作者：@中科大胡不归

【作者按：《中国古代数学思想》，孙宏安著，大连理工大学出版社2008年4月第一版，编入《数学科学文化理念传播丛书》。上一篇见http://weibo.com/p/1001603899609985509910。欢迎在微博上通过在私信页面点击“订阅文章”或输入“DY”订阅我的群发。在电脑上点击我的置顶微博中的标签可以完全列出与分类阅读我的文章。推荐关注@秋秋和丫丫的小五  的历史哲理益智励志小说《女帝师玉机传》（http://bbs.tianya.cn/post-culture-858231-1.shtml），我最近的书评见http://weibo.com/p/1001603898680859067967。】

第五章：数学思想的持续发展。本篇记录此章第2节的第1部分和第2部分的（1）。

5.2 数学名家的数学思想

中国古代几乎所有的数学家都作过历法编纂的工作。历史上历、算并称，就叫历算家。他们的数学思想对中国古代数学发展起到指导的作用。这一时期的数学名家主要是赵爽、祖冲之父子、刘焯和一行。

1、赵爽

赵爽，仅知注过《周髀算经》，字君卿，汉末或三国吴国人（公元3世纪），其他情况尚无考证。《周髀算经》现在流传本即他的注本，其中的“勾股圆方图”注是赵爽的重要成果，其中用出入相补原理即图形法证明了勾股定理。与刘徽一样采用图形拼补的“证明”，有圆方图的说明，并非逻辑严谨的证明。按：这个证明的不严谨之处，我在本读书笔记的第10篇（http://weibo.com/p/1001603894997618425722）里说过。例如把一个边长为8的正方形（面积为64）裁成四块，重新拼起来，可以变成一个边长为5和13的长方形（面积为65）。64怎么会等于65？因为拼合中有眼睛看不出的缝隙。

另一成果是给出解二次方程的公式，与刘徽的工作也有一致性。

（1）勾股定理的证明

“勾股各自乘，并之为弦实。开方除之，即玄。按弦图又可以勾股相乘为朱实二，倍之为朱实四，以勾股之差自相乘为中黄实，加差实亦成弦实。”

按“弦图”，以勾股相乘，其积表示一个矩形，称为“朱实”，图中涂上红色。以勾股之差自乘，在图中表示一个小正方形，涂上黄色，称为“中黄实”。以两个朱实加上一个中黄实得到弦实——弦的平方，就是四边都是c的正方形。用现代数学语言结合图形可以把赵爽的话表示为如下式子

2ab (b - a)2 = c2

化简得

a2 b2 = c2

即勾股定理。按：很好。问题是，古人没有符号运算，他们怎么知道(b - a)2 = b2 a2 - 2ab呢？

（2）二次方程求解公式

“勾股圆方图注”有这样一段话：“其倍弦为广、袤合，令勾股见者自乘为其实。（令合自乘）四实以减之，开其余所得为差。以差减合，半其余为广。减广于（倍）弦，即所求也。”按：干吗要加括号里的字？尤其是那个“倍”字，加不加意思可不一样！这不只是帮助理解的问题，说不定是篡改古人的原意，把错的改成对的！许多所谓古人的成果说不定就是后人修改出来的。即使不是篡改，如果一段古文要加上这些修正才能看得懂，那说明古代看懂的人也没多少，这已经足以大大限制它的教育意义了。

可如下解释：

设有矩形，长x、宽y是某一常数c（弦）的2倍，即

x y = 2c

勾a或股b自乘是矩形的面积：

xy = a2（或b2）

从和（2c）的平方减去实（面积）的4倍（4a2），所得余数的平方根就是长与宽的差：

x - y = sqrt [(2c)2 - 4a2]

从和x y减去差x - y，所得之半就是宽

y = c - sqrt [(2c)2 - 4a2] /2

倍弦（2c）减去宽，即得长

x = c sqrt [(2c)2 - 4a2] /2

这相当于给出了一个二次方程

x2 - 2cx a2 = 0

及其求根公式。这是中国古代数学史上一个重大成果。按：很好。问题在于，这些解释是现代人做出的。还不提加了个“倍”字。而且完全没有证明。表述得这么简略，古代人有几个看懂？

2、祖冲之

（1）祖冲之其人

祖冲之（429~500），字文远。按：三国名将张辽：Hi! 大家热烈鼓掌。《水浒》里跟阎婆惜私通的张文远：Hi! 宋江和张辽：大家不要拦我，一刀捅死这厮……

祖籍范阳郡遒县（今河北涞水）。为避战乱，祖冲之的祖父祖昌由河北迁至江南。祖昌曾任南朝刘宋的大匠卿，掌管土木工程。祖冲之的父亲也在朝中做官，学识渊博，受人敬重。

祖冲之生于建康（今江苏南京）。祖家历代对天文历法素有研究。在青年时代祖冲之就博得了博学多才的名声，得到到“华林学省”做研究的机会。按：听着像现代的fellowship……

461年，他任南徐州（今江苏镇江）从事史，后为公府参军。464年调任娄县（今江苏昆山东北）县令。在此期间他编制了《大明历》，其中首次引用岁差，是中国历法史上的一次重大改革。他采用了391年中设置144个闰月的新闰周，比19年7闰的闰周更加精密。按：391 /144 = 2.7152777777777777777777777777778，19 /7 = 2.7142857142857142857142857142857，前者比后者大0.0365%。能分辨到万分之四，说明祖冲之算得确实非常精确。

祖冲之推算的回归年和交点月天数都与现代观测值非常接近。

刘宋末年，祖冲之任谒者仆射，努力研究机械制造。494年到498年之间，他在南齐朝廷担任长水校尉（四品）。按：诸葛瑾、诸葛亮的弟弟诸葛均在蜀汉就担任了这个官职。

他写有《安边论》一文，建议朝廷开垦荒地，发展农业，安定民生，巩固国防。

祖冲之精通音律，擅长下棋，著述很多，甚至还写有小说《述异记》十卷，但大多都已失传。按：牛！

500年，祖冲之72岁时去世。

祖冲之的儿子祖暅（geng4）也是著名数学家，孙子也通数学。按：祖暅之子祖皓。

他的家族五代通历算，是中国古代家学科学教育的著名案例。

祖冲之的数学成就是：推算出圆周率介于3.1415926和3.1415927之间，这个逼近度直到15世纪才为阿拉伯人超越。他算出的圆周率的近似分数355 /113更是独步世界的伟大成果，是分母小于16604的分数中圆周率的最佳近似分数，后来被数学界称为“祖率”。西方人16世纪才重新得到它。按：355 /113 = 3.1415929203539823008849557522124，除以π得到1.000000084913678658370862584022，即相对误差为8.4914E-8。值得注意的是355 /113大于3.1415927，所以祖冲之知道它不在正确的区间之内，偏大。16604乘以π得到52163.004420204926931433730735973。52163 /16604 = 3.1415923873765357745121657431944，除以π得到0.9999999152616883160337609911829，即相对误差为-8.4738E-8。即使把分母从113增加到16604，也只不过把相对误差的绝对值缩小2E-10而已！

1967年，国际天文学家联合会将月球背面的一座环形山命名为“祖冲之环形山”，将小行星1888命名为“祖冲之星”。

目前月球背面的环形山中，共有五座以中国人的名字命名的：石申、张衡、祖冲之、郭守敬和万户。前四位是中国历史上著名的天文学家，万户则是明朝的一位官员，是世界上第一个以身尝试用火箭飞行的人。按：万户的事迹出自赫伯特·S·基姆（Herbert·S·Zim）在1945年出版的《火箭和喷气发动机》（Rockets andJets）一书，在中国古书中始终没有找到来源，但在国际航天界一直被传颂。这是出口转内销的一个有趣的例子。