高中数学线性规划问题第一轮研究课例及分析报告

延长县中学   数学课题组   黄学文

简单的线性规划问题

一、有关概念

1、线性约束条件：由变量x、y的一次不等式（或方程）组成的不等式组。

2、线性目标函数：关于x，y 的一次目标函数（如z＝2x+y）。

3、可行解、可行域：满足线性约束条件的解（x，y）称为可行解，所有可行解

   组成的集合称为可行域。

4、最优解：使目标函数取得最大值或最小值的可行解。

5、线性规划问题：求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题。

二、预备知识：

1、平面中一点P(x₀，y₀)和直线Ax+By+C=0的位置关系：

（1）点P(x₀，y₀)在直线Ax+By+C=0上，则点P坐标满足方程，即Ax₀+By₀+C=0。

（2）点P(x₀，y₀)在直线Ax+By+C=0上方（左上或右上），则当B>0时，

     Ax₀+By₀+C>0；当B<0时，Ax₀+By₀+C<0。

（3） 点P(x₀，y₀)在直线Ax+By+C=0下方（左下或右下），则当B>0时，

     Ax₀+By₀+C<0；当B<0时，Ax₀+By₀+C>0。

注意：（1）在直线Ax+By+C=0同一侧的所有点，把它的坐标(x，y)代入Ax+By+C，所得实数的符号都相同； 

（2）在直线Ax+By+C=0的两侧的两点，把它的坐标代入Ax+By+C，所得到实数的符号相反。

2、二元一次不等式表示平面区域：

（1）二元一次不等式Ax+By+C>0（或<0）在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域、不包括边界；

（2）二元一次不等式Ax+By+C≥0（或≤0）在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域且包括边界；

注意：作图时，不包括边界画成虚线;包括边界画成实线。

3、判断二元一次不等式表示哪一侧平面区域的方法：

方法一：取特殊点检验; “直线定界、特殊点定域

由于对在直线Ax+By+C=0的同一侧的所有点(x，y)，把它的坐标(x，y)代入Ax+By+C，所得到的实数的符号都相同，所以只需在此直线的某一侧取一个特殊点

(x₀，y₀)，从Ax₀+By₀+C的正负即可判断Ax+By+C>0表示直线哪一侧的平面区域；

特殊地， 当C≠0时，常把原点（0，0）作为特殊点，当C=0时，可用（0，1）或

（1，0）当特殊点，若点坐标代入满足不等式则此点所在的区域为需画的区域，否则是另一侧区域为需画区域。

方法二：利用规律：

1、Ax+By+C>0，当B>0时表示直线Ax+By+C=0上方（左上或右上），

    当B<0时表示直线Ax+By+C=0下方（左下或右下）；

2、Ax+By+C<0，当B>0时表示直线Ax+By+C=0下方（左下或右下），

    当B<0时表示直线Ax+By+C=0上方（左上或右上）。

三、典例分析

例1、若、满足约束条件

（1）求目标函数z＝2x+3y的最大值和最小值；

（2）求目标函数z＝-4x+3y的最大值和最小值。

（3）求目标函数z＝2x-3y的最大值和最小值；

（4）求目标函数z＝-4x-3y的最大值和最小值。

解：（1）根据约束条件作出可行域（如图所示），

 

作直线：z＝2x+3y，即，它表示斜率为，纵截距为的平行直线系，当它在可行域内滑动时，由图可知，直线过点D时，取得最大值，当过点时，取得最小值．

解方程组得D点坐标为（3，8），B点坐标为（-3，-4）

∴ ，  

（2） 作直线：z＝-4x+3y，即，它表示斜率为，纵截距为的平行直线系，当它在可行域内滑动时，由图可知，直线过点C时，取得最小值，当平移到直线时，取得最大值．

 

解方程组得C点坐标为（12，4），

∴ ，  

（3）作直线：z＝2x-3y，即，它表示斜率为，纵截距为的平行直线系，当它在可行域内滑动时，由图可知，直线过点D时，取得最小值，当过点C时，取得最大值．

∴ ，  

 

 

（4）作直线：z＝-4x-3y，即，它表示斜率为，纵截距为的平行直线系，当它在可行域内滑动时，由图可知，直线过点B时，取得最大值，当平移到直线时，取得最小值．

 

 

∴ ，  

注：可化为表示与直线平行的一组平行线，其中为截距，特别注意：斜率范围及截距符号，即注意平移直线的倾斜度和平移方向。

 

 

四、 活动探究

1、设x，y满足约束条件

分别求：(1)z=6x+10y，(2)z=-2x-y，(3)z=2x-y的最大值，最小值。

2、某工厂制造甲、乙两种产品，已知制造甲产品1kg要用煤9吨，电力4kw，劳力(按工作日计算)3个；制造乙产品1kg要用煤4吨，电力5kw，劳力10个.又知制成甲产品1kg可获利7万元，制成乙产品1kg可获利12万元，现在此工厂只有煤360吨，电力200kw，劳力300个，在这种条件下应生产甲、乙两种产品各多少千克，才能获得最大经济效益?

 

五、方法总结

 1、求解线性规划问题的一般步骤：

（1）画：画出线性约束条件所表示的可行域；

（2）移：在线性目标函数所表示的一组平行线中，利用平移的方法找出与可行域有公共点且纵截距最大或最小的直线；

（3）求：通过解方程组求出最优解；

（4）答：将最优解代入目标函数得到最值。

2、关于线性规划问题的一般结论：

    二元线性规划问题的最优解总是在区域的交点（顶点）处取得，最优解可能有无数多个。对于线性目标函数z =Ax+By ,当B大于0时，目标函数向上平移时z随之增大，目标函数向下平移时z随之减小；当B小于0时，目标函数向上平移时z随之减小，目标函数向下平移时z随之增大。

    线性规划在实际生活中有广泛的应用，它是一门研究如何使用最少的人力、物力和财力去最优地完成工业生产、经济管理等实际问题的专门学科、主要在以下两类问题中得到应用：一是在人力、物力、财务等资源一定的条件下，如何使用它们来完成最多的任务；二是给一项任务，如何合理安排和规划，能以最少的人力、物力、资金等资源来完成该项任务。