【问答55】为什么形式系统能适用于现实世界

作者：@中科大胡不归

知乎上有人问（https://www.zhihu.com/question/34369960）：

为什么形式系统能适用于现实世界？

我的回答（https://www.zhihu.com/question/34369960/answer/89534681）：

谢邀。有趣的问题。

我觉得，关键在于换个角度去想：发生什么事，才会使你认为形式系统不适用于现实世界？仔细想想，答案是不存在这样的事。例如你看到1个苹果和1个苹果放在一起变成了3个苹果，你会认为1加1等于3吗？不会的，你会认为你看花眼了，或者有人在变魔术（还是一种障眼法），或者这两个苹果发生了某种特殊的反应。

无论发生任何事情，都不会使你得出1加1等于3的结论。因为一旦承认了1加1等于3，你的逻辑推理就完全乱套了，任何荒诞不经的结论都可以推出来。从一个错误的前提出发，可以推出任何命题。所以相比之下，你宁可为眼前的“1个苹果和1个苹果放在一起变成3个苹果”找各种经验性质的理由。

我回答过与这个问题密切相关的一个问题：数学的本质是什么？ - 袁岚峰的回答（https://www.zhihu.com/question/19925292/answer/79613918）。

从科学工作者的立场看来，数学最明显的本质，就是它是一种先验的真理体系，不是经验科学。物理、化学、生物等科学门类，正确性是由实验来判定的，公认多年的“真理”被进一步的实验证伪是经常发生的事，如牛顿力学被相对论与量子力学否定。数学却跟实验没有关系，你不可能通过数一数，看1个苹果加1个苹果是不是等于2个苹果，来判断1 1是否等于2。

如果你真的数出1个苹果加1个苹果等于3个苹果，人们的结论只会是你数错了，而不是1 1等于3。如果你说1个原子核加另一个原子核会合并成1个原子核，那并不是1 1等于1，而是这里发生了核反应，不同于数学意义上的加法。这是因为当我们做逻辑推理时，必须有一些在逻辑上位于经验事实之前的、可靠性确定无疑的概念和命题作为基础，数学就属于这样的基础。那为什么教儿童算术的时候，会给他们看1个苹果加1个苹果等于2个苹果、1个桔子加1个桔子等于2个桔子？回答是，那不是证明，只是演示，演示的目的是让儿童头脑中产生数的概念。当他们认识到数的概念后，很快就会理解这个概念是独立于苹果、桔子这些具体事物的，无论谈的是苹果、桔子这样实际存在的事物还是神仙、妖怪这样虚构的事物，1 1等于2都同样成立。用庄子的话，这叫做“得鱼忘筌”。这是心理学、教育学的问题，而不是数学、逻辑学的问题。

数学只认公理体系、演绎法，而经验科学的根基是归纳法。为什么会这样？罗素等人认为数学是逻辑学，希尔伯特等人认为数学是形式系统，布劳威尔等人认为数学是心灵的直觉，哥德尔不完备性定理又表明数学比大家理解得还要复杂得多。要追根究底，数学的本质仍然是个悬而未决的问题，但在实用的意义上，对大多数科学工作者和公众而言，“先验的真理体系”这个事实陈述已经足够。

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