反比例函数复习课教学设计

高陵四中：许胜利

教学目标：

1.理解反比例函数的概念，会求反比例函数解析式；

2.理解并掌握反比例函数图象与性质，能运用反比例函数图象与性质解决有关函数值比较大小问题；

3.在解决问题过程中，体会数形结合思想在解决函数问题中作用

教学重难点：

重点：反比例函数的图象性质与数形结合思想

    难点：反比例函数增减性的理解，

教学过程：

一、知识梳理

     1．反比例函数：一般地，如果两个变量x、y之间的关系可以表示成        (k为常数，k≠0）的形式（或y=kx^-1，k≠0），那么称y是x的反比例函数．

2．反比例函数的概念需注意以下几点：

(1)k为常数，k≠0；

     （2） 中分母x的指数为1；例如y= 就不是反比例函数；

      (3)自变量x的取值范围是x≠0的一切实数；

     （4）因变量y的取值范围是y≠0的一切实数．

3．反比例函数的图象和性质．

利用画函数图象的方法，可以画出反比例函数的图象，它的图象是双曲线，反比例函数y= 具有如下的性质（见下表）

      ①当k＞0时，函数的图象在第一、三象限，在每个象限内，曲线从左到右下降，也就是在每个象限内，y随x的增加而减小；

      ②当k＜0时，函数的图象在第二、四象限，在每个象限内，曲线从左到右上升，也就是在每个象限内，y随x的增加而增大．

4．画反比例函数的图象时要注意的问题：

（1）画反比例函数图象的方法是描点法；

（2）画反比例函数的图象要注意自变量的取值范围是x≠0，因此，不能把两个分支连接起来；

（3）由于在反比例函数中，x和y的值都不能为0，所以，画出的双曲线的两个分支要分别体现出无限的接近坐标轴，但永远不能达到x轴和y轴的变化趋势．

5. 反比例函数y=  (k≠0)中比例系数k的几何意义,即过双曲线y= (k≠0)上任意一点引x轴、y轴垂线,所得矩形面积为│k│。

6. 用待定系数法求反比例函数解析式时，可设解析式为                

二、观察思考、提炼方法

（活动一）

  问题：已知点A(-2,y₁),B(-1,y₂)都在反比例函数 的图象上,则y₁与y₂的大小关系(从大到小)为      . 当 -4≤x≤-1时，y的最大值与最小值分别是     、       .

 流程：学生小组合作交流后，说说分析过程．教师对学生的说理过程进行点评，并利用多媒体展示过程．

教师归纳函数值大小比较方法：

  1、代入求值法；2、图象性质法；3、图象观察法；4、特殊值法.

（设计意图）从基本问题出发，从具体数字到字母，从已知自变量变化范围比较函数值大小，从已知函数值大小范围比较自变量大小，层层深入，不断变式，让学生在具体情境中掌握学会函数值大小比较，学会从特殊到一般的研究方法，体会借助图象，利用数形结合思想解题作用．

变式1：已知点A(x₁,y₁),B(x₂,y₂)，C(x₃,y₃) 都在反比例函数 图象上，且x₁＜x₂＜0 ，x₃＞0,则y₁，y₂，y₃的大小关系(从大到小)为            　　 .

变式２：若点A(x₁,y₁),B(x₂,y₂)在函数 的图象上,则x₁, x₂满足        　时, y₁ ＞y₂.

（活动二）

   问题:如图,一次函数 图象经过反比例函数 上的点A(-1,4)和点B（2，-2）.

（1）求出一次函数、反比例函数解析式；

 

(2)观察图象直接写出方程组 的解  　　           ；

（3）观察图象直接写出y₁＜y₂时x的取值范围是　　             .

  流程：学生在独立完成后，请学生说出答案及解题思路.师生共同总结解题方法：

  关键：两个函数的交点坐标就是方程组的解.

 

 

（设计意图）设计利用图象法解方程组与不等式，让学生经历观察、发现、比较、抽象的过程，从而更好认识函数、方程、不等式三者间的联系，开阔学生的思维.

尝试练习：

（1）解不等式 ＞ ；

（2）方程          实数解的个数为(     )

A. 3个   B.  2个   C.  1个    D.  0个

（学生尝试练习，教师巡视指导）

三、课堂训练

1.函数 的图象与直线 没有交点，那么k的取值范围是（  ）

A．         B．        C．        D．

2. 已知（x₁, y₁）,（x₂,y₂）,（x₃, y₃）是反比例函数 的图象上的三个点,且x₁＜x₂＜0，x₃＞0,则y₁,y₂,y₃的大小关系是(    )

A. y₃＜y₁＜y₂    B. y₂＜y₁＜y₃    C. y₁＜y₂＜y₃   D. y₃＜y₂＜y₁

3. 已知反比例函数y= 的图象在第一、三象限，则对于一次函数y=kx—k．y的值随x值的增大而____________.

4. 反比例函数y= 的图象经过点 A（－2，3）

   ⑴求出这个反比例函数的解析式；

   ⑵经过点A的正比例函数y=k₁x的图象与反比例函数y= 的图象，还有其他交点吗？若有，求出坐标；若没有，说明理由

四：课堂小结

1. (1)这节课主要复习的内容、方法有哪些？

(2)你还有哪些收获？

2.分享收获

   两种性质： 增减性

              对称性

   三种应用： 比较大小问题

              方程、不等式

              函数问题

   四项注意： 自变量取值范围

              增减性前提

              图象与解析式一致性

              画草图不等于随意画

五、布置作业