黄爱华平均数教学实录

师：有没有听到主持人的介绍，我姓黄，我的名字在上面，我叫黄爱华。同学们叫我黄老师就好了。咱们是哪一个学校那一个班的同学。

生：我们是杭州采河第一小学五（五）班。

师：谢谢。咱们采河第一小学五年级五班的同学，是吧？咱们五年级一共有多少个班？

生：六个班。

师：五年级有6个班。为什么偏偏是你们五班来上课呢？尼说是你们学校校长就这样随便排的，一班、二班、三班、四班、五班，排到我们了，我们就来了。还是因为我们五年级五班的同学在数学课堂上的表现是不是比较突出呢？有没有这种可能性呀？

生点头。

师加大音量：有没有？

生（异口同声）：有。

师：诶，有可能呀。这些问题我们要思考呀？五年级那么多班不来，就是我们班来？其实同学们也可以反过来思考，为什么那么多老师不来，却偏偏是黄老师来给你们来上课呢？这个问题说起来就复杂了。我简单一点来说，我就说这个呀，我认为就是我和采河一小五五班同学的一种缘分，因为这个缘分，我们今天一起走进了这样一个课堂，觉着这样理解可以吗？认同吗？此时此刻欢迎黄老师给你们上数学课吗?

生：欢迎。

师：真的？

生：真的。

师:哎呀，听得我心里热乎乎的。好的。嗯。咱们的数学老师姓什么？

生：冯。

师：我和你们的数学老师冯老师一样都是数学老师。这个肯定吧？我问一个问题喔。你说我是一个教数学的，还是一个教小朋友学数学的？

师：我是一个数学老师，与冯老师一样。你说我是一个教数学的，还是一个教小朋友学数学的？这个教数学的感觉就是一个专门负责把数学给你们的人。教小朋友学数学的那个老师他更多的强调是帮助同学学。引导同学们学，在小朋友学的有困难的时候他才会出手，学习更多的是靠着我们小朋友自己。你希望我是第一种，还是第二种？

生：第二种。

师：第二种是吧？事实上，学数学还是靠我们每个人自己，太好了，非常高兴，我也愿意让自己成为第二种，教小朋友学数学的这么一个老师。

其实小朋友你们知道吗？在我们研究的那些知识当中，我们要学习的许多数学知识，有的是比较容易的，老师教不教我们都会，教我们会，不教我们看书也能会，但是有的数学知识它是有一点难度的。它需要我们积极地思考，有点挑战，然后我们能把问题解决，然后在这个过程当中还能尝到一些研究和解决问题的乐趣。数学有意思，数学好玩！那你们更希望上第一种不学都会的，还是第二种有一点挑战性的呢？

生（异口同声）：第二种。

师：又选择第二种。太好了。钥匙都选择第二种，那我要跟你们说，你们在学习的过程中要表现得更加专注哟。必要的时候我们同座位的同学，同小组的同学共同来研究，发挥我们集体的智慧。

师：好。黄老师今天这节课就决定跟你们来一个第二种的。黄老师今天要上的数学课与这个知识有关（投影：平均身高）学过吧？

生：学过。

师：学过。如果老师要你算一算这个，平均身高，你会收集哪些数学信息呢？要算平均身高，几个人的？平均身高

生：每个人的身高和有几个人。

师：然后再做什么？

生：把每个的身高加起来再除以人数就可以算出平均身高。

师：他要我们把每个人的身高加起来就得到了什么？

生：总身高。

师：板书（总身高）总身高。我们有了总身高除以什么？

生：总人数。（教师补充板书总身高÷总人数）

师：就能搞得到平均身高。好的。把每个人的身高找到，然后把它加在一起，总身高除以总人数就是平均身高了。好。看屏幕，现在告诉我们平均身高就是142厘米，就那么几个人啦，他们每个人的身高加在一起，除以总人数就得到142个厘米。看到这个数据，你能想到什么呢？

生：我能想到他们几个人的总身高除以总人数就是142厘米。

师：说得好。那如果我要告诉你人数，你可能就能算出这几个人的总身高。我要告诉你总身高，你可能就会算出有多少人？

生点头。

师：那同学们能不能想到这个，这几个同学人的身高数据的情况哟。会不会每个人都比142厘米高呢？

生：不会。

师：会不会每个人都比142厘米矮呀？

生：也不会。

师：那会怎样呢？有的人在142的

生：上面。

师：有的人在142的？

生：下面。

师：可能有的人就是

生：142.

师：这个能想到吗？

生：能。

师：非常好。我跟你说的这个142呀，是一个小组里男同学的平均身高是142厘米（投影补充：男同学）你们就会想到什么？

生：女同学的平均身高是多少呀？

师：好的，我们来看看（投影出示：女同学的平均身高是140厘米）有的人耶，耶什么？总体感觉男同学高一点，是吧？总体感觉男同学的平均身高要比女同学的平均身高要稍微高一点，是吧？当然也没高多少。好。这就是两个数据，我要是给你这两组数据，你又能想到什么呢？男同学的平均身高是142厘米，女同学的平均身高是140个厘米。你能想到什么呀？

生：我想到了我能够吧男同学和女同学的平均身高算出来。一起就是这个小组的平均身高。

师：他说我们能把整个小组的平均身高算出来。没错了。我准备给你一些数据，这是一个环保小队，一共有10个人，男同学的平均身高142厘米，女同学的平均身高140厘米，这个同学说，我们整个小组的平均身高是多少厘米？你们会算吗？

（投影：环保小队共有10名同学，男生平均身高142厘米，女生平均身高140厘米，这个小队学生的平均身高是多少厘米？）

生：会。

师：同座位的同学讨论一下，应该是多少？

生：我认为知道环保小队一共几名同学还不够。还应该知道男生和女生各有几人？

师：我们看不见男生有几个，女生有几个？你的意思是什么？

生：还应该知道男生有几个人？女生有几个人？

师：然后才好算。这是一个想法，有没有不一样的想法？说我们这个平均身高已经算出来了。

生：我觉得应该是男生的平均身高加上女生的平均身高除以2，

师：有没有算出来是多少？

生：141厘米。

师：这个同学那么快就口算出来了，应该是141个厘米。赞成是141个厘米的举手。

（生犹豫观察，发现举手的不多，有的同学放下手）

师：诶，你们刚才不是说是141的吗？这几个同学又举手了。看来那么多的同学并不赞成是141呀，为什么不赞成是141的呢？

生：因为他只说环保小队共有10名同学，如果男生是6个，女生是4个的话，它的平均身高就不会是141了。

师：大家同意吗？

生：同意。

师：那么也就说很多人开始觉得应该是141的时候，当这位同学提出人数还不知道，于是很多同学就开始怀疑这个答案啦。那我现在要问，这个小队的平均身高有没有可能是141.

生：可能。

师：老师在黑板上写一写，这个是141吧。这个就是142厘米，这个就是140厘米。通过刚刚大家的讨论，它还是有可能是141厘米的。你能知道在什么情况下，它应该是141厘米吗？

生：男生有5个，女生有5个。

师：男生5人，女生5人的时候，我们才想它可能是141厘米。这是一种情况，我想把它分为第一种情况（板书：①）有没有不一样的情况，男生、女生都是5个人，它才可能是141，除了都是5个人，还有可能出现几和几?

生：6和4，

师：男生比女生多一点，男生比女生多一点除了6和4还有几和几?

生：7和3，8和2，

师：我们说因为有男生和女生的平均身高，我们说男生和女生至少保证得有2个人，我们说做多的可能性是男生可能8个人，女同学至少有2个人。我们刚刚说的6和4也好，7和3也好，8和2也好，把它统称为一种情况，叫什么情况？

生：男生比女生多。

师：男生比女生多的时候，这个平均身高会不会在141厘米这个位置。

生：不会。

师：不会那可能怎么样？

师：男同学平均身高是142，男同学平均身高又比较多。猜想它的平均身高可能要比141怎么样？

生：多。

师：多。会多到什么程度？有没有可能会多到142.

生摇头。

师：不可能，也就是说它可能在这个之间。（补充图如下）我们把它叫做第二种情况。

师：有没有第三种情况？

生：有。

师：第三种什么情况？

生：还有可能女生的人数比男生的人数多。

师：平均身高是140的女同学比男同学要多的时候，它的平均身高你估计应该在哪里？

举手的人不多。

师：平均身高相对比较矮的女同学，如果人数比较多的时候，这个小队的平均身高——，哦，会不会在这里呢（指2）？

生：不会。

师：会不会在这里呢（指1）

师：它可能在哪里？

生：140与141之间。

师：140与141之间，我们把它叫做第三种情况。（表上箭头）

师：怪不得那么多人我问你们认定是141吗？认为是141的举手，可能刚刚开始还有蛮多人举手，后来发现只有两三个人举手。在这个基础上我们全班同学就一起静下来研究。我们得到这三个还不能算作结论，我们把它叫做猜想。我们在想啊，如果男女生一样多的时候，就是141了；然后再想啊，如果男生比女生多的时候，它的平均身高是不是应该比141多一些呢？女生多的时候是不是应该比141少一些呢？这些都是我们的猜想？有了猜想，还不是结论，我们接下来做什么呀？

生：我们验证我们的猜想。

师：我们就像刚刚那样分组一样，我们每个小组6个人，共同来研究一种情况，来我们看题目。这还是刚刚这个题目。等一下老师会给你们发一张这样的工作纸，我们一起来看，那个同坐之的最左边写的是第几种情况。大家看，我们这里有几种情况？

生：三种。

师：我们每个组研究一种情况。那你们6个人稍微商量一下，你们研究第几种。6个人一组，6个人一组，你们商量一下，你们准备研究第几种？

生商量

师：好，我们稍微商量一下就可以了，我们全班来汇报一下，你们准备研究第几种。

生：第一种。

师：第一种就是男生女生都是5个人的情况。是吧？除了他们这个组研究第一种，还有哪一个组愿意？

师：OK。就是你们这一组。好吗？然后再加你们这一组，你们这一组，一共有三个小组研究第一种情况。好吧？那么研究第二种情况的？就是男生比女生多的？（生举手）那一组。还有这一组，是吧？噢，好的。

师：那么第三种情况的是哪两个组？

生：你们这一组。你们这一组。是吧？

师：那这样我们就很清楚了。继续看，当我们把几种情况弄清楚了之后，我们就要开始确定人数啦。那么第一种情况是5人和5人，这是不能变的啦，填5人和5人就可以了。第二种情况的哪两个组？这一组和这一组。准备研究几和几？

生：6和4.

师：6和4.OK。你们呢？

生：8和2.

师：第三种情况呢？你们这一组还有你们这一组。你们准备研究几和几？

生：3和7？

师：你们呢？

生：4和6.

师：是不是4和6.4个男生6个女生。可以的。好。继续看，我们的研究手段一个是猜想，还有一个就是验证了。那么猜想的时候你只要把你刚刚的这个数据填在这里就可以了。不过验证的过程我们要求把整个计算的过程都写在这个格子里头。就是整个的计算过程。好。我们再看最后一竖行。要我们写出研修的结论。我认为我们今天8个小组，哪个小组研究的水平最高、最厉害就表现在这个结论上。要发挥集体的智慧，把这个结论写出水平来。好不好。

生：好。

师：OK。要不我们接下来的时间就留给你们做这个事。好不好。

生：好。

师：都清楚了没有？

生：清楚了。

师：我们6位同学或者7位同学围坐在一起，工作纸在你们的桌面上，开始。

师：稍微等一下，抬头看一下我。这个请一位字写的比较好的，最好不要用铅笔，用钢笔或者圆珠笔写的大一点。再看我，再看我，你们研究的时候，我就在你们身边，你们可以随时叫我。好。OK，开始开始。好的，抓紧时间。（7分钟左右）

师：来，同学们，真的不忍心打断大家。大家再琢磨琢磨你这个结论有没有写清楚，等一下一说大家能不能听懂。我们最后要评一评哪个小组是最厉害的。

师：好了。好的，谢谢。OK,完成的就可以坐到自己座位上啦。

师：好的，我想问的是，在刚刚我们小组共同研究的过程当中，你在做什么？你呢是参与讨论啦，还是参与计算了。还是动笔去写啦？跟你同桌位的同学稍微分享一下你们组的结论。你们那个组刚才得的结论是什么？同座位的稍微聊一下。还记得吧？别忘了。

生聊，师巡视

师：停停停。好！注意。你是我们整个班8个小组中的一个组。你们这个小组研究的只是一种情况，你们这个时候再想想，别的那个小组他们可能会得出怎样的结论？我们是55，他们研究的是64呀，82呀，也有的组研究的是37呀，46啊。得出的数据可能会怎样了？我们也来分享一下，同桌位的同学也聊一聊嘛。

生聊

师：我高兴地看到，我们有些小组每个人都写了结论，然后把它综合在一起。我想这个时候很多同学心中在想：快点，老师让我们来分享吧，我们来看看整个班上别的小组研究的情况是怎样的。我们要不这样。好不好。来抬头坐正。我们全班同学分几种情况上来汇报。好吗？每种情况选一个代表。啊！我们先请第一种情况的，就是55的，你们选一个人来，把那张纸带上来。OK。诶，你们那边也是55啊，选一个人，你们也是55，选一个人。好的，快点。

师：55的都选一个代表上来，你们也是。哦！

师：来。站好！站好！我们班上出现了4个小组，他们都是研究男生5人、女生5人的情况，大家抬头想一想，他们研究得出来的结论，他们通过计算他们的结论平均身高应该是多少？

生：141.

师：意思是说我们猜想是141，他们通过计算算出来的结论也应该是141.对不对。

生：对。

师：OK。我们一个组一个组地来看。来，请你放这里。来请你拿着话筒。

生：我们研究的是第一种情况。

师（拍着学生肩膀）：要不要跟大家打声招呼，说大家好。

生：大家好，我们研究的是第一种情况，男生5人，平均身高142厘米，女生5人，平均身高140厘米，我们的猜想是小队平均身高是141厘米。我们的验证是（142×5＋141×5）÷10=141厘米。我们的结论是当男女生人数相等的时候全组人的平均身高就等于男女生平均身高的总和除以2.如果人数不等就不能这样算。

师：那你们也没这样算呀？

生迟疑

师：来，我问你两个问题。第一，你们验证的过程我们每个人都听了，她的算式大家都看到没有？

生：看到了。

师：通过算式我们看到了通过计算算出来的得数的确是多少？

生：141厘米。

师：141厘米。符不符合你们的猜想？

生：符合。

师：符合吗？好的。记住你们写出来的结论，就是当男女生人数相等的时候，平均身高就跟加起来除以2是一样的。是不是？

师：那么你的意思就是说，当男女生人数相同的时候，这样算，我们也可以把平均身高加起来除以2罗。是不是？下面有两行字，如果人数不等，就不能这样算。我觉得讲的蛮好的，给他们掌声。

师：好的，我们再看看另外一个组，哦。咦，大家发现伸了啦。

生：大家好，我们是第六小组，我们算的是第一种情况。就是男生有5人，平局身高142厘米，女生有5人，平均身高140厘米。我们的我们的猜想是小组的平均身高是141厘米。我们的验证出来的结果是（142＋140）÷2=282÷2=141厘米。我们的研究结论是——

师：我能请你稍微等一下吗？有没有发现他的算式跟另一组算式的写法一样不一样？

生：不一样。

师：我刚刚问他，有没有这样算的，诶，他们就这样算的。看他们多轻松。他干嘛呢？142加140的和除以2就完了。再看他们的结论。来！来！

生：我们的结论是当男生与女生人数相同时，把男女平均身高相加除以2就可以得到环保小组的平均身高。如果人数不同，不能这样计算。

师：他们有共同的想法，是吧。好。给他们掌声。诶，第三位同学是第几组的。

生：大家好。我们是第二小组的。我想请问你一下，你觉得有必要把前面整个过程再全部再说一遍吗？

生：不用了。

师：你能不能给我们分享一些你们小组独特的想法？

生：我们认为在人数相等的情况下，男生平均升高乘以人数加上女生平均身高乘以人数的和再除以总人数就等于小组平均身高，这一个算式是所有的情况下都适用的。但是如果男生、女生人数相等，就可以用像前面他们介绍的（142+140）的和除以2这种方法。

我们还知道，当人数相同时，这道题的答案是141，当人数不顾相同时，这道题的答案就不是141.

师：如果人数同就是141，如果不同就不是141.啊？他们组还总结了一个对于所有情况都能够用的数量关系。非常好。掌声。

师：第四个发言要求是最高的。

生：大家好，男生与女生人数相等时，男生与女生的平均身高相加再除以2，算出的是这个小队的平均身高。

师：你们有没有发现这个组的同学不一样。他们把两种算式都写出来了。验证①加在一起除以2（142+140）÷2=141厘米；②验证二，就是用男同学的总身高加女同学的总身高除以总人数的（142×5＋141×5）÷10=141。OK，非常好。掌声！

师：我们回顾一下，四个小组都上来汇报了。他们都是研究的男生5人、女生5人的情况，我们再来看男女生不相同的时候是怎么样的，有没有男生比女生多的。研究第二种情况的。诶，上来，上来。好的。还有你，诶。上来，上来。好的。

生：大家好，我们是第七小组的，我们研究的是第二种情况。男生8人，女生2人，小队的平均身高应该在141厘米到142厘米之间。然后经过验算我们算出来了是141.6厘米。我们的结论是如果男生多，女生少，最大的可能性是141.6厘米，如果人数一样，只要把男女平均身高的和除以2就可以了。

师：你的第一句话说如果男生多、女生少，最大的可能行是141.6厘米是什么意思？

生：因为男生多、女生少的话，不只只有8人和2人这种可能性，还有7人与3人，6人与4人这两种。

师：诶，你的意思就是说141.6应该是这个小队最高的平均值。是吗？

生点头。

师：这个小队平均身高最高最高也不超过141.6了。你的依据是什么？

生：因为男生最多是8人，女生人数是2人。

师：哦，她说男同学最多最多也就是8个人，不可能出现9和1的情况。我们刚才说了，最多8个人，平均身高最高最高也就是141.6.你是不是想说明男同学人数越多，平均身高就越----

生：越高！

师：诶。141.6他们认为这可能是整个小队认为的最高的平均身高。我们看看那个小组是怎么说的，给他们掌声。

生鼓掌。

生：大家好，我们是第一小组的，我们研究的是第二种情况。我们猜想平均身高是141厘米---142厘米。我们验证的是小队的平均身高是141.2厘米。小队的平均身高是141.2厘米，的确是在猜想141厘米至142厘米的范围之内。我们发现男生越多，平均身高就越大，越接近142厘米。

师：你有没有发现，你这个发现要是那个组的结论跟你一起来分析，你这个发现就更正确。就更能发现男生越多，平均身高就越高。他们算出来是多少？

生：141.2厘米

师：刚刚前面那个组算出来是多少？

生：141.6厘米。

师：没错，太好了。谢谢你们，给他们掌声。这个同学用了一个词语：的确在，真的在。好。我们看看第三种情况，哪两个组？快点。OK，上来。

生：大家好，我们研究的是第三种情况，男生人数4人，平均身高142厘米；女生人数6人，平均身高141厘米。我们的猜想是平均身高在140厘米---141厘米之间，经过验证，当女生人数比男生人数多的时候，

师（插话）：你们算出来的结论是多少？

生：我们算出来的结论是140.8厘米。

师：在不在你猜想的范围内？

生：在。

师：说说结论。

生：经过验证，当女生人数比男生人数多的时候，小队平均身高一定在140厘米到141厘米之间。如果女生人数越多，小队的平均身高就越靠近140厘米。

师：你们注意她的结论，有两个词语，当女生人数比男生多的时候，小队的平均身高一定，女生多，平均身高就一定在140厘米到141厘米之间。她还说如果女同学人数越多，平均身高是140的女同学越多，小队的平均身高就越靠近越接近140厘米。掌声。好，下一个小组。

生：大家好，我是第八小组，我们小组研究的也是第三种情况，我们研究的是男生人数为3人，女生人数为7人，我们猜想小队的平均身高应该在140到141厘米之间，经过验证，发现它的答案是140.6。经过我们研究，得出了当男生和女生人数不同时，平均身高也不一样，女生越多，平均身高越矮。

师：他们这个小组说了两句话，第一我们得出了

生：男生女生人数不同的时候，平均身高也不一样

师：哦。然后呢？女生----

生：女生越多，平均身高越矮。

师：掌声。哎呀。谢谢你们！谢谢你们！好了，好了。哎呀，我们利用了比较多的时间，我们大家去验证，又讨论分享了大家的结论。有没有哪个小组验证的结论与猜想不一致的？

师：没有，都符合我们的猜想。那么大家都回过头去想一想，我们8个小组算出来的得数有的就是141，有的是140.6，有的是140.2，还有的是141.6，还有的是141.2.哎呀。喂，抬头！你说咱们这个题目里面10个人变了没有？

生：没有。

师：男同学的平均身高变了没有？

生：没有。

师：女同学的平均身高是140厘米，变了没有？

生：也没有。

师：为什么大家得出来的得数却不一样呢。

师：10个人没变，男同学的平均身高没变，女同学的平均身高没变，为什么大家算出来的得数不同的呢？

生：因为男生的身高与女生的身高变了。

师（追问）：男生的身高与女生的身高变了？

生：男生的人数与女生的人数变了。

师：也就是说我们这时候算出的平均数不一样是受到什么的影响？受到人数的影响。我不知道这么长时间的讨论和交流同学们能不能体会到这一点。这10个人他们的平均身高可能有很多种情况。在这个时候，谁在影响着我们的平均数？

生：是人数。

师：大家还应该能体会到如果人数相同，他就应该在哪个位置？

生：141.

师：如果人数不同呢？

生：男生人数越多，它就越接近142厘米。

师：如果女生人数越多呢，

生：它就越接近140.

师:这一点大家不知能不能体会到。

生：可以。

师：如果老师给你另一个问题。刚刚是身高，现在是体重（投影：第一小学五（3）班有男生15人，平均体重34千克；女生21人，平均体重32千克，全班的平均体重多少千克？）

通过刚才的学习，你能不能做出判断，全班的平均体重应该在哪个位置？在谁和谁之间？

生：32和34之间。

师：大家认为平均体重应该在32和34之间。能不能说的再具体一点。

师：我能不能找到33.

生：如果把33找到，你认为这时候平均体重是在33的上面，还是在33的下面。

生：33的下面。、

师：为什么平均体重在33的下面。男生15人，平均体重34千克，女生21人，平均体重32千克。当我们找到33的时候，它的平均体重应该在33的下面，理由是什么？

生：因为女生人数比男生人数要比。

师：OK。因为女同学的人数要比男同学的人数要多。所以我们认为它应该在33的下面，33到32之间，如果我们算，算出来的得数是33点几，我们就要怀疑答案了，我们可能算错了。懂吗？OK。因为女同学的人数比男同学的要多。我们再看一道题。

投影：小明看一本故事书，前两天平均每天看25页，后5天平均每天看23页，小明这一星期平均每天看多少页？

师：前两天平均每天看25页，后5天平均每天看23页，整个星期平均每天看多少页应该在哪个范围里头？

生：23到25之间。

师：23到===

生：24之间。

师：理由是什么？

师：我们后面的这个数据，23是几天的？

生：5天。

师：我们继续看，这里又是一个题目。这个敬老院姥姥11人，平均年龄80.5岁；有老爷爷12人，平均年龄73.6岁。全院老师的平均年龄是多少岁？我们来看看下面有3个算式，我们该选谁？

A:（80.5+73.6)÷(11+12)

B：（80.5×11+73.6×12)÷(11+12)

C：（80.5+73.6)÷2

生：选B合适。

师：为什么不选A呢？能不能把两个平均身高加起来除以总人数。

生：不能。

师：为什么不选C呢？

生：因为他们的人数不相同，当人数相同的时候才可以选C.

师：好的。好的，我还请你们看一道题，商场里面买的那个巧克力糖，每千克是50元；水果糖每千克是40元，有的时候，商场里面会把两种糖混在一起卖。见没见过》

生：见过。

师：如果把它们混在一起卖的话，你说顶出来的价格会不会比60元还贵？、

生：不会。

师：如果贵这就有问题了。会不会比40元钱还便宜？

生：不会。

师：应该在60与40之间。什么情况下卖50元钱。

生：两种糖一样多的时候。

师：当他们千克数相等的时候。应该50块钱。巧克力糖要是多一些呢？

生：应该要比50元钱多一些

师：要是水果糖多一些呢？

生：那应该比50快钱要少一些。

师：老师有三种情况：每千克42元；每千克50元；每千克54元价钱不同，什么影响着定价

生：每一种糖的数量。

师：或者说每一种糖的质量，每一种糖的质量的多少，影响着最后的价钱。

师：很好。坐正。同学们，说句实话给你们听，今天这节课上下来是很不容易的。你们知道吗？我们今天上的内容在我们的课本里是找不到的，是你们说我们要挑战一些有难度的。于是乎，我们今天就这样上了。咱们今天研究的这个知识，实际上它是属于一种加权平均数。我们读中学的时候可能会涉及到它。我们太厉害了。说句实话，我们一节课走下来，你有没有体会。有没有收获。

生：有。

师：水果糖这个问题，巧克力糖这个问题，能不能理解。

生：能。

师：男女生平均身高的问题能不能理解。

生：能。

师：男女生体重的问题能不能理解。

生：能。

师：诶。好好好。我觉得就够了。就够了。好的非常高兴，我们在这样一个环境里把这节课上下来。大家非常努力，非常踊跃。好下课！