《古今数学思想》读书笔记（35）

作者：@中科大胡不归

【作者按：《古今数学思想》，莫里斯·克莱因著，张理京等译，上海科学技术出版社，2014年1月第一版。上一篇见http://weibo.com/p/1001603877852927122241。欢迎在微博上通过在私信页面点击“订阅文章”或输入“DY”订阅我每周一次群发的文章汇编。在电脑上点击我的置顶微博中的标签可以完全列出与分类阅读我的文章。推荐关注@秋秋和丫丫的小五  的历史哲理益智励志小说《女帝师玉机传》（http://bbs.tianya.cn/post-culture-858231-1.shtml），我最近的书评见http://weibo.com/p/1001603869306801751379。】

第10章：欧洲中世纪时期。本篇记录此章的第6、7节。

6、理性主义和对自然的兴趣的复活

第一批希腊和阿拉伯著作的译本传到欧洲后不久，对自然现象的理性探讨，并以自然原因而不以道德或神意的原因来作解释的风气几乎立刻就呈现出生命力。

说来奇怪，有些希腊著作的传入却使欧洲的觉醒推迟了两个世纪之久。到1200年之际，亚里士多德的许多著作已相当普及。他书中的大量事实、精细的分辨能力、令人信服的论据，和对知识的逻辑编排，使欧洲学者读了心悦诚服。亚里士多德学说的缺点是他接受了那些在思想上认为是有理的说法，而不管其是否符合实际经验。这些说法都被人毫无批判地加以接受，所以新的思想就不受欢迎或无人理睬，使进步推迟。按：黑得漂亮！亚里士多德浑身是弹孔……以前只知道亚里士多德是中世纪的权威，原来这个权威建立得这么迟，而且来得这么不是时候。只能说那时欧洲人的智力水平还是too young too simple啊。

大约从1150年到1450年这段期间内，从事科学工作的是经院派学者，他们信奉以基督教使徒和亚里士多德的权威为基础的学说，因此科学工作自然受到不利影响。当时有一个人感到需要从实验得出一般原则，需要有利用数学的演绎推理，然后根据事实来检验这种推理，这人便是林肯郡的主教、自然哲学家格罗斯泰特（Robert Grosseteste，约1168—1253）。按：格罗斯泰特是罗吉尔·培根的老师。

反抗权威的最出色的发言人并且真能提供有价值思想的是罗吉尔·培根（Roger Bacon，1214？—1294），他号称为“万能博士”（Doctor Mirabilis）。他宣称：“如果我有权处理亚里士多德的著作，我就会下令把它全烧掉，因为学习它不过是浪费时间而且把人引入歧途，而且它又是难以形容的层出不穷的无知只见。”按：亚里士多德：求不黑……

罗吉尔·培根学识渊博，遍晓当时的许多科学和语言文字，包括阿拉伯文在内。他比别人早知道当时刚出现的发明和科学进展，如火药、透镜的作用，机制时钟，日历的编制，彩虹的形成等。他甚至谈到对潜水艇、飞机和汽车的设想。他在数学、力学、光学、视像成因、天文学、地理学、年表学、化学、透视学、音乐、医学、文法、逻辑、形而上学、伦理学和神学方面的著作都是含有正确思想的。按：达芬奇、弗朗西斯·培根、特斯拉：开门，查水表！

罗吉尔·培根的特别令人钦佩之处是他懂得可靠的知识是怎么得来的。他探讨了使科学获得进展或受到阻挠的原因，并提出改革研究方法的意见。他虽也劝人阅读圣经，但强调数学和实验，并预见科学造福于人类的伟大前景。按：科学的先知！

他在所著《大作》（Opus Majus）的一章中“证明”所有科学都需要数学。“论证可以总结一个问题，但它不能使我们感到放心或承认其为真理，除非通过经验而表明其确为真理。”

但甚至罗吉尔·培根也只是他那个时代的产物。他相信巫术、占星术，并坚称一切学问的目标是神学。他也是他那个时代的牺牲品，他死于监狱，正如其他许多倡导人类理智独立性以及实验观察重要性的学术界领袖一样。他对他那个时代的影响是不大的。按：It's been a good life. 博伊西斯，有人来看你了！

奥卡姆的威廉（William of Ockham，约1300—1349）批评亚里士多德对终极原因的观点。他说终极原因纯粹是虚拟的说法。所有原因都是直接的，足以产生一事件的所有前提构成它的总因。他提出一个著名原则号称“奥卡姆的剃刀”[格罗斯泰特和司各脱（John Duns Scotus，1266—1308）在以前早提出过]：若能用较少的概念解决问题，那更多的概念是不必要的。他把神学同自然哲学（科学）分开，理由是神学的知识得自神的启示，而自然哲学知识则应来自经验。按：这一分开就等于判了神学的死刑，因为很快就会发现没有任何真正的知识是只来自启示、不来自经验的。

7、数学本身的进展

大约在1100年到1450年这段时期内，尽管思想严受束缚，但还是进行了一些数学活动，其主要中心是牛津大学、巴黎大学、维也纳大学（成立于1365年）和埃尔富特（Erfurt）大学（成立于1392年）。起初的工作是对希腊和阿拉伯文献的直接反应。

第一个值得一提的欧洲学者是比萨的利奥那多（约1170—1250），又名斐波那契（Fibonacci）。按：早说后面那个著名得多的名字不就得了嘛！搞得人还以为是达芬奇或者迪卡普里奥呢！小李子：我把脸藏起来还不行吗？

他受教育于非洲，在欧洲和小亚细亚游历甚广，并以其精湛掌握当代及以前各代的全部数学知识而闻名。1202年利奥那多写了划时代的并流传很久的《算经》（Liber Abaci）一书，这是从阿拉伯文和希腊文材料编译成拉丁文的书。当时在欧洲已多少知道一点阿拉伯记数法和印度算法，但只限于在修道院里。一般人还是用罗马数字而且避免用零，因他们不懂零的意思。

利奥那多在《算经》及较晚一部著作《四艺经》（Liber Quadratorum，1225）中都论述了代数。在几何方面，利奥那多在他的《几何实习》（Practica Geometrica，1220）里重复讲述了欧几里得《原本》及希腊三角术的大部分内容。

利奥那多著述的最突出之点是他指出欧几里得在《原本》第十篇中对无理量的分类并不包括一切无理量。利奥那多证明x^3 2x^2 10x = 20的根不能用尺规作出。这第一次表明数系所含的数超过希腊人以是否尺规可作为准则所定的范围。按：怎么证明？

利奥那多又引入了至今仍称为斐波那契数列的概念，在这数列中的每项等于其前两项之和。按：即1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144……指数增长的兔子是地球的灾难……

奥雷姆（Nicole Oresme，约1323—1382）是利雪（Lisieux）地方的主教兼纳瓦拉（Navarre）巴黎学院的教师。在他的未发表的著作《比例算法》（Algorismus Proportionum，约1360年）中，他引入了分数指数的记法和一些算法。他的想法是：既然4^3 = 64而(4^3)^(1 /2) = 8，所以4^(3 /2) = 8。分数指数的记法以后在16世纪的几个作家的著作中重又出现过，但直到17世纪才广泛采用。按：分数指数和对数对近代的中国人留下了深刻的印象，以至《清史稿》里居然有一章是对数表！

奥雷姆的另一项贡献在于对变化的研究。亚里士多德对质和量是严格区别的。他认为热的强度是一种物质。改变热的强度就得增加或减少一种东西——一种热。奥雷姆认为并没有什么不同种类的热，而只有同一类热的多寡之分。14世纪一些牛津和巴黎的经院哲学家开始从量的方面来思考变化和变化率的问题。他们研究匀速（等速）运动，非匀速（变速）运动以及均匀性的非均匀运动（等加速运动）。按：定量考虑问题是一种相当先进的思想，直到现在都有许多受过教育的人不能掌握，遇到问题只会喊口号或者抖机灵，要他们拿出数字来就抓瞎了。

当时这一类问题的顶点是奥雷姆提出的图线原理。关于这个问题他写了《论均匀与非均匀的强度》（De Uniformitate et Difformitate Intensionum，约1350年）与《论图线》（Tractatus de Latitudinibus Formarum，日期不详）。为表示随时间而变的速度，他用一水平线上的点代表时间，称之为经度；而不同时刻的速度则用纵线表示，称之为维度。为表示一个从O处为OA减到B处为零的速度，他画出了一个三角形。他又指出由AB中点E所定的矩形OBDC与三角形OAB等面积，并表示在同一段时间内的匀速运动。

常有人说奥雷姆对提出函数概念，用函数表示物理规律以及函数的分类作出了贡献。人们也常把创立坐标几何及函数的图像归功于他。虽然奥雷姆在图线（latitudines formarum）名义下表示强度的方法是经院哲学家试图用于研究物理变化的一个主要技巧，也曾在当时的大学里教给学生，并用之于修正亚里士多德的运动理论，但它对其后思想界的影响是不大的。伽利略确也用过这种图形，但思想远为清楚，用意远为明确。又由于笛卡尔尽量避免提及前人，我们也不知道他是否受了奥雷姆思想的影响。按：这属于科学家的谨慎，有过分谦虚之嫌。如果有一位中国的古人提出过类似的思想，我们这边肯定早把他捧成函数的发明者了！