【问答41】为什么人类想象不出四维的空间？

作者：@中科大胡不归

知乎上有人问（https://www.zhihu.com/question/40217873）：

为什么人类想象不出四维的空间？

很想知道高维空间是怎样的

物理学认为高维坍缩成小尺度了 是什么意思 理解不了？

还有就是二元方程用平面 三元方程可以用立体

多元方程怎么用几何表示？

有人说人类的大脑是三维结构的无法想象出四维，这有什么关系嘛？理解不了

还有生活中有没有体现高维的东西？

我的回答（https://www.zhihu.com/question/40217873/answer/86078604）：

谢邀。

高维空间作为几何对象是很难理解的，作为代数对象却很容易理解。

根据我们日常对一维（线）、二维（面）、三维（体）空间的印象，一个空间有几维，就是在这个空间中能够做几条互相垂直的直线，或者说有几个互相垂直的方向。你面前一条左右伸展的直线上，只有左右方向。你面前一张铺开的白纸上，有左右方向加上下方向。你面前的整个空间中，有左右方向、上下方向和前后方向。

以此类推，四维空间就是在左右、上下和前后之外，还有一个与它们垂直的方向的空间。这个定义一目了然，人脑却难以想象出来（不排除有些数学家经过特殊训练有可能想象出来），因为我们日常见到的空间是三维空间，不存在这第四个方向。四维都想象不出来，更高维度就更不用说了。所以说，高维空间作为几何对象是很难理解的。

从代数的观点看，n维的空间就是所有的满足以下性质的矢量的集合：（1）有n个互相垂直的基础矢量属于此集合，垂直的定义是纯粹代数的，即两个矢量的“内积”等于0；（2）此集合中任何一个矢量都等于这n个基础矢量乘以某些常数后相加（即这些基础矢量的线性叠加），例如2乘以第一个基础矢量，加上3乘以第二个基础矢量，加上0.5乘以第三个基础矢量，加上0乘以后面的基础矢量。你如果能看懂，太好了。如果看不懂，没办法，只能说这是大学里线性代数的内容，等你学到线性代数就明白了。这个定义的妙处是完全不需要空间想象，无论多少维在数学表述上都是一样的。所以说，高维空间作为代数对象很容易理解。

在以上定义中，如果一个n维空间的某个基础矢量变成0，那么这个空间就降低了一维，成了n-1维空间。就像我们把一张纸看作二维的，其实纸毕竟也有厚度，只是我们关心的实际问题的尺度比纸的厚度大得多，所以近似地可以把厚度当成0，纸就从三维物体变成了二维物体。物理学中提到高维空间坍缩成低维，是同样的意思，某些维度的尺度远远小于我们关心的尺度，于是把它们当作0。

下面的评论与回复：

吴小懿：

你好！请教一下，在什么情况下高维空间的其中一个基础变量会变成0呢？谢谢^_^

袁岚峰（作者） 回复 吴小懿：

例如一张纸，当我们考虑的问题不涉及小于其厚度的长度时，就可以认为它是二维。纸上的一条线，当我们考虑的问题不涉及小于其宽度的长度时，就可以认为它是一维的。所以关键在于你考虑的问题的尺度。

冯·布劳恩：

除了三维，空间坐标在其他维的坐标都小于普朗克尺度？

“Yuhang Liu”的回答：

人类看不到4维空间因为人类生存的物理空间维数就是3维的。但是数学上可以随意构造任意维数的空间，这种空间还可以是弯曲的，我们称之为“流形”。然后我们就可以在流形上玩几何和拓扑。这就是现在的几何学家和部分拓扑学家在玩的事情。像我们这种做几何的，一般开口就是“假设我们有一个n维（黎曼，复，Kahler, etc.）流形，blabla”，而一般不会说“考虑3维空间中的一张曲面”，后者一般是做古典微分几何或者做分析的数学家们干的事（好像又黑了什么）。

补充：

严格地来说，我们生存的宇宙空间微观上并不是连续的，普朗克长度以下就没有意义了。宇观上我也不认为宇宙在拓扑上就是个R^3，按照广义相对论的观点，时间和空间应该是“绞缠”在一起的，共同构成一个有复杂整体同胚的4维洛仑兹流形。我们局部看到时间和空间可以“分开”，空间好像是“线性空间”，不过是因为我们的视野太小而已。

如果采取弦论的描述方式，那就更复杂。

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