【问答46】已知原函数，为什么还需要近似展开？

作者：@中科大胡不归

知乎上有人问（https://www.zhihu.com/question/40499126）：

在有原函数表达式的情况下，为什么需要用微分求得近似函数？

是这样的，微分是对复杂的函数求其导函数，比如近似一次，近似二次，直到可以泰勒展开

人们说这么逼近和近似的目的在于用简单的方式处理那些函数~~

可是我这里有一个疑问了，想要微分，肯定是需要知道原函数的表达式的，那既然都知道了，为什么还要用个近似/逼近的函数？

如果只是为了简化，可是泰勒展开那计算的复杂程度，也不亚于原函数的复杂啊~~

我的回答（https://www.zhihu.com/question/40499126/answer/86862316）：

谢邀。

这个问题在纯数学中可能会感到困惑，在自然科学中就容易理解了。

数学课本里的例子都是初等函数，让你产生了错觉，以为需要你研究的总是这么简单明确。实际在自然科学里这样的好事是少数，许多时候我们只能把待研究的量写成个看似精确实则什么性质都看不清的形式，例如一个积分。这时你可以计算它的一阶导数、二阶导数，写成泰勒级数，对它的性质就获得了很多了解。举个例子，固体物理学里金属中电子的化学势随温度的变化，就是这样近似算出来的。这时你会由衷地感谢泰勒等数学家，没有级数展开简直寸步难行。

cosx的泰勒多项式逼近cosx的过程

下面的评论：

一氧化二氢货 回复 司马锦（提问者）：

简单的例子吧，F(x) = C{-inf, x}[exp(-x^2) dx]，C{-inf, x}表示从负无穷到x的积分……那么这个F(x)是没有初等函数表示的（你可以试下），所以你要得到F在某点处的值是很困难的；然而F(x)的泰勒展开非常简单对吧？一阶导就是exp(-x^2)，二阶导也不难求……

“Yuhang Liu”的回答：

谢邀。

知道原函数的表达式就能求出原函数的值了吗？不用微积分的方法你怎么逼近sinx在任意一个点x的取值？连函数怎么取值都不知道，你怎么敢说你“知道”这个函数？

有了微积分，有了泰勒公式，你就可以把sinx做幂级数展开，对任意一个固定的点x,你就可以编个两行代码，用循环语句无脑迭代反复运算，要多精确就有多精确。

当然数学家大部分时候是不需要知道具体的函数的（近似）值的。我们需要研究函数的整体或者局部的性质，这个时候用简单的函数，比如多项式，比如三角函数（傅立叶级数）来代替原函数，我们就能近似观察函数的表现。比如数分上几乎所有的函数极限题，求解方法本质上就是用多项式近似代替原函数，然后多项式的极限怎么算你是知道的，所以原来的函数极限怎么算你也就知道了。

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