【问答53】为何微积分具有如此的优越性？

作者：@中科大胡不归

知乎上有人问（https://www.zhihu.com/question/40285961）：

为何微积分具有如此的优越性？

题主在看数学分析时，突然想到：为什么发明微积分之前众多问题难以解决，发明微积分之后便迎刃而解？使微积分具有如此杀伤力的原因究竟是什么？如果找到了这样的原因，岂不是能按图索骥，发明更多高效的数学工具或开创新的数学分支？为什么我从没看过这样的文章？(或者我看书少？-_-)

我的回答（https://www.zhihu.com/question/40285961/answer/89265195）：

谢邀。

极限的思想在欧几里得的《几何原本》里就有了，叫做“穷竭法”，一般认为这是欧几里得之前的伟大数学家欧多克索斯发明的。参见我的《古今数学思想》读书笔记（11）（http://weibo.com/p/1001603871341358270140）。

穷竭法的理论基础是《几何原本》第10篇的第一个命题：“对于两个不相等的量，若从较大量减去一个比它的一半还要大的量，再从所余量减去大于其半的量，并继续重复执行这一步骤，就能使所余的一个量小于原来那个较小的量。”现在看来，这个命题的实质就是极限定义中的ε-N语言，怪不得是精确的，洞察力令人叹服。柯西和维尔斯特拉斯寻找极限定义时，也许就曾从中吸取智慧。

莫里斯·克莱因在《古今数学思想》里对穷竭法非常推崇：“这方法是严格的，它不含明确的极限步骤。它依赖于间接证法，这样就避免了用极限。实际上欧几里得在面积和体积方面的工作比牛顿和莱布尼茨在这方面的工作严密可靠，因后者试图建立代数方法和数系并且想用极限概念。”刘徽和祖冲之也称得上伟大的数学家了，他们的割圆术也用到了极限的思想，但基本还是一种直觉，严密性远远不如穷竭法。

《几何原本》的第12、13篇研究面积和体积，主要方法就是穷竭法。究竟是怎么用的呢？《几何原本》第12篇的命题1是：“圆内接相似多边形之比等于圆直径平方之比。”很容易证明。命题2是关键：“圆与圆之比等于其直径平方之比。”

欧几里得证明的主要精神是，先证明圆可被内接正多边形“穷竭”。从内接正方形开始，它的面积大于圆面积的一半。然后作内接正八边形，可以证明其面积与圆面积的差别小于圆面积与正方形面积之差的一半。如此重复，内接2^(n 1)边形的面积与圆面积之差总是小于圆面积与内接2^n边形面积之差的一半，每一步都把内接多边形与圆的面积差缩小一半以上。根据第十篇命题1，圆和某一边数足够多的正多边形面积之差可以弄得比任何给定的量还要小。

现设S和S'是两圆面积，d和dˊ是其直径。欧几里得要证S : S' = d^2 : d'^2。假设这等式不成立，而有S : S˝ = d^2 : d'^2，其中S˝是大于或小于S'的某一面积。今设S˝ < S'。我们在S'里作边数愈来愈多的正多边形，直到一个P'，使它和S'的面积差小于S' - S˝。于是有S' > P' > S˝。在S中作相似于P'的内接多边形P。据命题1，有P : P' = d^2 : d'^2。但根据前设S : S˝ = d^2 : d'^2，所以P : P' = S : S˝，或P : S = :P' : S˝。但因P < S，于是P' < S˝，这与S' > P' > S˝矛盾。同样可证S˝ > S'也不能成立，因此S˝ = S'，证毕。

然后欧几里得用穷竭法证明下面这些重要而难证的定理：

“命题5、底为三角形而高相等的棱锥之比等于其底之比。”

“命题10、任一[正]圆锥是与其同底等高圆柱的三分之一。”

“命题11、同高的圆锥[与圆锥]以及同高的圆柱[与圆柱]之比等于其底之比。”

“命题12、相似的圆锥之间以及圆柱之间的比，等于其底直径的三次比[立方之比]。”

“命题18、球之比等于其直径的三次比。”

后来阿基米德把穷竭法用得更加出神入化，解出了抛物线弓形的面积、螺线第一圈与初始线所围的面积等困难的问题。参见我的《古今数学思想》读书笔记（15）（http://weibo.com/p/1001603872075801872400）。这些更是中国古代数学家们想象不到的了，因为中国古代研究过的曲线基本只有圆，完全没考虑过圆锥曲线、螺线。

但是穷竭法到阿基米德这里就看出问题来了。求螺线下面积时，他选取的是越来越小的扇形，而不是用越来越多的直边形来穷竭。可见穷竭法是一种非常需要技巧的方法，阿基米德的神奇之处就在于针对每个问题设计巧妙的穷竭途径。那么遇到更复杂的问题怎么办？

微积分的强大，就在于把这些令人绞尽脑汁的技巧抹平了。你一下子获得了通用的办法，因为你发现，真正重要的是穷竭的思想，而穷竭的途径呢，随便用什么图形都可以，结果都一样。从此以后，天才的设计让位于傻瓜的算法，人们可以节约大量的脑力、时间来处理更深入的问题了。

这给我们的启示是，如果你发现有一类问题可以解，但需要非常繁琐的技巧，那么很可能你已经触及了这类问题的本质，但尚未明确地理解本质。一旦你把本质提炼出来，结果就是思维和工具的极大简化。

正如希尔伯特所说：“数学中每一步真正的进展都与更有力的工具和更简单的方法的发现密切联系着，这些工具和方法同时会有助于已有的理论并把陈旧的、复杂的东西抛到一边。数学科学发展的这种特点是根深蒂固的。”

下面的评论：

金逸鸾

我想问个问题，刘歆的割圆术解题方法是否够格说明是中国的古代极限积分思想？

袁岚峰（作者） 回复 金逸鸾

刘徽的割圆术当然是中国古代的极限积分思想，这点应该是公认的。不知你此问何来？只是有人把刘徽称为全世界最早产生极限思想的人，公然无视《几何原本》里的穷竭法，就贻笑大方了。

云非烟 回复 金逸鸾

天朝的数学向来谈不上严密二字。

ae ae 回复 云非烟

你这句话也是值得商榷的，隋唐时中国数学已经进入论证数学时代了，只是后来断了。

袁岚峰（作者） 回复 ae ae

唐朝的数学水平比三国、南北朝时下降了。唐初李淳风（没错，跟袁天罡搭档的李淳风，《推背图》的作者）等人奉旨注释《九章算术》，大部分地方只是重复刘徽的注释。这倒罢了，最奇怪的是他们很多地方还指责刘徽说的不对，可是每次都是刘徽对，他们错！这说明李淳风等人连完全看懂刘徽注的能力都没有。

不过在宋朝、元朝时中国数学小小地爆发了一下，出现了贾宪、秦九韶、李冶、朱世杰等伟大的数学家，在当时算得上世界一流。可是到明朝又大倒退，高深的数学基本全部失传。此后就没的说了，西学东渐后发现自己弱爆了。

渣渣的情怀

非常认同最后的观点，解决问题最重要的是要了解到最终的本质，才能发现最便捷的解决途径

刘明

最后一段黑体字颇有蓦然回首灯火阑珊的感觉啊

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