管理会计学【050】非线性关系下的本量利分析【1】

 

农业银行沈阳辽中支行   周桐   学习笔记

 

 

不完全线性关系只是线性关系“不完全”，可以将整个业务量范围划分为若干个区间，每个区间内收入、成本与业务量之间要么已是完全线性关系（即直线关系），要么比较接近完全线性关系。如果划分区间后，收入、成本和业务量之间不仅不是完全线性关系，甚至不能比较接近完全线性关系，或区间必须划分得非常细 ，在这种情况下，就不能采用划分区间的方法，而要采用曲线分析的方法。也就是首先用曲线方法来描述收入与成本，再据以建立利润方程，进而进行量本利分析。

当收入或成本随业务量的增长表现为一条直线时，其线性方程为y=bx或者y=a+bx；而当收入或成本随业务量的增长表现为沿曲线而不是直线散布时，就要应用非线性回归。非线性回归最常用的方程式是：

Y=a+bx+cx²

式中：y为收入或成本；x为业务量；a为常数；b和c为自变量系数。

1.非线性回归分析

就非线性关系的本量利分析而言，可以有以下三种情况：

第一，收入为直线而成本为曲线。比如，企业的产品在同类市场中占有率很低，其销售收入的改变不足以影响产品的市场价格，此时销售收入与销售量之间呈直线关系，而成本与产量之间可能呈非线性关系，那么就应该采用非线性方程来描述成本性态。

第二，成本为直线而收入是曲线。此种情况与上一种情况相反。比如，企业的产品在同类产品市场中市场中占有率很高，那么其销售数量的改变就可以对产品的市场价格产生影响，价格成为销售量的函数。销售收入了不再是直线而是曲线，应该采用非线性方程来描述收入。而对于产量规模较大的企业来说，产量的变化虽然可以对总成本产生一些“非线性”的影响，总成本线至少可以近似地看做直线。

第三，收入和成本都是曲线。当企业的状况介于上述两种情况之间，收入和成本就可能都是曲线，需要用不同的非线性方程来分别描述收入和成本，进而建立利润方程，并以此方程为基础进行本量利分析。

【例】设某企业为生产和销售单一产品的企业，其产量和成本的历史数据如下表所示：

月份	Y（成本 ，元）	X1(产,件）	X2=x12	X1y	X2y	X1X2	x12	X22
1	60	2	4	120	240	8	4	16
2	80	3	9	240	720	27	9	81
3	200	8	64	1 600	12 800	512	64	4 096
4	130	6	36	780	4 680	216	36	1 296
5	230	9	81	2 070	18 630	729	81	6 561
6	280	10	100	2 800	28 000	1 000	100	10 000
Σ	980	38	294	7 610	65 070	2 492	294	22 050

 

历史数据显示。企业的总成本与产量之间并非线性关系，了难以近似地描述为线性关系，所以应采用非线性方程赤描述成本性态。

设成本方程为：

Y=a+bx₁+cx₁²

令 X₂=x₁² ，以便将二次方程转化为一次方程，并采用多元线性回归的方法来确定回归系数，则有：

Y=a+bx₁+cx₂

根据多元回归分析可得：

Σy=na+bΣx₁+cΣx₂

    ΣX₁y=aΣX₁+bΣx₁²+cΣX₁X₂

    ΣX₂y=aΣX₂+bΣX₁X₂+cΣX₂²

将表中的有关数据代入联立方程，则有：

980=6a+38b+294c

7 610=38a+294b+2 492c

65 070=294a+2 492b+22 050c

可得：

a=57.11

b=-1.34

c=2.34

因此：

Y=57.11-1.34x₁+2.34x₂

 =57.11-1.34x₁+2.34x₁²

上式即为描述该企业成本性态的非线性方程。

必须说明的是，非线性回归分析采用的方程式，不仅限于一元二次方程，也可选择指数方程、对数方程、高次方程和简单的一元一次回归方程。至于哪一种方程式的描述更符合收入或成本的特征，则需要考虑它们的标准差和置信区间。

标准差也称均方差，是方差的平方根；而方差则用来表示变量与期望值之间离散程度的一个量。根据统计学的原理，在概率为正态颁布的情况下，随机变量出现在预期值±1个标准差范围内的概率为68.26%；出现在预期值±2个标准差范围内的概率为95.44%；出现在预期值±3个标准差范围内的概率为99.72%。这种“预期值±x个标准差”就是置信区间。通俗点说，置信区间就是指同样的依赖程度（即同样概率）下，预期值的取值范围到底有多大。显然，在给定自变量x（如产销量）的情况下，因变量y（成本或收入）的取值范围越小（即越肯定）越好。或者说，置信区间越窄，说明所选择的回归方程越适合既定条件下的收入或成本的描述。

根据一元二次方程计算标准差和置信区间。

月份	Y（成本，元）	X（产量，件）	y´(预期值）	y-y´	(y-y´)2
1	60	2	63.79	-3.79	14.36
2	80	3	74.15	5.85	34.22
3	200	8	196.15	3.85	14.82
4	130	6	133.31	-3.31	10.96
5	230	9	234.59	-4.59	21.07
6	280	10	277.71	2.29	5.24
Σ	980	38	979.70	0.30	100.67

    

    

假定计划年度预计产量为7件，则成本的预期值为：

y'=57.11-1.34x+2.34x²=57.11-1.34+2.34×7²=162.39元

在68.26%的置信水平下，成本预期值的置信区间为：

y=y’±4.10

Y₁=162.39+4.10=166.49元

Y₂=162.39-4.10=158.29元

也就是说，当产量为7件时，成本有68.26%的可能是在166.49~159.29元之间。

 

资料来源：

孙茂竹，支晓强，戴璐.管理会计学.北京：清华大学出版社.2018（8）:74-80.