开方

中文名

开方

外文名

rooting

解    释

一个数的方根的运算

类    别

数学（代数）

方根

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数a 的n（n为自然数）次方根指的是n方幂等于a的数，也就是适合b的n次方=a的数b。例如16的4次方根有2和－2。一个数的2 次方根称为平方根；3次方根称为立方根。各次方根统称为方根。求一个指定的数的方根的运算称为开方。一个数有多少个方根，这个问题既与数的所在范围有关，也与方根的次数有关。在实数范围内，任一实数的奇数次方根有且仅有一个，例如8的3次方根为2，－8的 3次方根为－2 ；正实数的偶数次方根是两个互为相反数的数，例如16的4次方根为2和－2；负实数不存在偶数次方根；零的任何次方根都是零。在复数范围内，无论n是奇数或偶数，任一个非零的复数的 n次方根都有n个。如果复数 ， ，那么它的n个n次方根是，k=0，1，2…，n－1。

方法

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数字4开方后就是2，2就是它开方的结果 
　　这个用两个相同数字表示一个数的这个数字叫做开方

4=2x2 四等于二乘二
　　9=3x3 九等于三乘三

16=4x4

25=5x5

36=6x6

49=7x7
　　64=8x8

81=9x9

100=10x10
　　2，3,4,5,6,7,8,9,10就是4和9,16,25,36,49,64,81,100开方后的数

关于 任意数 开任意次方的 公式：设被开方数为A，开次方数为B。C为变量

首次 C取值为1 带入A,B常量计算结果 并用计算结果值替换公式中的变量 C 再次计算结果，再次替换，当C=公式计算结果值 此时C即为根 循环步骤受开方数字长度影响，此法也可笔算进行。采用的是牛顿迭代法。且 A B 可为小数，分数，负数，此法为逐次逼近法。可简单的实现编程。但是注意：不能计算负数开偶数次方。

下面为：代入法

1、把被开方的整数部分从个位起向左每隔n位为一节，用撇号分开；

2、根据左边第一节里的数，求得开n次算术根的最高位上的数，假设这个数为a；

3、从第一节的数减去求得的最高位上数的n次方，在它们的差的右边写上第二节数作为第一个余数；

4、用第一个余数除以 ，所得的整数部分试商（如果这个最大整数大于或等于10，就用9做试商）；

5、设试商为b。如果 小于或等于余数，这个试商就是n次算术根的第二位；如果 大于余数，就把试商逐次减1再试，直到 小于或等于余数为止。

6、用同样的方法，继续求n次算术跟的其它各位上的数（如果已经算了k位数数字，则a要取为全部k位数字）。举例 例如计算987654321987654321的五次算术根，就算到小数点后四位。3 9 7 1. 1 9 2 9 5√987'65432'19876'54321.00000'00000'00000'00000 243________________________________________ 85 41233 19876................................854123319876/（5×390^4）的整数部分是7，用7作试商 83 92970 61757................................397^5-390^5 ___ 1 48262 58119 54321..........................1482625811954321/（5×3970^4）的整数部分是1，用1作试商 1 24265 57094 08851..........................3971^5-3970^5 ___________ 23997 01025 45470 00000....................23997010254547000000/（5×39710^4）的整数部分是1，用1作试商 12433 44352 06091 99551....................39711^5-39710^5_________________________________________ 11563 56673 39378 00449 00000..............1，156，356，673，393，780，044，900，000/（5×397110^4）的整数部分是9，用9作试商 11191 170 21599..............397119^5-397110^5_________________________________________ 372 39671 82334 79932 78401 00000........3723967182334799327840100000/（5×3971190^4）的整数部分是2，用2作试商 248 70419 01386 56554 83574 43232........3971192^5-3971190^5_______________________________________123 69252 80948 23377 94826 56768 00000..123692528094823377948265676800000/（5×39711920^4）的整数部分是9，用9作试商 111 917 71518 74119 30649..39711929^5-39711920^5_______________________________________11 77547 90756 09349 23这样就得到987654321987654321的五次算术根精确到小数点前四位为3971.1929乘方和开方是同级运算！ 如果：a^n=b，则 |a|=|b^（1/n)|，不考虑负数的情况： a=b^（1/n)

公式：

例如，开立方，A=5，即k=3.

公式：

5介于 至 之间（1的3次方=1，2的3次方=8）

可以取1.1，1.2，1.3，1.4，1.5，1.6，1.7，1.8，1.9，2.0都可以。例如我们取2.0.按照公式：

第一步： 。输入值大于输出值，负反馈；

即 ， ， ， ，取2位数值,即1.7。

第二步： .。输入值小于输出值，正反馈；

即 ， ， ， 。取3位数，比前面多取一位数。

第三步： 。输入值大于输出值，负反馈

第四步： .输入值小于输出值，正反馈；

这种方法可以自动调节，第一步与第三步取值偏大，但是计算出来以后输出值会自动转小；第二步，第四步输入值偏小，输出值自动转大。 =1.7099.

计算机程序代码

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对于任意实数的开方，可以使用切线法得到其任意精度的结果，切线法的迭代公式为：

取任意初始值 ，以上迭代序列将会收敛：

实际应用中一般取初始值为稍微大 的实数，这样可以加快序列的收敛速度。