这个问题，最好从普速时代开始回答。列车通过十字交叉的铁路枢纽，具体的来说分为三大类：

第一类是允许站外通过的，比如西安站->北京西站（普速，T232次），途经陇海线、京广线，但不通过郑州站。

第二类是允许站内通过的，比如西安站->广州站（普速，Z266次），途经陇海线、京广线，经停郑州站。

第三类是允许站内通过，但需要换向的，比如徐州站->武昌站（普速，Z167次），途经陇海线、京广线，经停郑州站，郑州站换向通过。

总结起来就是：要么从站外直接绕过去，要么从站内通过，要么在站内通过还要掉头。

具体怎么走，可以用一些枢纽站的具体布置图来解释。

下图是郑州枢纽普速部分的简化图：

https://pic2.zhimg.com/48ab1d79bff3d2e10b069a6f62f5fdbd_b.png
因为在郑州站北面有一条京广陇海联络线存在，所以北京-西安的车如果不想经停郑州的话，直接走这条线就可以绕开郑州（如T232次）。

西安-广州的车也可以无需换向就通过郑州站。

徐州-广州的车因为没有联络线，必须进入郑州站，然后换向开出，如果西安-北京方向的车想要在郑州站办理客运业务，也需要在郑州站换向。

郑州枢纽算是过去普速时代大部分枢纽站的一种常见布局，联络线较少或者没有联络线，部分方向的车需要换向，如：徐州站、石家庄站、衡水站等。

到了高铁时代，规划部门慢慢开始发现，原来的这种缺乏联络线的布局不利于车辆周转，尤其是换向这个动作，高铁如果换向，司机需要从车头走到车尾，时间很长。于是部分新建的枢纽站，开始有更复杂的联络线。

上饶枢纽就是一个稍微复杂点的例子（简图，不代表实际配线）：
https://pic3.zhimg.com/d642a0b00654bb70ebc2738eeed8918e_b.png
上饶站有两层站厅，合福场和沪昆场，都属于同一个车站。南昌往福州的车，直接绕联络线即可，无需换向，反之亦然。上海往福州的车，也可以走联络线，无需换向。

但上饶站仍然不算完美，因为上海-合肥这个方向仍然缺乏联络线，如果要开行这个方向的车，需要进上饶站合福场，换向通过。

那么目前有没有一个完全不需要换向，任何一个方向都有联络线联通的枢纽站呢？目前我没有找到。

根据规划图，可以看到有些车站有这种趋势或者部分符合，比如：

徐州东枢纽实际上允许郑徐高铁和京沪高铁不换向互通，但徐州东实际上是T字交叉不是十字交叉，所以不算符合。

武汉铁路枢纽内有一条环线，贯通武汉、武昌、汉口三大站，按说是具备任意方向换向的条件的，但目前没有车按照这种方式开行：
https://pic1.zhimg.com/332691b9393bbee3111edbc0a4bbdd70_b.png（图片来自wiki）

郑州枢纽也规划了类似的环线，目前还没有建成，具体用途还有待观察。

注：评论中有人提到长春、贵阳等地可以做到任意方向互通，我目前没有太准确的资料所以暂时无法考证。

按说能任意方向换向肯定是好事，但考虑到高铁速度快，曲线半径大，如果要设计联络线，线路的占地面积就会增加，涉及到更大面积的拆迁、征地问题（因为枢纽站联络线基本上还是在城市附近的）以及更大的施工成本，所以也不是所有枢纽站都会配置联络线。

更有甚者，两条线在同一个车站交汇，也不设置联络线，比如合肥南站内有京福场和沪汉蓉场，两条线完全不通，甚至连一个互联的道岔到没有，具体为何设计成这样的，就不是特别清楚了，因为决定一条线路的走向、联线不仅仅是铁路部门一家说的算的。

题主的最后一个问题，列车如何安全的跨线，这个无非就是等信号的问题，有联络线的等联络线信号走联络线。没联络线的，就在站内等着。比如郑州站（普速）内实际上只有京广铁路的正线（3-4道），陇海铁路在郑州站内没有正线，所以陇海方向的车可能停到任意一个位置（参见：客运火车站的各站台停靠车次有没有特别的规定和讲究？ - 北极的回答），所以就看调度的安排。切割正线的行为会干扰另一个方向的列车通过，所以高铁时代一般都尽量避免切割正线。

最后附上郑州铁路枢纽的布置图，不确定是否一定正确，图片来自网络：

https://pic1.zhimg.com/b90f18ffa51d488c10cdad619178ceb4_b.jpg