作者：@中科大胡不归

【作者按：《中国古代数学思想》，孙宏安著，大连理工大学出版社2008年4月第一版，编入《数学科学文化理念传播丛书》。上一篇见http://weibo.com/p/1001603911216698410346。欢迎在微博上通过在私信页面点击“订阅文章”或输入“DY”订阅我的群发。在电脑上点击我的置顶微博中的标签可以完全列出与分类阅读我的文章。推荐关注@秋秋和丫丫的小五  的历史哲理益智励志小说《女帝师玉机传》（http://bbs.tianya.cn/post-culture-858231-1.shtml），我最近的书评见http://weibo.com/p/1001603906501717657445。】

第六章：数学思想的异彩——宋元数学高峰。本篇记录此章第2节第2部分的（1）的<3>和（2）。

6.2 宋元数学思想的特点

2、数学内容的抽象化

（1）数学抽象达到了新的层次

<3>引入纯数学课题

实际上“遥度圆城”形式的高次方程问题、《测圆海镜》的圆城论证问题都是纯数学问题，但是它们还有一点儿“实际问题”的影子。看一下这样的课题。

纵横图

在《周易》的数表（卦象）中产生了古老的组合数学思想的萌芽。汉代的九宫图是最早的纵横图，后世称之为洛书。

杨辉的《续古摘奇算法》（1275年）中，收集了20多个纵横图，包括n = 3, 4, 5, …, 10的各阶幻方。n阶幻方是将1到n2的自然数排列成正方形，使每行、每列及两条主对角线n个数的和都相等（等于n2 (n 1)2 /2，叫做幻和）。杨辉在《续古摘奇算法》中创“纵横图”之名。他给出的方形纵横图共有13幅，包括：洛书图（三阶幻方）一，花十六图（四阶幻方）二，五五图（五阶幻方）二，六六图（六阶幻方）二，衍数图（七阶幻方）二，易数图（八阶幻方）二，九九图（九阶幻方）一，百子图（十阶幻方）一。其中还给出了“洛书数”和“四四阴图”的构造方法，如“洛书数”的构造方法为：“九子斜排，上下对易，左右相更，四维挺出”。

除了以上这些方形的纵横图，杨辉书中还有一些其他形状的数图，如聚五图、聚六图、聚八图、攒九图、八阵图、连环图等等。按：八阵图！诸葛武侯发来贺电！在其中迷路的陆逊内牛满面！

纵横图成为一种属性课题，一直有人研究。例如明代王文素的《算学宝鉴》中记载多种纵横图，清代方中通的《算法统宗》在卷17里载有14种纵横图，与杨辉著作中的基本上相同。直到现代这种研究兴趣也不见减弱，充分说明这个课题的纯数学性。

下面图示杨辉指出的“九子斜排，上下对易，左右相更，四维挺出”，即由9个数字的排列得到纵横图的排法。

上图给出8阶幻方易数图，下图给出百子图和聚五图。

杨辉把纵横图作为数学研究内容，收入自己的数学著作，在数学思想发展史上是有重要意义的。显然，纵横图在当时并没有实际应用的价值，是一种纯粹的组合问题，也可以说属于数学游戏，是由数学自身的发展产生出来的。它们表明宋代数学家发展了抽象的逻辑思维能力，从理论出发探索新的数学规律，因而得以在宋元之际创造出一系列世界性的数学成果，在世界数学思想发展方面，长期居于先进地位。按：喂喂喂，论逻辑思维能力，好比中国数学家刚刚发展到50，而欧几里得早就到1000了，你好意思吹“长期居于先进地位”吗？！

垛积术

即高阶等差级数求和问题。来源是“设有一些形状及大小均相同的离散物体堆积为一个规则台体，计算这些物体的个数”。

离散物体的垛积问题直到沈括才正式提出，并得到圆满的解决。这一成就构成中国垛积术研究的开端，以后一直有人研究，逐渐从一个有实际背景的问题抽象为一个纯数学的问题——高阶等差数列求和问题。杨辉在《详解九章算法》及《算法通变本末》中给出了三个垛积公式：

三角垛

1 3 6 … n (n 1) /2 = n (n 1) (n 2) /6

四隅垛

12 22 32 … n2 = n (n 1) (n 1 /2) /3

方垛垛（其中n为垛层数）

a2 (a 1)2 (a 2)2 … (b - 1)2 b2 = n [a2 b2 ab (b - a) /2] /3

后来元代朱世杰在《四元玉鉴》中有系统而深入的研究，取得了极为辉煌的成就，并使之在其后数百年中一直成为数学家们关注的课题。

朱世杰的许多级数求和问题中，可归纳出一串有重要意义的公式：

1 2 3 4 … n = n (n 1) /2!

1 3 6 10 … n (n 1) /2! = n (n 1) (n 2) /3!

1 4 10 20 … n (n 1) (n 2) /3! = n (n 1) (n 2) (n 3) /4!

1 5 15 35 … n (n 1) (n 2) (n 3) /4! = n (n 1) (n 2) (n 3) (n 5) /5!

等式左边的各项正好是贾宪三角形斜线上的数。《四元玉鉴》中也列出了贾宪三角形，并且用斜线连接了表中的数：

这表明贾宪是宋元数学的开拓者。朱世杰把这类求和公式统称为三角垛公式，后来成为中国古代数学中一类专门的课题，历来有人研究。到19世纪李善兰的《垛积比类》集垛积术之大成，并糅合了西方数学，在此基础上作出了李善兰恒等式和“尖锥术”等一系列优秀数学成果。按：很好。问题是到19世纪时，西方数学的前沿早已经推进到中国数学家连术语都看不懂的程度（如复变函数、变分法、群论、线性代数、非欧几何），这时把初等数学的问题解决得再漂亮，也还是大大落后于时代的。当然，李善兰是难能可贵的，我对他充满敬意。

（2）算法程序达到了新的高度

可以秦九韶《数书九章》的大衍总数术来说明这一点。大衍总数术的算法逻辑可用下图表示。

多次运用了循环，包括求定数、求乘率的子程序，其中大衍求一术就是一个求乘率的子程序。现代子程序技术是图灵在1940年代提出来的，对比之下，可见秦九韶算法思想的先进程度。按：秦九韶算法确实很了不起。不过作者这里的措辞会让很多人产生误解，以为秦九韶比图灵先进。其实两人的贡献完全不是一个层面的。秦九韶是在应用中自发地用到了子程序，并没有自觉的理念。不要说子程序，程序的概念都没有。图灵是分析了整个算法理论，明确提出了子程序的概念。中国的科技史研究者经常犯的一个毛病是，只要中国的科技成就中跟某个概念沾点边，就拿出来大吹一通，甚至还说成比这个概念的提出者早几百几千年。这种学风很不好，显得小家子气，好像韩国人……