《费马大定理——一个困惑了世间智者358年的谜》读书笔记（二）

FERMAT’S  LAST  THOREM

 第一条：同生日问题。（29页）

“假想有一个足球场上运动员和裁判一起共23人，那么，这23人中的2个人有相同的生日的概率是多少？”

答案是：刚刚超过50%，具体证明稍后。

第二条：一个关于欧几里得的有趣的故事。（40页）

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第三条：关于π的一个有趣的规律。（42页）

 

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第四条：欧几里得使用反证法关于  不能写成一个分数的证明。（43页，附录261页）

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第五条：贝切特称重问题。出自《数字的趣味故事》，作者：克劳德.加斯帕.贝切特(50页)

“最少需要多少个砝码，可以在一台天平上称出从1千克到40千克之间的任何整数千克的重量？”

答案：4个。1、3、9、27。过程见附录4（264页）

 

第六条：亲和数的问题。亲和数（amicable number）,与毕达哥拉斯研究的完满数密切相关的一个问题，亲和数是一对数，其中每一个数是另一个数的因数之和。毕达哥拉斯学派发现过有220、284；1636年费马发现17296、18416；笛卡尔发现第三对9363584、9437056，后面有欧拉列举62对亲和数，1866年发现1184、1210。20世纪，数学家推广到“可交往”数（sociable number）,由三个或更多的数形成的一个闭循环的数列。费马后证明26是唯一一个介于一个平方数和一个立方数之间的数。

（51页）

第七条：费马大定理（54页）

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http://s10/mw690/004dQKwAty6EUSmrP2919&690

http://s5/mw690/004dQKwAty6EUSmtPDK24&690

 

 

 

第八条：关于素数的一个性质的证明。费马提出所有的素数可分为两类，一类等于4N+1（5、13、17……），另一类等于4N-1（3、7、11、19、23……），，其中N为某个整数。费马的素数定理断言，第一类素数总是可以两个数的平方之和，第二类素数永远不能写成这种形式。1749年，欧拉在历经7年工作之后，成功证明这个定理。（59页）

第九条；关于数学定理的一些说明。（59页）

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http://s7/mw690/004dQKwAty6EUSmxDtI66&690

 

 

第十条：网络公式。三个数之间的一个永恒的关系式。（70页）

V+R-L=1

V：网络中顶点的个数；

L：网络中连线的个数；

R：网络中区域的个数。

证明：从一个点出发，增加一条线时，要么增加一个区域，要么增加一个点，产生补偿效果。因此，等式成立。

第十一条：无穷素数证明。（82页）
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http://s9/mw690/004dQKwAty6EUSmAO2Ae8&690

 

 

第十二条：“14—15”智力玩具。（112页）

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第十三条：谷山—志村猜想。（161页）

每一个M-序列对应着某个椭圆方程的E-序列。说明了每一个模型式都有一个椭圆方程与之对应。

E-序列：椭圆方程的N格时钟算数。可比喻为椭圆方程的DNA（149页）

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M-序列：刻画模型式是如何构造的信息的序列。可比喻为模型式的DNA。（159页）

（模型式（modular forms）:具有无限对称性。极端对称。153页）
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http://s8/mw690/004dQKwAty6EUSmWqNN47&690

第十三条：谷山—志村猜想与费马大定理证明之间的关系。（171页）

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第十四条：最后导致麻烦的小问题。（226页）

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解决问题：

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（书中说的是岩泽理论，而不是伊娃莎娃理论。）

 

科利瓦金—佛莱切方法:一篇关于椭圆方程的论文，怀尔斯在证明如果椭圆方程的一项是模型式的项，那么下一项也是如此时遇到了障碍，怀尔斯确信这篇论文改进过后可以支持他的推断，后来在提交的论文当中也是使用了这一改进过后的方法。

岩泽理论：怀尔斯试图利用这里理论完成一个归纳方法，以证明一个椭圆方程的一项是模型式的项，则后面的项也是如此。最后因为这个理论的有限性而被放弃使用，转向通过改进科利瓦金—佛莱切方法以得到证明。

第十五条：格斯里四色问题。（226页）

“为任何想象得到的地图着色，并使得任何两个有公共边界的区域的颜色都不相同，那么最少需要多少种颜色？”

两个数学家将这一问题将这一问题简化到1482种基本构型，证明这1482种构型均合适，则可说明4种即可。1975年，在计算机辅助情况下，经过1200小时的计算，证明了这1482种构型均不需要4种以上颜色即可完成不相邻着色。其间，计算机产生了非单纯计算方面的应用。

但由此产生了一个问题，定理证明过程不能够直观的展现在人们面前，也就不能够被人核查，这一问题与数学的严谨态度有出入，因为，不能够绝对保证计算机不会出错。而单纯证明所展现的数学之美也不复存在，计算机展现的只是一个问题与结果之间的联系。（有点类似于系统控制中输入输出描述法和状态空间描述法之间的关系。）

 

总结：费马提出了问题，并证明了N=4的情形不成立，欧拉修修改了费马的方法证明了N=3的情形不成立，对N=3、4的证明适用于N=4n、3n的数。1825男证明了N=5（5n）的情形不成立，14年后证明了N=7（7n）的情形……

最后，安德鲁.怀尔斯证明了费马大定理。

结束语：本来想只总结一下第二章的内容，就像前一篇那样，然后逐篇记录。后来发现做的记录里面第二章的内容并不多，而现在刚好有时间、心情总结后面的内容，所以就一鼓作气看到了书的结尾。内容大致与第一篇相似，不同之处有增加了原文摘录的数量，达到了22张（图），而第一章只有三张，内容上也增加了关于大定理证明过程的一些内容、问题。前一方面切实使我能够快速的完成我的工作，并且在以后的阅读中也更易于理解。

      关于本书，这本书被奉为了解费马大定理证明最好的读本。由制作并导演了关于费马大定理系列纪录片的西蒙.辛格撰写，内容详实，结构安排合理。对了解费马大定理、数学发展、多位史上著名数学家都有好的作用。值得推荐。

书名：《费马大定理——一个困惑了世间智者358年的谜》

西蒙 辛格  著       薛密   译

上海世纪出版集团   上海译文出版社

 

 

参阅：《费马大定理——一个困惑了世间智者358年的谜》

时间：2013年11月23日星期六