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Black-Scholes 模型中 d1，d2 是怎么得到的？并且如何理解 Black-Scholes 模型

(2014-02-06 17:05:53)

对于第一个问题，我们先来看看BS模型是怎么推导出来的。

推导BS模型对于数学的要求比较高，本文将略过较“数学化”的证明，仅写出这些内容的用法、结论和意义。

推导前应该知道的知识：

鞅(martingale)：在风险中性测度下，股票的折现价值为鞅。你只需知道 $E\left( e^{-(r-\delta )t}S_{T} \right) =S_{0}$ 对任意时刻都成立，r是利润率， δ是股票分红， $S_{t}$ 是股票在t时刻的价格。
随机微积分(Itō calculus)： $df(t,W(t))=\left( \frac{\partial f}{\partial t}+\frac{1}{2}\frac{\partial^2 f}{\partial W^2} \right) dt+\frac{\partial f}{\partial W}dW$ ，W(t)是布朗运动。（仅把它当做一种计算方式）

现在我们开始推导BS模型下的股票价格。
BS模型假设股票价格符合以下随机微分方程： $d S_{t}=\mu S_{t} dt+\sigma S_{t} dW_{t}$ .
由随机微积分，解出 $S_{t}=S_{0}e^{\left[ \left( \mu -\frac{\sigma ^2}{2} \right) t+\sigma W_{t} \right] }$ .（感兴趣的同学可以对其微分验证一下）
再由鞅的性质http://zhihu.com/equation?tex=/mu+=r-/delta+模型中 d1，d2 是怎么得到的？并且如何理解 Black-Scholes 模型" />.
所以，BS模型下股票的价格服从 $S_{t}=S_{0}e^{\left[ \left( r-\delta -\frac{\sigma ^2}{2} \right) t+\sigma W_{t} \right] }$ .

接下来就是推导期权价格了，本文将仅推导看涨期权(Call Opiton)，看跌期权类似。

在风险中性测度下，看涨期权的价格为 $E(e^{-rt}\times (S_{t}-K)_{+})$ ，其中 $(X)_{+}$ 在X>0时为X，其余为0.
$W_{t}\sim N(0,t)$ ,所以 $W_{t}=\sqrt{t} \times N(0,1)=\sqrt{t}\times x$ （这里写得在数学上不太严谨，不过直觉上理解没问题）

所以期权价格就是http://zhihu.com/equation?tex=/varphi+(x)模型中 d1，d2 是怎么得到的？并且如何理解 Black-Scholes 模型" />是标准正态分布。

接下来的事情有点复杂，我们整理一下思路。

首先，我们要去掉 $(X)_{+}$ ，想把它变为正常运算。
去掉后，我们要证明前半部分(含S)的项是 $e^{-\delta t}S\times N(d_{1})$ ，后半部分(含K)的项是 $-e^{-rt}K\times N(d_{2})$

只有t时刻股票价格高于K才不为0，所以积分区间可以转变为 $S_{0}e^{\left[ \left( r-\delta -\frac{\sigma ^2}{2} \right) t+\sigma \sqrt{t}x \right] }>K \Rightarrow x>\frac{ln(K/S_{0})-( r-\delta -\frac{\sigma ^2}{2})}{\sigma \sqrt{t} } =-d_{2}$ （d2出现了）
因此， $E(e^{-rt}\times (S_{t}-K)_{+})=\int_{-d2 }^{\infty } e^{-rt}\times(S_{0}e^{\left[ \left( r-\delta -\frac{\sigma ^2}{2} \right) t+\sigma \sqrt{t}x \right] }-K) \varphi (x)dx$ .
积分右半边就没有问题了， $\int_{-d2 }^{\infty } e^{-rt}-K \varphi (x)dx=-e^{-rt}K\times N(d_{2})$
至于左半边，我们用配方法，把对x的积分转变为对 $x-\sigma \sqrt{t}$ 的积分，就可以得到新的积分区间 $(-d_{2}-\sigma \sqrt{t} ,\infty )=(-d_{1},\infty)$ （d1出现了）
积分左半边也是相同的道理， $\int_{-d_2 }^{\infty } e^{-rt}\times S_{0}e^{\left[ \left( r-\delta -\frac{\sigma ^2}{2} \right) t+\sigma \sqrt{t}x \right] } \varphi (x)dx=\int_{-d_{1} }^{\infty } e^{-\delta t}S \varphi (x)dx=e^{-\delta t}S\times N(d_{1})$ .
于是我们就得到了BS公式： $C=e^{-\delta t}S\times N(d_{1})-e^{r t}K\times N(d_{2})$ .

对于第二个问题，我们思考d1和d2的意义。

N(d2)是在风险中性测度下，期权被执行的概率。
这点应该很容易理解，毕竟在上述积分推导中，当我们要求St>K时，我们就推出x>-d2。x是标准正态分布，所以St>K的可能性就是N(d2)

关键在于如何理解N(d1)。
在BS后续讨论中，我们讨论到一个重要希腊字母——△(delta).
$\Delta =\frac{\partial C}{\partial S} =N(d_1)$ .(对于没有分红的情况),△衡量了当股票价格有小变动时期权价格变化。
delta在后面有很重要的意义，但是我在此就不赘述了。

总的来说，d1描述期权对股价的敏感程度，d2描述期权最后被执行的可能性。
更深一步来说，N(d1)是在风险中性测度下，按股价加权得到的期权被执行的可能性，N(d2)是在风险中性条件下，（不按股价加权）得到的期权被执行的可能性。

— 完 —
本文作者：Zenjo Yao

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