为大项，小项。
18. 式：由作为大前提、小前提、结论的性质命题的 种类而确定。共有64个不同的式。eg:AAA AOO等
19.格：由中词、大词、小词在前提中的位置而确定。共有4个格。
第1格   第2格     第3格    第4格

 M—P    P—M      M—P     P—M
 P—M   S—M       M—S      M—S
20.三段论结合式与格，共有256种可能的格式。