极限思想在循环小数中的应用

极限的概念是抽象的、辩证的，在教学中应注意下面的问题。

对有关极限的一些概念、教学要求和解题方法应准确把握。极限思想是用无限逼近的方式来研究数量的变化趋势的思想，这里要抓住两个关键语句：一个是变化的量是无穷多个，另一个是无限变化的量趋向于一个确定的常数，二者缺一不可。如自然数列是无限的，但是它趋向于无穷大，不趋向于一个确定的常数，因而自然数列没有极限。在教学中一方面要让学生体会无限，更重要的是通过具体案例让学生体会无限变化的量趋向于一个确定的常数。极限以及在此基础上定义的导数、定积分是解决用函数表达的现实问题的有力工具。有限与无限是辩证思维的一种体现，要辩证地看待二者的关系，不要用初等数学的“有限的”眼光看“无限的”问题，要用极限的思想看无限，极限方法是一种处理无限变化的量的变化趋势的有力工具。换句话说，当我们面对无限的问题时，就不要再用有限的观点来思考，要进入无限的状态，数学上就是这么一个规则和逻辑，我们按照这个规则和逻辑去做就可以了。

另外，对循环小数和无限不循环小数的理解和表示也体现了有限与无限的辩证关系。我们知道，在中学数学里一般用整数和分数来定义有理数，用无限不循环小数来定义无理数，有理数和无理数统称为实数。有理数包括整数、有限小数和循环小数。整数和有限小数化成分数是学生非常熟悉的，那么，循环小数怎样化成分数呢？我们以前曾经介绍过用方程的方法可以解决这一问题。下面我们再用极限的方法来解决。

案例：把循环小数0.999… 化成分数。

分析：0.999…是一个循环小数，也就是说，它的小数部分的位数有无限多个。对于小学生来说，能够接受的方法就是数形结合思想和极限思想的共同应用和渗透，通过构造一个直观的几何图形来描述极限思想。先看下面的数列

0.9, 0.09, 0.009, …

用数形结合的思想，把这个数列用线段构造如下：把一条长度是1的线段，先平均分成10份，取其中的9份；然后把剩下的1份再平均分成10份，取其中的9份…所有取走的线段的长度是

0.9＋0.09＋0.009＋…＝0.999…

如此无限地取下去，剩下的线段长度趋向于0,取走的长度趋向于1，根据极限思想，可得0.999…=1。

对于教师而言,光有极限思想的渗透是不够的，还需要进一步理解如何用极限方法来解决。这是一个无穷等比递缩数列的求和问题，根据公式可得0.9＋0.09＋0.009＋…＝0.9÷（1-0.1）=1

所以0.999…=1。

也许有的老师会认为：无限循环小数的位数是无限的，和永远达不到1，永远小于1。这是一种错误的观念，是因为用有限的观点来看待无限造成的；这样的问题在数学上应该用极限的方法来解决，这是一个无穷等比递缩数列求和的问题，前n项的和(当n趋向于无穷大时)的极限为1，所以上面数列的和是1。这时有的老师可能又会认为：极限是1，数列的和是1，就是一定能取完。这种观点也只说对了一半，也就是说用极限1来作为数列的和是对的，但是原因说的不十分准确，如上所述，极限的概念里没有说变化的量最后是否一定达到1，只需要当n足够大时，与1的距离要多小就有多少就足够了。通俗地说，在数轴上，你可以先任意取一个很小的正数ε，针对这个ε，只要找到一个正整数Ｎ，Ｎ＋1以后的每一项都会落在区间(1－ε,1＋ε)里，也许这里的每一项与1还有一点点距离，但是已经不重要了，已经不影响极限的数学游戏规则了，也就是不影响数列的和的取值了。

通过这个例子进一步说明：极限方法只关注一个无限的变化过程的确定趋势是什么，只要趋势确定并且符合极限的定义，那么这个无限变化的过程的结果就用极限来表示，它就是一个解决问题的方法而已，只要符合极限的规则和逻辑，就可以用极限来表示无限变化的过程的结果，它并不关心这个无限变化的过程何时能到达极限，它在本质上不同于有限个数的和。

极限思想在小学数学中有一定的应用，但只是渗透而已，并不让学生认识相关概念。所以要注意对教学要求的准确把握，不要增加学生的学习负担。