论机械波的波动方程

广东省博罗县博罗高级中学  林海兵

摘要：经典的机械波方程不能很好反映波动的各物理量；波动中各个质点的机械能并不守恒。机械波与电磁波相似，波的传播过程中，有两个矢量相互激发产生，在媒质中传播，而且机械波的波动方程组与电磁波的麦克斯韦方程组相似。

关键词：机械波，能量守恒，机械波矢量，波动方程

　　1  经典的振动与波动理论

机械波的振源振子在其平衡位置附近不断地振动，由于物质分子之间的作用力，振源振子总是受到其周围分子的阻力的作用，然而对于振源振子周围的分子而言，它们则受到振源振子对其的动力的作用，在这种相互作用下，于是振源振子周围的分子则不断地重复了振源振子的振动，振源振子的能量不断减少，而它周围的物质分子的能量则不断增加；这时，这些能量增加了的分子则又相当于振动的振源，以同样方式把振动这种运动方式和能量向离振源振子较远的物质分子传递。于是，机械波形成了。但如果不及时给振源振子补充其向其他分子传递而损失的能量，振源将很快停止振动，机械波动则因此中止。所以，想要得到连续不断的机械波，必须不断地及时地向振源振子补充能量，使其不断地产生振动。

在波的传播过程中，人们看到，波动中各质点相对于平衡位置的位移不断随时间变化，而且在同一时刻，不同质点相对于平衡位置的位移也不相同，通过归纳总结，得到描述波动的方程

http://s7/mw690/0045qdhTgy6I5PBci3Af6&690 　　…………………………………………………………（１）

其中Ａ是质点的振幅， http://s16/mw690/0045qdhTgy6I5PAOJ5Raf&690 是波动传播的速度。

笔者认为，要全面的描述波动，必须把波动的方方面面都描述出来，比如：媒质中各质点不同时刻的运动速度，各质点的形变情况，各质点能量，波的传播方向等。再进一层，也就是说我们能不能找出一个类似于麦克斯韦电磁方程组，来描述机械波动呢？

2         机械媒质体元的剪切形变

http://s9/mw690/0045qdhTgy6I5PAVVj2d8&690 为了能够更好理解机械波的传播，我们不妨先对其传播过程进行微观分析。在此，笔者先取横波作为分析的对象，至于纵波，再另文讨论。

在图１中，取媒质中的一小体元http://s3/mw690/0045qdhTgy6I5PAVWBI62&690 没有受到振源的动力的作用，在其平衡位置上保持静止状态，且没有发生形变，其形状仍是长方体。

设某一时刻，小体元http://s3/mw690/0045qdhTgy6I5PAVWBI62&690 受到的切应力为：

http://s14/mw690/0045qdhTgy6I5PAW2QZ2d&690

http://s15/mw690/0045qdhTgy6I5PB2Rfoae&690 　………………………………（２）

假设机械波向着 x 轴正方向传播，各质点在 y 轴方向上振动，根据经典波动分析，某小体元的切应变为：

http://s14/mw690/0045qdhTgy6I5PB3Bjn5d&690  ……………………………………（3）

根据剪切形变的虎克定律有：

http://s16/mw690/0045qdhTgy6I5PB3Mf57f&690 　…………………………………（４）

（４）式中， http://s12/mw690/0045qdhTgy6I5PB8JtNdb&690 是剪切弹性模量。

小体元http://s3/mw690/0045qdhTgy6I5PAVWBI62&690 做负功，把它的能量向右传递给右边的媒质，使右方的媒质同样重复振源的振动。

在剪应力的作用下，小体元 http://s3/mw690/0045qdhTgy6I5PAVWBI62&690 发生切应变，因此具有切应变势能，其势能体密度为：

http://s10/mw690/0045qdhTgy6I5PB9axX49&690 　……………………………………（５）

3         机械波中各质点（小体元）的动能与切应变势能

3.1  波动质点的运动与简谐振动质点的运动的区别

由于空间媒质各质点均不断重复振源的振动，机械波在媒质中形成并传播，空间媒质形成了如图３所示的波形图。此时，各质点均在自己的平衡位置附近不断地振动着，似乎与简谐振动没有什么两样。实际上，波动中各质点的振动与简谐振动中的质点的振动具有本质的区别。

区别之一是，简谐振动中的质点的能量是一成不变的，既没有能量的输入也没有能量的输出；波动中的质点的能量却不是如此，它一方面要不断地从振源吸收能量另一方面又要不断向外输出能量。

区别之二是，简谐振动的质点不受除了保守力之外的其他力的作用；波动的质点一方面在能量输入端受到源振点的动力的作用，另一方面在能量的输出端又要受其他质点的阻力的作用。

区别之三是，简谐振动的质点振动的势能是指保守力势场产生的势能，由于它受力相当简单，可能只受一个弹力的作用，所以质点形变相当小，所以，其形变势能微乎其微；波动的质点因为在能量输入与输出两端分别受大小相等方向相反的力的作用，所以，质点的形变势能相当大。

区别之四是，简谐振动的质点的振动自由振动，其频率等于振子系统的固有频率；波动质点的振动是受迫振动，其振动频率等于振源策动力的频率，与质点媒质的固有频率无关。

鉴于上述区别，在研究时，我们不能简单地把波动的质点当成是简谐振动的质点，更不可认为波动的质点在波动过程中其机械能是守恒的。

http://s4/mw690/0045qdhTgy6I5PBaQNla3&690

3.2  振动的小体元的剪应变势能密度

为了排除波动过程中重力势能的影响，我们可以把上述的简谐横波的质点的振动方向看成是在水平方向而不是竖直方向的。在这种情况下，波动过程中，质点的势能则只有形变势能了，这时，质点的形变势能是不是与其动能在相互地转化着，在转化过程中是不是守恒呢？

我们取图３波动图像中的Ａ、Ｂ、Ｃ三个小体元进行研究。把Ａ、Ｂ、Ｃ三个小体元的形变情况放大，如图４所示。我们可以明显看到，Ａ体元在波峰上，它没有受到剪应力的作用，基本上没有发生形变，剪应变为应变势能为零；Ｂ体元在平衡位置上，它受到的剪应力最大，形变最大，剪应变最大，应变势能最大；Ｃ体元在比较靠近波谷，它受到的剪应力较小，形变也较小，剪应变也较小，应变势能也较小。事实上，我们通过分析，可以得更一般的结论：越靠近波峰（谷），剪应变越小，应变势能越小；越靠近平衡位置，剪应变越大，应变势能越大。其应变势能密度大小可由（5）式给出。

http://s11/mw690/0045qdhTgy6I5PBaMmS2a&690

3.3  剪应变小体元的动能密度

势能有上述的关系，那么各质点的动能又是如何？把经典的波动方程 http://s9/mw690/0045qdhTgy6I5PBfPQY58&690 求导，可以得出空间某位置x 处的质点的振动速度：

http://s6/mw690/0045qdhTgy6I5PBCGlDe5&690

如果小体元质量为http://s6/mw690/0045qdhTgy6I5PBhdtz05&690 ，那么可以求得小体元的动能为

http://s4/mw690/0045qdhTgy6I5PBhqKv53&690

此时，小体元的动能体密度为

 http://s7/mw690/0045qdhTgy6I5PBj9Bkc6&690…………………………………………………………（6）

上式中，http://s3/mw690/0045qdhTgy6I5PAVWBI62&690 是小体元的体积，  是媒质的密度。

由（6）式可见，对于同一位置处的小体元的动能，决定于其运动速度的大小，当小体元运动到平衡位置时，有最大动能；当小体元运动到波峰波谷时，其动能为零。

3.4  波动中小体元总的能量密度

在波动中同一处的小体元，其总的能量密度等于其剪应变势能密度与动能密度之和：

http://s13/mw690/0045qdhTgy6I5PBn3763c&690………………………………………………（7）

由上式可知，由于无论是剪应变势能密度还是动能密度，都是在平衡位置具有最大值，在波峰波谷具有最小值，所以波动中小体元总的能量密度在平衡位置具有最大值，在波峰波谷有最小值——零。也就是说，在波动的过程中，同一小体元的能量在不同时刻是不相同的，其势能与动能同时达到最大值，也同时达到最小值，根本不存在动能和势能相互转化的机理和可能，所以，在机械波动过程中，媒质中各质点的机械能是不守恒的。

4  建立机械波动方程组

4.1  构建机械波波动矢量

在机械波的形成与传播过程中，存在一个矢量，该矢量就是振源或者是波动的任一质点的速度http://s14/mw690/0045qdhTgy6I5PBpOLrad&690 相当。

注意到电磁感应中无论是由库仑电场变化产生感应磁场还是由磁场变化产生感应电场的过程中，它们总是同时产生了相位相同的感应电场和感应磁场。所以我们这里需构建两个矢量http://s15/mw690/0045qdhTgy6I5PBtUoC1e&690 就是机械波质点波动时的振动反抗振源矢量，它与由振源的某种变化同时激发产生，所以，笔者在此假设：

http://s13/mw690/0045qdhTgy6I5PBu3fu0c&690矢量是媒质质点受振源振子的牵引作用而产生剪切形变的剪应变矢量。

这两个矢量的方向用类楞次定律及左手螺旋法判定： 如图5所示，当波动产生时，媒质中各质点的速度矢量http://s13/mw690/0045qdhTgy6I5PBu3fu0c&690的方向。

http://s13/mw690/0045qdhTgy6I5PBvUNm0c&690

从上述对反抗振源矢量的定义我们可以看出，反抗振源矢量 http://s15/mw690/0045qdhTgy6I5PBtUoC1e&690 的产生笔者将另文论述。

4.2  机械波动方程组

类似于电磁波的产生机制，笔者在此继续假设，反抗振源矢量http://s13/mw690/0045qdhTgy6I5PBu3fu0c&690 在机械波的形成和传播过程中不断地相互激发，其方程为

http://s12/mw690/0045qdhTgy6I5PBwrd9cb&690    …………………………………………………………（8）

http://s12/mw690/0045qdhTgy6I5PBzOYj7b&690  …………………………………………………………（9）

http://s4/mw690/0045qdhTgy6I5PBA4Arf3&690   ……………………………………………………………（10）

http://s11/mw690/0045qdhTgy6I5PBAnAm3a&690  ………………………………………………………（11）

上述四式就是机械波动方程组。

4.3  机械波动方程组建立的可能性讨论

笔者建立了上述的（8）至（11）式的机械波动方程组，它们的建立是否存在可能性呢？下面笔者就这个问题进行讨论。

首先，我们还是回到用（1）式描述的波动方程：

http://s7/mw690/0045qdhTgy6I5PBci3Af6&690

因此，媒质质点的运动速度及其剪应变为

http://s6/mw690/0045qdhTgy6I5PBCGlDe5&690    ………………………………………（12）

http://s16/mw690/0045qdhTgy6I5PBDdoP2f&690

所以有

     http://s14/mw690/0045qdhTgy6I5PBGyHHfd&690……………………………………（13）

    http://s3/mw690/0045qdhTgy6I5PBGWEa82&690………………………………………（14）

   http://s12/mw690/0045qdhTgy6I5PBH2n97b&690…………………………………………（15）

   http://s3/mw690/0045qdhTgy6I5PBJ91832&690…………………………………………（16）

比较（13）（16）两式有

http://s10/mw690/0045qdhTgy6I5PBJV3369&690     

由经典机械波理论可知，机械波的传播速度http://s8/mw690/0045qdhTgy6I5PBMi5F57&690，所以有

http://s1/mw690/0045qdhTgy6I5PBNroI10&690         ……………………………………………………（17）

比较（14）（15）两式有

http://s14/mw690/0045qdhTgy6I5PBNALzbd&690       …………………………………………………………（18）

很明显，（17）（18）两式就是机械波动方程组（9）（11）两式的标量式，这已说明，机械波中各个体元的振动速度与其剪切形变确实可以相互激发产生。所以，机械波波动方程组的建立是有理论基础的。

5         机械波的能量与能流密度矢量

http://s11/mw690/0045qdhTgy6I5PBQp183a&690

   http://s3/mw690/0045qdhTgy6I5PFePWG02&690

http://s8/mw690/0045qdhTgy6I5PFeNBtd7&690

    http://s6/mw690/0045qdhTgy6I5PFeM2F65&690

    http://s4/mw690/0045qdhTgy6I5PFeLRha3&690

    http://s10/mw690/0045qdhTgy6I5PFlvT399&690

令http://s12/mw690/0045qdhTgy6I5PFmdKP4b&690

再利用矢量场论的高斯定理，将上式化为面积分得到

http://s6/mw690/0045qdhTgy6I5PFmpZbf5&690………………………………………（19）

令 http://s7/mw690/0045qdhTgy6I5PFmvYid6&690……………………………………………………（20）

矢量http://s3/mw690/0045qdhTgy6I5PFmyPMd2&690称之为机械波的能流密度矢量。则（19）式变为：

http://s2/mw690/0045qdhTgy6I5PFsbXX41&690  ………………………………………………（21）

由于我们这里讨论的是完全弹性的机械波，所以，在媒质的振动与传播过程中没有能量的损耗。如果http://s3/mw690/0045qdhTgy6I5PAVWBI62&690内有振动波源，那么，能流都从 内流出，所以；如果http://s3/mw690/0045qdhTgy6I5PAVWBI62&690内没有振动波源，那么，输入该体积的能量必定等于输出该体积的能量，即有。如果不是完全弹性的机械波，应该对波动方程重新讨论并在讨论过程加与考虑阻尼损耗的影响。

机械波能流密度矢量http://s3/mw690/0045qdhTgy6I5PFmyPMd2&690总是沿着机械波的传播方向，能量总是向前传播的。

由上面讨论我们可知，机械波能量密度为：

http://s4/mw690/0045qdhTgy6I5PFtGCf73&690 ，而

http://s7/mw690/0045qdhTgy6I5PFyE4K26&690

http://s5/mw690/0045qdhTgy6I5PFzALW84&690，所以有：

 

 http://s1/mw690/0045qdhTgy6I5PFApdmf0&690……………………………（22）

由上式我们可以看出，机波的能量主要是沿平衡位置的媒质进行传播的，其他振动的质点的能量与距离平衡位置的位移大小有关，位移越大，能量越小，而且相对于平衡位置的质点能量而言基本可以忽略。所以，在机械波的传播过程中，其能量是一份一份地到达目的地的。

 

完稿于2003年12月29日

                                                 修改于2004年3月2日星期二

                                                 修改于2004年3月5日星期五

                                                修改于2004年7月26日星期一

                                                修改于2004年8月16日星期一

6 参考文献

[1]赵凯华、陈熙谋编《电磁学》第二版1985.6(2000重印)   高等教育出版社