第六讲 折纸中的数学

教学目标

⑴知识与技能：通过折纸活动，让学生感受到生活中数学的学问(倍增、倍减问题)，并形成运用所学知识解决实际问题的意识．

⑵过程与方法：让学生在操作实践中获得数学活动的经验，感受“观察、实验、猜想、验证和归纳”的学习方法，在具体问题中把握数学实质，培养数学素养．

⑶情感与态度：培养学生勤于实践，勇于发现，乐于创新的学习品质；体会数学的奇妙，享受成功的乐趣，引发学习的兴趣和培养思考的习惯．

⒉教学重点、难点

⑴教学重点：经历折纸活动，提高学生动手的能力、发现问题并提出问题的能力、分析问题和解决问题的能力、解释实际问题的能力．

⑵教学难点：从活动中提出数学猜想(经验公式)，并寻求验证猜想的方法．

二、教法和学法设计

⒈教法设计

以折纸问题为载体，实施“活动体验—活动发现—活动创新—活动收获”的教学模式，推进数学课堂教学方式的转变．

⒉学法设计

借助所学的知识和生活经验，独立思考或与他人合作，经历发现问题和提出问题、分析问题和解决问题的全过程，感悟数学各部分内容之间、数学与生活实际之间及其他学科的联系．

⒊教学具准备

长方形薄纸片3张/生，刻度尺/生，计算器/生，剪、刀.

三、程序设计

㈠活动体验——折一折：研究案例，引发问题

情境1. 对一张长方形纸片作适当的折叠，你有什么感受？有什么发现？

◆学生可能会提及：⑴与对称有关；⑵与垂直有关；⑶与平行有关；⑷与折痕数有关；⑸与纸片层数有关；⑹与纸片厚度有关；⑺与体积、面积有关…

【设计意图】感受不同方式的“折纸”过程，发现折纸中的学问 (揭示课题).

◆提出问题：怎样度量一张纸的厚度？

第一方法：直接测量(很困难)；

第二方法：间接测量（折叠）．

㈡活动发现——量一量：验证猜想，加深数感

⒈从实际操作来分析:

老师提问：⑴你为什么先折叠呢？（可以增加纸的厚度）

⑵为什么要增加纸的厚度呢？（太薄的纸无法测量）

⑶折叠得厚点好测量．请问你折叠了几次？（纸变为多少层？）

提醒折纸中应注意的问题：

①把纸按紧，尽量减少纸间的空隙；

②尽量多折叠几次，这样能得到较准确的结果．

老师总结：（板书：一张纸的厚度d= = ★“很小的数”）让学生拿出刻度尺去感受这个很小的厚度，这恰恰就是一张纸的厚度，如果用刻度尺直接测量，我们无法读出它的厚度．所以，同学们在生活中做任何事都要动脑筋．

⒉从理论假设来分析:

如果将纸片重复折叠40次，那么纸的厚度将会达到多少？

猜一猜(可以算得, 按每张纸的厚度为0.06mm计算,这个厚度相当于绕地球赤道大约1.65圈! (★“很大的数”,地球半径6.37×10³km).

●折纸有趣：可使我们得到现实中难以想像的“很小的数”和“很大的数”．

㈢活动创新⑴——拼一拼：化零为整，导出公式

⒈情境2. 请同学们先看老师操作：拿出一张纸片，设它的面积为1．

①对折纸片，沿折痕将其一分为二，两部分面积都等于 ，用 作为标签写在其中一块的中间，并把它扔在一边；

②在余下的纸片上重复上述操作，则被扔掉的第二块纸片上的标签为 ，余下的纸片面积为__________；（这里要引导学生用幂的形式去表示，便于发现规律）…

③当进行第n次操作后，扔掉的第n块纸片上的标签为______，余下的纸片面积为______；

请同学们仿照老师的方法操作．（学生操作时间：2分钟）

⒉思考下列问题：

⑴能否在某一次操作后，将纸片全部扔光？为什么？

◆第n次操作后余下纸片的面积为 ＞0.

 (尽管剩下的纸片越来越小,但总是存在的,请大家把它放到自己口袋里)

⑵①请同学们把扔掉的纸片按原图位置放回（重新拼图）；

（学生拼图2分钟，教师巡视）

②观察你所拼出的图形，你能发现什么？

（2分钟后，可以讨论，“写”在纸上）,

（对个别有困难的学生老师可以引导他们

注意“标签”，注意所拼成图形的“面积”）.

3名学生板演：经验公式1： =1- ．

(学生可能有不同的写法,但实质一样).

请其它同学解释其中一个式子成立的道理.

⒊如果我们把口袋里的纸片面积设为1,那么根据你所拼的图形,又能得到类似的结论?

经验公式2:  1+2+2²+2³+…+2^n-1=2^n-1+（2^n-1－1）=2ⁿ－1.

◆学生易犯错误:最后一次扔掉的面积为1,第一次扔掉的是2^n-1,而不是2ⁿ.纠错方法:观察刚才的图形,从第一次扔的面积 到最后剩下的 共n个数,而现在反过来,最后剩下的为1=2⁰,向前推n个数,当然是2^n-1.

◆经验公式2的另一种形式:  1+2+2²+2³+…+2ⁿ=2ⁿ⁺¹－1.

【设计意图】仔细体会折纸、拼图得到的收获,培养学生发现问题的能力和数学表达能力，并能利用拼图解释算式的正确性和实际意义.

㈣活动创新⑵——评一评：活学活用，巩固内化

模拟活动室：

情境3.

“清明忆先烈 白花寄哀思”

今年4月4日是国家法定节假日的第一个清明节，淮外七年级⑼班“翔宇”合作小组共14名同学手拿用白纸折叠成的小白花来到烈士陵园,寄托对先烈的哀思.在折叠小白花的过程中,爱动脑筋的小明提议进行如下分工.

①通过抽签的方法确定全组同学的编号依次为1,2,3,…,14；

04/04/2008  15:17

②编号为1的折1朵, 编号为2的折2朵,从编号为2的同学开始,每位同学折的朵数是前一位同学折的朵数的2倍.

⑴如果每折一朵小白花大约耗用1张9×9.8cm²的白纸，那么该小组大约需要像我们手中的白纸共多少张？（不考虑其他因素）

⑵请你对这一方案作分析和评价.

㈤活动收获——说一说：盘点收获，多元评价

收获、疑惑、评价．

四、检测设计

你可以对一张长方形纸片作不同方式的折叠,分析折痕的条数，其中蕴含着哪些学问?

回叶兄的话：

课堂设计定有许多不足，还请各位仁兄多帮扶！

从整体设计来说，本着“在动中想，在想中动”的意图。

⑴折纸。这个活动旨在让学生“热身”，折纸的方式不定（未必是对折），折出的东西也不定（可以是鸟，飞机等），让学生感受折纸能得到一些东西（如对称、平行、折痕、层数、面积等等）。

⑵量纸。从操作中引发问题，让学生自主寻求解决问题的方法（多角度），从中感受“非常小的数”和“非常大的数”——折叠有趣。

⑶撕纸。从操作引向本章（幂的运算）的数学内涵，理解（1/2）＾n是恒正的，用幂描述每一张被扔掉的纸片的面积，让学生感受到数学知识（幂）就在我们的周围——折叠有用。

⑷拼纸。逆向操作，让学生养成良好的学习习惯和操作习惯，更重要的是，让学生在感性认识中自觉地进行理性思考，形成一定的数学素养。经验公式1的得到可以用多种方式解释（拼图），当然还可以多种方式推导（下午贾芸芸老师有所介绍）。

⑸变式活动。设第n次扔掉的纸片面积为1（或设最后剩下的纸片的面积为1），让学生按“原路返回”，通过自主探索和合作交流，学生会逐步完善自己的思考，得到经验公式2。

⑹活学活用，巩固提升。通过折“小白花”的模拟活动，让学生用所学数学知识解释生活中方案制定须具合理性和现实性，从而巩固理解折纸所得到的学问。

⑺“快乐课间”中“折痕的学问”旨在引发思考，让学生明白折纸中的学问远不囿于本节内容，深奥得很；把学生的思维由课内引向课外，为学生的思维发展拓阔更广的平台。