证券投资基金【169】债券的久期和凸性

 

中国农业银行沈阳辽中支行  周桐  学习笔记 

 

 

 

利率变化是影响债券价格的主要因素之一。久期和凸性是衡量债券价格随利率变化特征的两个重要指标。

一、久期

债券的到期期限是最后归还本金的期限，没有反映附息债券在存续期内利息偿付的期限。例如，息票率为5%的10年期债券和年利率为5%的10年期零息债券，前者到期之前有多次付息，每次付息实质上就是该债券的一部分到期；后者的所有本息都是在到期时才支付，因此其所有现金流的期限都是10年。因此，债券到期时间并不能全面反映债券的期限特征。

为了全面反映债券现金流的期限特征，美国学者麦考利于1938年引入久期概念，将其定义为债券本息所有现金流的加权平均到期期间，即债券投资者收回其全部本金和利息的平均时间。

对于半年付息一次，且无内含选择权的固定利率债券，其价格计算公式为：

P＝C/(1+y)+C/(1+y)²+...+C/(1+y)ⁿ+M/(1+y)ⁿ     （公式1）

其中：P为债券价格；C为每次付息金额；ｙ为每个付息周期应计收益率（半年付息即为年化收益率的一半）；n为付息周期数（关年付息一次进为年数×2）；M为面值。

 

要确定收益率微波变化时债券价格变化，可以公式1基础上对收益率求一阶导数：

DP/Dy=(-1/(1+y)【1C/(1+y)+2C/(1+y)²+...+nC/(1+y)ⁿ+nM/(1+y)ⁿ】   （公式2）

公式2表示当收益率微波变化时，债券价格的变化。两边同时除以债券价格P，可以得到价格变动百分比：

DP/Dy．1/P=-1/(1+y)【1C/(1+y)+2C/(1+y)²+...+nC/(1+y)ⁿ+nM/(1+y)ⁿ】1/P

（公式3）

公式3中，方括号部分除以价格P，即为麦考利久期：

D_mac=【1C/(1+y)+2C/(1+y)²+...+nC/(1+y)ⁿ+nM/(1+y)ⁿ】1/P

  

由公式4可见，麦考利久期的计算过程是每次支付金额的现值占当前债务价格的比率，然后以此比例为权重，乘以每次支付的期限，得到每次支付的加权期限，再将每次加权期限汇总，即得到债券的久期。对于零息债券，其久期等于到期期限；对于附息债券，在债券到期之前的每一次付息都会缩短加权平均到期时间，因此付息时间的提前或付息金额的增加都会使债券的久期缩短。

公式3可以改写为：

DP/Dy．1/P=-1/(1+y)D_mac              （公式5）

麦考利久期除以（1+y)被定义为修正久期，即：

M_mod=D_mac/(1+y)            (公式6）

将公式6代入公式5可以得到：

Dp/p=-M_moddy          (公式7）

公式7表示，在给定收益率变化下，债券价格的价格百分比变化与修正久期变化方向相反。修正久期越大，由给定收益率变化所引起的价格变化越大。

案例1展示了麦考利久期和修正久期的计算过程。久期的计算是以付息周期为单位。案例中每半年付息一次，即每年两次，将久期转换为以年为单位，需要除以2.如果每季度付息一次，则除以4.

【案例1】麦考利久期和修正久期的计算

某3年期债券的面值为100元，票面利率为8%，每半年付息一次。现在市场收益率为10%。可以得到，每期付息4元，每期收益率y=10%/2=5%，共6期，每期半年。

期数，t	现金流，CF	贴现因子，1/(1+y)t	现金流现值，PVCF	t×PVCF
1	4	0.952381	3.809524	3.809524
2	4	0.907029	3.628118	7.256236
3	4	0.863838	3.455350	10.366051
4	4	0.822702	3.290810	13.163240
5	4	0.783526	3.134105	15.670523
6	104	0.746215	77.606401	465.638408
总计			94.924308	5.903981

 

D_mac（半年）=515.903981/94.924308=5.43

D_mac（年）=5.43/2=2.72

D_mod=2.72/1.05=2.59

在所有其他条件不变的情况下，到期期限越长，债券价格的波动性越大。对于附息债券而言，当其他条件不变时，票面利率越低，麦考利久期和修正久期就越大。其他条件不变时，久期越大，债券价格对利率敏感度越高，波动性越大。

【案例2】使用久期估算债券价格变化

息票率6%的3年期债券，每半年付息一次。当前市场价格为97.3357元，到期收益率为7%，麦考利久期为2.79年。假设债券的到期收益率忽然增加至7.1%，债券价格将如何变化？

D_mod=D_mac/(1+y)=2.79/(1+7%/2)=2.69

Dp/p=-d_moddy=-2.69×(7.1%-7%)=-0.269%

Dp=-pD_moddy=-97.3357×(-0.269)=-0.2621元。

即利率上升0.1%，债券的价格大约下降0.2621元。

资料来源： 

中国证券投资基金业协会.证券投资基金.北京：高等教育出版社.2018（3）：273-276.