根轨迹画法

1.       最终的稳定性由闭环特征方程的根决定，但是，系统瞬态响应则取决于闭环传递函数的极点和零点（注意这一点与电路分析中的稳定后的分析和瞬态分析的关系）。

2.       根轨迹方程就是闭环特征方程。其中可以写成开环传递函等于-1的形式。

3.       提出来的K*就是根轨迹增益。

4.       绘制根轨迹的步骤：

（1）       特征方程，确定根轨迹方向，起点和终点。

1.       由于当K*从零到正无穷变化的时候，s分别趋近于特征方程的极点和零点的时候才能保证特征方程成立，所以从极点出发。

2.       每一个极点对应一个零点，当零点不够的时候，就会有多余的趋向于无穷远的零点。

（2）       根轨迹的分支数。

1.       每一个根轨迹都是闭环特征方程的根对应，数目相同。

2.       但是值得注意的是，闭环的特征方程的次数是由闭环传递函数的分子分母哪个最高次才是哪种，虽然后者一般情况下不存在。（区别于I型系统什么的，那个是对于开环传递函数Gk(s)的所含积分环节数目决定的）。

（3）       根轨迹的连续性和对称性。

实轴对称的轨迹。

（4）       实轴轨迹画法。

根轨迹右边部分为奇数个极点数加零点数。

（5）       根轨迹的渐近线。

1.       首先，渐近线是为趋向无穷远处的根轨迹准备的。

2.       这个是根轨迹渐近线与实轴的交点坐标。注意，前面有一个负号，还有p和z是s+的，而不是极点和零点数值。

3.       角度呢，根据对称性可以理解一些东西，但是注意的是，当为五条根轨迹渐近线的时候，所有渐近线的角度都是相同的，是对于180的等分。

（6）       根轨迹的分离点和会合点。

1.       分离点，是在实轴相遇后 再分离的点。会合点相反。

2.       http://s4/bmiddle/004aOpfHzy6RwaX9W3p63&690 开环函数导数为零(得到的如果没有在根轨迹上面，舍去)，或者这些分之一相等。

3.       http://s11/bmiddle/004aOpfHzy6RwaXPDceea&690 利用幅值方程可以得到K*值

（7）       根轨迹与虚轴的交点。

1.       方法一，将s的值代入特征方程，此时s的实部为0，s=jw，然后实部虚部都为零。

2.       由于当s为纯虚数时候，系统处于临界状态，劳斯判据可知，此时一定有一行是全为0的。

（8）       根轨迹的入射角和出射角。

1.       出射角：根轨迹离开开环复数极点处的切线方向与正实轴之间的夹角；

2.       入射角：根轨迹进入开环复数零点处的切线方向与正实轴之间的夹角。

3.       http://s14/bmiddle/004aOpfHzy6RwaYMByt6d&690

证明为：取了很接近极点p的一点，这个点是在根轨迹上面的，也就是说满足相角条件，相角条件带入，其中极点作为联系其他点和这个点的桥梁，间接的得到了入射角，同样的方法可以得到零点的计算公式。

（9）       闭环极点之和。（？）

当n-m>=2时，闭环极点之和等于开环极点之和。

（10）   闭环极点之积。

有开环零点位于原点时，闭环极点之积等于开环极点之积。

5.       做题的经验

http://s2/bmiddle/004aOpfHzy6Rwb0SUJr51&690当z1在两个开环极点之左，那么这个根轨迹的图像就是一个圆，圆心在-z，半径 http://s4/mw690/004aOpfHzy6Rwb5Uty363&690

6.       但是，不懂得就是，第20张ppt中的东西，在哪体先了忽略远离虚轴的零极点。

7.       广义根轨迹：以非开环根迹增益为可变参数的根归机轨迹，或非负反馈系统的根轨迹

1.       非开环根增益，称作参变量根轨迹，参数根轨迹，用来分析电路中的各种参数。但是要对系统的特征方程进行等效变换，求出等效的开环传递函数 特征方程——等效开环传递函数。个人理解，这里的参变量是对于这个系统原来的开环特征方程决定的。

8.       自己思考一下，对于闭环增益和开环增益有什么区别，必须搞清，什么时候用闭环增益什么时候用开环增益。（需要展开）、

总结：首先，研究这个系统的时候，分为稳定的研究，又分为瞬态的研究。

1.       瞬态研究：

研究的就是我们前三章的什么调节时间，超调量的内容，而这些特征表现在闭环传递函数的零点和极点上面，比如，当闭环传递函数的零点加上一个时，就会有缩短调节时间的功能。也就是说，系统的瞬态响应是由闭环特征方程的零点和极点的分布来决定的。

2.       稳态的研究：

其中就包括了对于闭环特征方程的研究，可以发现，所有的特征可以由其特征方程来决定，特征方程的根决定了这个系统是否稳定， 也就是说这个闭环特征方程的极点来决定。

在后面的根轨迹的学习中，首先要保证一点，就是时刻清醒，我们是研究的闭环传递函数的特征方程的根轨迹，研究的过程中，为了方便，就出现了开环传递函数的分析，可以发现，根的轨迹是由这个开环传递函数的极点和零点来决定的。

9.           在多余的零点对于函数根轨迹的影响要注意，直接影响的是渐近线与实轴的交点，而不是直接影响了根轨迹的分离点，这两个正好是相反的，可以理解为，虽然渐近线的交点越来越远离零点，但是两个渐近线的夹角变小，从而把根轨迹“挤了出去”。