作者：@中科大胡不归

【作者按：《中国古代数学思想》，孙宏安著，大连理工大学出版社2008年4月第一版，编入《数学科学文化理念传播丛书》。上一篇见http://weibo.com/p/1001603908318144907494。欢迎在微博上通过在私信页面点击“订阅文章”或输入“DY”订阅我的群发。在电脑上点击我的置顶微博中的标签可以完全列出与分类阅读我的文章。推荐关注@秋秋和丫丫的小五  的历史哲理益智励志小说《女帝师玉机传》（http://bbs.tianya.cn/post-culture-858231-1.shtml），我最近的书评见http://weibo.com/p/1001603906501717657445。】

第六章：数学思想的异彩——宋元数学高峰。本篇记录此章第1节的第2部分和第3部分的（1）。

6.1 宋元数学成果点滴

2、贾宪的数学创造

（1）贾宪三角

贾宪三角是一个数字组成的三角形，现在见到的载于杨辉《详解九章算法》（1261），见于现存《永乐大典》卷16344（藏于英国剑桥大学），叫做“开方作法本源”。

“左袤乃积数，右袤乃隅算，中藏者皆廉。以廉乘商方，命实而除之。”是原图所附。前三句说明了贾宪三角的结构，后二句说明各系数立成释锁方法（一种解方程方法）中的作用。长方形土地东西的长叫做广，南北的长叫做袤，南北引申为上下。按：实指的是待开方的数。

“左袤乃积数”，指左边由上而下的那一行“一”是二项展开式中常数项系数。“右袤乃隅算”，指右边由上而下的“一”是展开式中最高次项系数。“中藏者皆廉”，指中间那些数是对应各次项的系数。“以廉乘商方，命实而除之”，指开方或解方程时用所得的商去成各次项系数，再从实中减去的运筹方法。按：坑！古人看得懂吗？

这个三角形的用途主要是开方，或说解形如

xn - A =0

的高次方程。

先设x1 a = x，则

(x1 a)n= A

要想求出x1，就要把(x1 a)n展开，此时要用贾宪三角。

例如求x3 = 1728的正根。

由实为四位数，可知立方根必为二位数。

(a b)3 = 1728

按贾宪三角的第四行(1, 3, 3, 1)，有

a3 3a2b 3ab2 b3 = 1728

估第一位商，由103 < 1728 < 203知a = 10。有

300b 30b2 b3 = 1728 - 1000 = 728

估第二位商，须有b3 = 8，所以b = 2。代入上式，12确实是1728的立方根。这种方法与现代笔算开方方法相当一致。可见贾宪三角在解高次方程方面是相当先进的。

贾宪三角在西方叫帕斯卡三角（Pascal's triangle），帕斯卡（B. Pascal，1623~1662，法国）自己则称之为“算术三角形”，帕斯卡用数学归纳法证明了这个三角形的性质，第一个正式指出这个三角形是二项展开式的系数表。西方最早提出这一数字三角形的是13世纪学者约丹努斯（Jordanus de Nemore，国籍不详），在他的著作《算术》（De arithmetia）的手稿（约1220）中给出一个11行的数表，并指出构造方法。世界上另一个最早提出这种数字三角形的是阿拉伯数学家凯拉吉（al-Karaji，1020年前后活动于巴格达），他与贾宪同时代而略晚。

（2）增乘开方法

开方就是解高次方程，如前述用贾宪三角的情况。不过这是另一种不用数表而先估商后随乘增加的方法，所以叫增乘开方法。

贾宪开创的增乘开方法后来推广到求任意高次幂或高次方程的正根。在此基础上，刘益（1113年之后）引入了最高项系数是负数的高次方程的解法，并真正给出“开带从方”的例子，并用增乘开方法解了一个四次方程。秦九韶（1247）进一步发展为求数字方程正根的方法（与今霍纳法相近），解了一个10次方程，但有“实常为负”的要求。李冶（1248）则引入了高次方程的各项系数都可正可负的解法。朱世杰（1303）对开方法作了重要补充，终于发展成为中国古代数学中独特的代数学理论，有着重要的世界历史意义。

3、秦九韶的数学成果

秦九韶最重要的数学工作就是《数书九章》，其中主要成就为“大衍总数术”和高次方程解法，还有一个与海伦公式相当的“三斜求积”公式。

（1）《数书九章》

南宋时称为《数学大略》或《数术大略》，明朝时又称为《数学九章》。全书共18卷，81题，分为9大类。

一，大衍类，集中阐述了他的重要成就——大衍求一术。他总结了历算家计算上元积年的方法，在《孙子算经》“物不知数”题的基础上，系统地提出了一次同余式组解法。并针对不同的情况，提出了不同的程序。他还把这种理论用于解决商功、利息、粟米、建筑等问题。

二，天时类，是有关历法推算及降雨降雪量的测量。按：一会按数学内容分，一会按应用领域分，真够乱的。

三，田域类，是面积问题。

四，测望类，是勾股重差问题。

五，赋役类，是均输及租税问题。

六，钱谷类，是粮谷转运和仓库容积问题。

七，营建类，是建筑工程问题。

八，军旅类，是军营列阵布置及军需供应问题。

九，市易类，是交易及利息问题。

后八类问题都是按应用分类。

除了大衍求一术外，《数书九章》中最重要的成就是正负开方术，今称秦九韶程序，即以增乘开方法为主导求高次方程正根的方法。他用这种方法解决了21个问题，共26个方程，其中二次方程20个，三次方程1个，四次方程4个，还用勾股差率列出了一个10次方程。在书中，秦九韶把贾宪开创的增乘开方法发展到十分完备的地步。

秦九韶发展了刘徽开方不尽求微数的思想，在世界数学史上第一次用十进小数表示无理根的近似值。

在卷五“三斜求积”题中提出了已知三角形三边求面积的公式，与古希腊的海伦公式等价。按：等价是等价，就是数学形式难看得多，计算起来麻烦得多。

秦九韶改进了线性方程组解法，普遍用互乘相消法代替“直除法”，并在互乘之前，先约去公因子，使运算更加简便。

与以往的数学著作比较，《数书九章》中的问题更加复杂。如卷13“计定筑城”题已知条件达88个，卷9“复邑修赋”题的答案有180个。因此，《数书九章》更加详实地反映了南宋的社会经济情况，保存了非常有价值的历史资料。

《数书九章》问世后，当时流传不广。明《永乐大典》抄录此书，称为《数学九章》。清四库馆本《数学九章》转录自《永乐大典》，并加校订。后李锐又略加校注。明万历年间赵琦美有另一抄本《数书九章》，清沈钦裴、宋景昌以赵本为主，参考各家校本，重加校订，1842年收入上海郁松年所刻《宜稼堂丛书》。此后，又有《古今算学丛书》本、商务印书馆《丛书集成》本均据此翻印，成为最流行的版本。