数形结合思想教学案例

案例1：

分析：此题很难用小学算术的知识直接计算，因为它有无穷多个数相加，如果是有限个数相加，用等式的性质进行恒等变换可以计算。从题中数的特点来看，每一项的分子都是1，每一项的分母都是它前一项分母的2倍，或者说第几项的分母就是2的几次方，第n项就是2的n次方。联想到分数的计算可用几何直观图表示，那么现在可构造一个长度或者面积是1的线段或者正方形，不妨构造一个面积是1的正方形，如下图所示。先取它的一半作为二分之一，再取余下一半的一半作为四分之一，如此取下去……当取的次数非常大时，余下部分的面积已经非常小了，用极限的思想来看，当取的次数趋向于无穷大时，余下部分的面积趋向于0，因而，最后取的面积就是1。也就是说，上面算式的得数是1。

案例2：用两个一样的直角三角形和一个等腰直角三角形（腰等于前两个直角三角形的斜边），可以拼一个直角梯形，如下图。如果直角三角形的边长分别是3、4、c， 5、12、c，根据梯形的面积等于3个三角形的面积之和，比较每个直角三角形的两条直角边的平方的和，与斜边的平方之间的大小关系，你能发现什么？如果直角三角形的边长分别是a、b、c时，你又能发现什么？

分析：当直角三角形的边长分别是3、4、c时，梯形的面积是：

(3+4)×(3+4)÷2=24.5, 3个三角形的面积和是：3×4÷2×2+c²÷2=24.5，可得c²=25,即c²＝3²+4²。

当直角三角形的边长分别是5、12、c时，梯形的面积是：(5+12)×(5+12)÷2=144.5,

3个三角形的面积和是：5×12÷2×2+ c²÷2=144.5，

可得c²=169, 即c²＝5²+12²。

当直角三角形的边长分别是a、b、c时，也就是说直角三角形的三条边长可以取任意不同的值的时候，仍然有梯形的面积等于3个三角形的面积之和。

梯形的面积是：(a+b)×(a+b)÷2,

3个三角形的面积和是：a×b÷2×2+c²÷2=(2ab+c²)÷2。

(a+b)×(a+b)÷2

=[a(a+b)+b(a+b)]÷2

=(a²+b²+2ab)÷2

所以有(a²+b²+2ab)÷2 =(2ab+c²)÷2，可得a²+b² =c²。

根据以上计算结果，由此得出一个重大发现：直角三角形两条直角边的平方的和等于斜边的平方。实际上这是美国第20任总统茄菲尔德发现的证明勾股定理的方法。

这里有一个难点就是(a+b)×(a+b)的计算，这是中学的多项式乘法。在小学学习乘法分配律时已经会计算a(b+c)=ac+bc,那么计算(a+b)×(a+b)可以先把左边的(a+b)看作一个数，分别与右边括号中的a和b相乘，再进行计算。

(a+b)×(a+b)＝(a+b)a+(a+b)b=a²+ba+ab+b²= a²+b²+2ab

案例3：把两个形状和大小相同的长方体月饼盒包装成一包，

怎样包装最省包装纸？

分析：此题是小学数学比较典型的通过探索活动发现规律的题目，一般情况下教师会给学生足够的学具进行操作，拼出几种包装方法，再通过计算比较表面积的大小找到最佳答案。现在我们从代数思想出发，不用任何操作和具体数量的计算，一般性地，假设长方体的长、宽、高分别为a、b、c，并且a>b>c(只要给出三个数的大小顺序便可，谁大谁小并不影响用代数方法计算的过程和结论)。　　　

首先要明确的是，问题所求怎样包装最省包装纸，实际上就是求怎样拼才能使拼成的大长方体的表面积最小。每个长方体有6个面，两个长方体拼成一个大长方体后仍然有6个面，但这6个面的面积是原来长方体的10个面的面积，其中有两个面是原来长方体的面，另4个面分别是原来的相同的两个面拼成的；也就是说，大长方体的表面积已经不是原来两个长方体的12个面的面积直接相加的和了，而是它们的和再减去拼在一起的两个面的面积和。原来两个长方体的12个面的面积和是恒定不变的，因而大长方体的表面积的大小，取决于减去的（拼在一起的）两个面的面积和的大小，减去的两个面的面积和越大，大长方体的表面积就越小。根据已知条件可知，ab>ac>bc，所以把最大的两个侧面贴在一起包装最省包装纸。列成公式为：Ｓ＝4(ab+bc+ac)－2ab。