其实这本GTM166是一本讲Cartan几何的书，它取名为"微分几何"的原因大概是能使得读者在打开书前感到那么一点亲切。令人惊讶的是，这本书的信息量十分的巨大——很多需要花功夫才能得出的结论书中甚至编排成了习题。不过这有一点好处就是书的结构变得无比的清晰和紧凑。总之，这本书在我看来是一本很好的书(不过我还没见过其他涉及Cartan几何的书)。

(这篇文章，以及之后的几篇GTM166读后感，都假设知道了该知道的东西——预备知识，例如基本的流形，切丛等东西。不然这篇文章大概就要写出10万字了)

严格来说，书的前三章(第一章介绍基本知识，第二章讲叶状结构，第三章讲李群)都是Cartan几何的前奏。不过书的第三章已经带来了无比惊艳的结论——李群包含的丰富的几何信息。原来，微积分基本定理在李群上是有推广的。

为了实现这种推广，我们先来看实函数的导数：dF=F'(x)dx。它的几何意义是"x增长一点，F(x)就增长F'(x)倍那么多点"。如果我们把dF看成一个切映射，那么它就是一个从TR(实数集R作为一维流形，TR是它的切丛)到TR的映射。这个切映射能不能作为我们通常所说的导数呢?答案是不能，因为这个切映射里面不止包含关于F'(x)的信息，也包含完整的关于F(x)的信息：在x处的切向量只能映成F(x)处的切向量。所幸的是，我们有一种办法把关于F(x)的信息抹掉：把所有点处的切向量全部平移到0处。这样，我们就可以只关心这个切向量的长度(在这里，这个长度就是F'(x))，而不是位置。这和导数的几何意义是一样的：当x增长一点的时候，我们只关心F(x)增长了多少，而不关心它从哪儿开始增长。

我们来总结一下刚才我们干的事情：对一个函数F(R→R)，我们先求它的切映射dF(TR->TR)，再把不同地方的F'(x)dx全部平移到0处(也就是一个函数ω: TR->R)，最终得到一个函数F'(TR→R)。当然，左边的TR我们也可以使用全部平移到0的方法等同于R，但是我们不这样做，原因到后面就清楚了。需要强调的是，F'的值域R其实是0处的切空间，只是它和R可以等同。

而一个函数f(x)的原函数F(x)，它是一个"导函数就是f(x)"的函数，也就是要求一个F(x)，当x变为d+dx的时候，F(x)变为F(x)+F'(x)dx。我们并不知道F(x)是多少，但是我们可以这样翻译：当x变为x+dx的时候，无论F(x)是什么，它的增量总是F'(x)dx。现在它就有一个简明的说法：给定f(x)，我们就给定了一个"x的增量"到"F(x)的增量"的对应，它要求x增加多少，F(x)无论在哪里都要增加F'(x)倍那么多的量。所以，求原函数就是把刚才我们由F得到F'做的事情反过来而已。

令人惊讶的是，如果用这个观点看待导数，那么我们可以对一个从流形到李群的映射"求导"。只需把上面的过程加以修改，以符合李群的一般条件。

最重要的是，要考虑一下实数轴上的"平移"在李群上对应什么。实数是一个特殊的李群，平移可以用加法解释，而把x平移到0就可以看待为一个[y→y-x]的函数。李群自带的运算也为我们提供了特殊的平移：[x→x(g^-1)]和[x→(g^-1)x]，g为李群G的固定元素。这两个映射都把g平移到了0；在G非交换的情况下它们当然是不同的。出于历史原因(大概是第一个提出这个东西的人这样选的)，我们选择左平移也就是[x→(g^-1)x]作为标准的"平移"变换。它的切映射即导出了g处切空间到单位元e处切空间的同构(这是同构是因为用g平移一下又回来了)。这就是我们想要的切向量的平移，它是实数情况下"把一个切向量平移到0处"的直接推广(虽然这个要复杂许多：实数轴上的切向量只有一个方向，所以平移显得无比的轻松)。对每个g都这样干，我们就实现了在整个李群G上平移切向量到e处，从而抹掉原函数的信息。我们用ωG表示这个平移操作，它是TG到TeG(单位元e处切空间)的映射，用公式写出来就是TG(g,v)=dL(g^-1)(v)，这里v是g处的切向量，而L(g^-1)指代[x→(g^-1)x]函数；L是Left(即：左平移)的简称。ωG有专门的称呼，叫做Maurer-Cartan形式。正因为这个形式的存在，李群才能参与到微积分基本定理的推广中。事实上，这个形式还带有更多的信息，它在Klein几何中可以得到体现。

我们还可以发现，这个Maurer-Cartan形式也给出了TG的一个平凡化。

在一般的李群里，"增量"的概念自然消失，取而代之的即为切映射的概念：它在每一个点处的切空间上都是一个线性映射。事实上在实数里也是如此的："x增加那么多，F(x)就增加F'(x)倍那么多"不就是一个线性函数。

最后我们总结一下我们干的事：给出一个流形M到李群G的映射F，我们先求出切映射dF(TM→TG)，然后把不同地方的切向量全部平移到e处(通过ωG: TG→TeG)。这两个操作的复合(其实这个复合是ωG通过F的一个拉回)即给出了我们想要的"F的导数"ωF(TM→TeG)。它被称为Darboux导数。

由此可见，这个Darboux导数来的比实数情况要困难。R上一点的切空间就是R，它太简单了，它上面的线性映射用一个数就可以表示出来，所以TR→T0R=R的函数就是一个R→R的函数。

而原函数就是反过来：给定一个M上的1-形式ω(TM→TeG)，它的原函数F就是一个满足[ω是F的Darboux导数]的M→G的函数。同样由于一般李群的复杂性，这个ω无法简化了。至此，我们已将导数和原函数推广到了一般李群。这个推广知道的人不多，应该是因为它要求知道的东西太多了，和实数情形形成了鲜明的对比。

上面多次提到的原点处的切向量，可以看作"无穷小李群元素"或者"无穷小平移函数"。就像实数轴原点处的切向量：它是一个无穷小量，也就是一个"无穷小加法函数"。这也是导致这个切空间与李群信息密切关联的原因。

这个切空间，事实上，还可以作为李群G的李代数。我们可以这样构造李括号：原点处的一个切向量v，通过"左平移的切映射"可以到处平移，从而得到G上的一个"左不变向量场"V。所谓"左不变"，也就是，这个向量场在某个左平移作用后，还是它。我们的向量场V本来就是同一个向量左平移得到的，它当然是左不变的。左不变向量场有一个优点，就是它在Maurer-Cartan形式下，得到了同一个值(这很科学，因为Maurer-Cartan形式无非是把它移回单位元处)。另一个结论是，两个左不变向量场的Poisson括积，也是左不变的。这样，如果我们有单位元处的两个切向量v,w，我们把它们分别移成左不变向量场，再取Poisson括积，再移回单位元，就得到了第三个切向量。这个切向量，就是我们所想要的[v,w]。之后群G的李代数，我们用[g]表示。

实数轴上，原函数的问题无比简单：原函数的构造首推定积分，它说白了也就是"给定起点F(x0)=y0，我们用增量f(x)dx一点一点的堆出F(x)"，并且两个不同的原函数只差一个常量。在李群上我们也可以这样做：如果在M上我们给出一条路径c，再给出起点处的函数值(它是G里面的一个元素)，那么我们可以沿着这条曲线，用"无穷小李群元素"ω(dc/dt)堆出这条曲线上的原函数；同样地，这条曲线上不同的原函数只差一个"常左平移量"。随之而来的问题是，如果两条不同的曲线有同样的起点和终点，并且在起点处给出同样的函数值，那么沿它们搭建起来的原函数在终点处一样吗?如果一样，那么问题就完美解决了。这类沿不同路径是否取得同样终点值的问题，通常被称做"单值(Monodromy)"问题。

根据这种问题的一般剧情，结果当然是"不是"。事实上，我们面临两个问题，一个是局部问题，一个是整体问题。局部问题就是"原函数是否局部存在?"，而整体问题就是"原函数单值问题是否在整个流形上正确?"。这两个问题，本质上是不同的。在最简单的二元函数情形，我们就遇到了这样的问题：给定一个1-形式Pdx+Qdy，它是某个二元函数F的微分吗?而上文所说的"沿路径堆出原函数"在这里就是曲线积分。所以，这里的"局部问题"就是问"曲线积分定义的原函数在局部与路径无关吗?"这就是我们熟知的结果：Pdx+Qdy的原函数在局部存在，当且仅当∂P/∂y=∂Q/∂x。后者成立时，曲线积分在同伦意义下与路径无关，也就是说，这时，沿两条同伦的曲线建立原函数，在终点处得到的函数值是一样的。这个结论的证明，其实就是Green公式，我们要求两条曲线同伦，其实是为了避免它们围成的区域中间有洞；否则Green公式就不能用了。我们所说的"局部"，当然可以是任意一个单连通区域：这时所有连接两点的曲线都是同伦的，因此它们最终引导出同一个值。而整体问题，则把我们引向de Rham上同调。举个例子：考虑单位圆上的形式dθ，它在局部当然存在原函数，但是整体却不存在。因为dθ沿着圆周积一圈回到原处之后相差了2π，不符合单值条件。导致这个现象的原因，是圆周有洞。de Rham上同调揭示了如下事实：那些局部存在原函数，整体却不存在原函数的1-形式，恰好可以反映出我们的流形上有多少"1维的洞"。

总结一下上面的观察：对于二元函数的情形，"局部问题"可解要求的是Pdx+Qdy本身满足某个条件，而"整体问题"可解进一步要求更多条件，即曲线围绕着某个洞一圈由此建立的原函数在绕完一圈后回到那个值。这个条件与定义域的基本群是关联的，如果定义域是单连通的，那么"整体问题"不是一个障碍。

回到一般的李群，整体问题没什么改变，而对于局部问题，我们需要明确一个流形M上的1-形式ω局部存在原函数时它需要满足的条件。这个条件，是著名的结构方程：dω+[ω,ω]/2=0；这是一个简写，展开来写，应当写作dω(X,Y)+[ω(X),ω(Y)]=0。这个方程的必要性，其实是通过Maurer-Cartan形式取外微分再拉回后得到的(而且也没有说的那么简单)，而充分性，需要别的证明方法(GTM166里面介绍了一个用到叶状结构的证明)。进一步地，原函数满足如下意义的唯一性：两个原函数之间只相差一个"常左平移"，即，如果F1和F2都是ω的原函数，那么存在g使得F1(x)=gF2(x), ∀x∈M。如果M是一维的，那么结构方程自动满足(dω消失了，[ω,ω]因为两项是相同的，也消失了)。这就是经典的微积分基本定理。结构方程里面出现的式子dω+[ω,ω]/2，也具有深远的意义。

上面所说的关于原函数存在性和唯一性的定理，构成了一般李群上的微积分基本定理。这个定理不仅是卓越的推广，也是一个十分实用的结论。用它，我们可以发现李群和李代数更为丰富的几何性质。